Postroenie_S_i_LP_poverhnostei

лить топографические и конструкторские поверхности, используемые соответственно в картографии и конструкторской практике.

Рисунок 4.2 – Классификация поверхностей

По признаку развертываемости поверхности делятся на развертываемые и неразвертываемые. Большинство линейчатых поверхностей являются развертываемыми.

Образующая поверхности может быть постоянного и переменного вида. По виду образующей поверхности делятся на поверхности с постоянной и переменной образующей. Если в качестве образующей используется прямая линия, то поверхность называется линейчатой, если кривая, то – нелинейчатой.

По форме очерковой образующей поверхности могут быть выпуклыми и вогнутыми. Если поверхность лежит по одну сторону касательной плоскости, то поверхность считается выпуклой. Если – по обе стороны, то вогнутой. Некоторые поверхности могут быть выпук- ло-вогнутыми.

20

Если в каждой точке поверхности можно провести только одну касательную плоскость, то она называется гладкой, если – несколько, то негладкой.

По способам образования поверхности можно разделить на кинематические, вращения, каркасные и винтовые.

Кинематические поверхности образуются перемещением в пространстве образующей любого вида по одной, двум и трем направляющим. При двух направляющих дополнительно используются направляющая плоскость или плоскость параллелизма. Из кинематических поверхностей могут быть выделены циклические и каналовые поверхности. В отдельную группу кинематических поверхностей можно отнести поверхности параллельного переноса, образуемые поступательным перемещением плоской линии, при этом образующие все время остаются параллельными между собой.

Поверхности вращения можно разделить на поверхности с прямолинейной и с криволинейной образующей. В отдельную группу могут быть отнесены поверхности с ребром возврата.

Каркасные поверхности могут быть образованы точечным или линейным каркасом. В отдельную группу каркасных поверхностей можно отнести поверхности висячих покрытий, в которых в качестве каркаса используются цепные линии или близкие к ним кривые линии.

Винтовые поверхности делятся на поверхности с прямолинейной и криволинейной образующей. Первая группа делится на прямые, косые, эвольвентные и конвалютные. Вторая группа делится на циклические и трубчатые.

Предложенная классификация в достаточной степени отражает многообразие поверхностей и их геометрические свойства.

5 Построение сечений кривых поверхностей

5.1 Точка на поверхности

Основополагающим вопросом при построении сечений кривых поверхностей является – построение проекций точки на поверхности.

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит любой пря-

мой или кривой линии, принадлежащей заданной поверхности.

Рассмотрим все возможные положения точек на поверхности вращения и построение их проекций на примере прямого кругового конуса (рисунок 5.1).

21

1) Характерные точки – 1, 2, 3, 5, 6. 2) Промежуточные точки – 4, 7.

3) Вспомогательные плоскости – a, b.

4) Образующие конуса – m, n. 5) Видимые точки – 1, 2, 3, 4.

6) Невидимые точки – (5), (6), (7).

Рисунок 5.1 – Построение проекций точек на поверхности тела вращения (конуса) методом образующих и методом вспомогательных плоскостей

Все многообразие точек, лежащих на поверхности, может быть обобщено в несколько групп:

- характерные точки (главные, опорные, особые) – это точки, лежащие на очерковых образующих, осях, основаниях поверхности;

22

-вспомогательные точки (произвольные, случайные, промежуточные) – это точки, определяющие линию сечения в промежутках между характерными точками;

-точки смены видимости (или точки касания линии сечения и образующей). Это точки, в которых меняется видимость линии сечения, так как поверхность считается геометрически непрозрачной;

-экстремальные точки. К ним относятся точки: высшая и низшая, ближняя и дальняя, самая левая и самая правая.

Построение проекций точек 1, 2, 3, 5 и 6 понятно из рисунка 5.1. Точки 1, 2, 3, 5, 6 относятся к числу характерных точек. Точка 7 – высшая, точки 3 и 5 – низшие, а точки 1, 6 – точки смены видимости.

Точки 4, 7 являются промежуточными точками. Их построение может быть осуществлено двумя методами: методом образующих и методом вспомогательных секущих плоскостей.

Метод образующих заключается в том, что через заданные про-

екции точек (4// и 7//) проводят образующие (S//N// и S//K//), далее строят недостающие проекции этих образующих(S/N/, S/K/ и S///N///, S///K///) и

с помощью линий связи находят недостающие проекции заданных точек на построенных образующих (4/ и 7/ – на S/N/ и S/K/, а 4/// и 7/// –

на S///N/// и S///K/// соответственно). Метод образующих может быть использован только при прямолинейных образующих, так как построение криволинейных образующих весьма затруднительно.

Метод вспомогательных секущих плоскостейявляется уни-

версальным и может быть использован практически для всех поверхностей. Он заключается в следующем:

-через точку (например 4//)проводят вспомогательную секущую плоскость a, которую подбирают так, чтобы в сечении поверхности получалось простое сечение (прямая линия, треугольник, окружность известного радиуса и др.);

-строят сечение поверхности вспомогательной плоскостью (окружность радиуса R);

-через точку (4//) проводят линию связи и с учетом видимости на пересечении с контуром сечения находят искомую проекцию точки (4/);

-с использованием свойства эпюра Монжа строят профильную проекцию точки (4///). Для этого замеряют расстояние от горизонтальной осевой линии основания конуса до точки(4/) и откладывают его на профильной проекции от оси конуса вдоль секущей вспомогательной плоскости.

23

5.2Конические, цилиндрические, сферические и торовые сечения

Рассмотрим в общем виде возможные виды сеченийобразую, - щихся при пересечении наиболее типичных поверхностей плоскостями. На рисунке 5.2 представлены сечения конуса, цилиндра, сферы и тора.

Рисунок 5.2 – Сечения конуса, цилиндра, сферы и кольцевого тора

24

Прямой круговой конус является поверхностью, отличающейся большим разнообразием возможных сечений (рисунок 5.2,а):

-если секущая плоскость параллельна основанию конуса, то в сечении получается окружность с радиусом, равным расстоянию от оси до очерковой образующей, измеренному вдоль секущей плоскости;

-если секущая плоскость наклонная и пересекает все образующие, то в сечении будет эллипс;

-если секущая плоскость параллельна оси конуса, то в сечении получится гипербола;

-если секущая плоскость рассекает конус параллельно одной образующей, то в сечении образуется парабола;

-если секущая плоскость проходит через вершину конуса и рассекает основание, то сечением конуса является треугольник.

Сечения цилиндра плоскостью представлены на рисунке5.2,б. В сечениях цилиндра могут получаться окружность, эллипс и прямоугольник.

Сечения сферы плоскостью представлены на рисунке5.2,в. В сечениях сферы могут получаться окружность или эллипс. Строго говоря, всякое сечение сферы есть окружность известного радиуса, если направление проецирования перпендикулярно плоскости сечения. Если это не соблюдается, то окружность сечения «вырождается» в эллипс.

Торовые сечения, пожалуй, самые сложные в построении (рисунок 5.2,г). Однако в продольном сечении торового кольца образуется простое сечение в виде двух окружностей радиусовR1 и r. Эти сечения тора могут быть использованы для нахождения недостающих проекций точек на поверхности тора.

5.3 Построение сечений тел вращения

Построение сечений любой поверхности сводится к построению достаточного количества точек линии сечения и соединения их плавной линией с учетом видимости проекций сечения. Все точки сечения представляют собой совокупность характерных и промежуточных точек.

Рассмотрим построение сечения сферы фронтально-проецирую- щей плоскостью g. Заранее определяем, что в сечении должен получиться эллипс. Задачу решаем в следующем порядке (рисунок 5.3):

25

-определяем характерные точки 1//, 3//, 4//, 6// и строим их проекции по методике, рассмотренной в разд. 5.1;

-намечаем вспомогательные точки 2//, 5// и с помощью вспомо-

гательных плоскостей a и b находим их недостающие проекции методом, рассмотренным в гл. 5.1;

- далее с помощью перпендикуляра, проведенного из центра сферы О// на заданную плоскость g, находим точку 7// и ее проекции, которые определяют большую ось эллипса. Проекции точек 7 строим с помощью вспомогательной секущей плоскости w;

1) Характерные точки – 1, 3, 4, 6. 2) Низшая точка – 1.

3) Высшая точка – 6.

4) Точки смены видимости – 3, 4 (точки касания).

5) Промежуточные точки – 2, 5.

6) Вспомогательные плоскости – a, b, w.

Рисунок 5.3 – Построение сечения тела вращения (сфера) плоскостью частного положения методом вспомогательных плоскостей

26

- полученные точки соединяем плавной линией и определяем видимость участков эллипса.

Построение сечения тел вращения плоскостью общего положения осложняется тем, что количество характерных точек в этом случае значительно сокращается. Ход построений на примере сечения цилиндра ясен из рисунка 5.4:

- находим характерные точки 1 и 11. В этих точках секущая плоскость a пересекает основание цилиндра по прямой линии 1–11;

1) Характерные точки – 1, 11.

2) Высшая точка – 6 (находится с помощью вспомогательной плоскости b).

3) Точки смены видимости – 3, 8 (находятся с помощью плоскостей g и w).

4) Промежуточные точки – 2, 3, 5, 7, 9, 10 (находятся с помощью плоскостей Р, Q, b, T).

Рисунок 5.4 – Построение сечения тела вращения (цилиндр) плоскостью общего положения методом вспомогательных плоскостей

27

- находим высшую точку сечения 6. Высшая точка будет находиться в плоскости b, перпендикулярной горизонтальному следу aН. Проводим через ось цилиндра горизонтально-проецирующую вспомогательную плоскость b (следами bН и bV);

-находим линию пересечения плоскостей a и b – n//;

-строим сечение цилиндра плоскостьюb. В сечении будут две прямые линии, одну из которых m используем для нахождения точки 6;

-находим на пересечении линий n// и m// точку 6//;

-вспомогательные точки 2, 3, 5, 7, 9, 10 находим методом вспомогательных секущих плоскостей (P, Q и T);

-точки смены видимости (точки касания) 4 и 8 находим с помощью фронтальных плоскостей w и g, аналогично построению точки 6;

-соединяем полученные точки плавной линией с учетом види-

мости.

В некоторых случаях плоскость общего положения целесообразно перевести из общего положения в частное (проецирующее), что позволяет упростить решение задачи. Такой метод называется способом преобразования проекций.

Рассмотрим способ преобразования проекций на примере построения сечения конуса плоскостью общего положения (рисунок 5.5):

-методом перемены (замены) плоскостей проекций (V®V1) переведем плоскость a из общего положения в частное. Для этого новую ось х1 расположим перпендикулярно следу aН. Новое положение следа aV1 определим с помощью точки А, взятой на следе aV. Аппликату точки А отложим от оси х1 на новой линии связи;

-в преобразованном виде задача сводится к решению задачи построения сечения проецирующей плоскостью (см. рисунок 5.3);

-находим характерные точки 1, 10, 5. Вспомогательные точки

2, 9, 3, 8, 4, 7 находим с помощью вспомогательных секущих плоскостей a, b и g;

- фронтальные проекции точек находим, откладывая от оси ох аппликаты точек, измеренные на новой фронтальной проекции конуса.

Рассмотренные методы построения сечений тел вращения могут быть использованы также при построении проекций тел вращения, в которых выполнены сквозные поперечные пазы цилиндрической или призматической формы.

28