Postroenie_S_i_LP_poverhnostei

а)

б)

а– метод вспомогательных плоскостей;

б– метод вспомогательных концентрических сфер

Рисунок 6.7 – Основные методы построения линии пересечения поверхностей

-пересекаем обе поверхности вспомогательной плоскостьюa. Вспомогательные плоскости подбираем по «принципу простых сечений» так, чтобы в сечениях обеих поверхностей вспомогательной плоскостью получились простые фигуры;

-строим сечения обеих поверхностей вспомогательной плоскостью: a Ç Ф1 Þ сечение I; a Ç Ф2 Þ сечение II;

40

-находим общие точки сечений I и II. Сечение I Ç сечение II Þ точки 2 и 8;

-повторяем операции с вспомогательными плоскостями b, g и др. Совокупность всех параллельных вспомогательных плоскостей называют семейством;

-соединяем полученные точки плавной линией с учетом види-

мости.

На рисунке 6.8 представлен пример использования метода

вспомогательных плоскостей для построения линии пересечения призмы со сферой.

Рисунок 6.8 – Построение линии пересечения трехгранной призмы со сферой методом вспомогательных плоскостей

41

В качестве вспомогательных плоскостей взяты горизонтальные плоскости, так как они образуют в сечениях на горизонтальной проекции прямые линии (сечения призмы) и окружности известного радиуса (сечения сферы). Характерные точки – 3//, 6//, 8//. В этих точках линия пересечения касается образующей линии, в этих же точках происходит смена видимости.

Предварительный анализ показывает, что линия пересечения состоит из трех участков(по числу граней призмы). Нижний участок будет являться частью окружности, боковые участки – частями эллипсов. Ход построений:

-находим проекции характерных точек 3, 6, 8;

-вводим вспомогательную горизонтальную плоскость a;

-строим сечение сферы (окружность радиуса R);

-строим сечение призмы (прямая линия);

-находим общие точки сечений (две точки 5/);

-повторяем аналогичные построения для остальных точек;

-соединяем все точки плавной линией в следующем порядке:

1–2–3–4–5; 5–6–7–8–9–10; 1–10 по окружности с радиусом R1;

-определяем видимость участков линии пересечения.

На рисунке 6.9 представлено решение задачи на построение линий среза, образующихся на поверхности вращения, если ее срезать одной или двумя плоскостями(например фрезерованием) вдоль оси поверхности.

Задача решена методом вспомогательных плоскостей (профильных). После проведения плоскости на профильной проекции детали строят окружность сечения. Далее отмечают точки пересечения этой окружности с плоскостью среза. Полученные точки возвращают на вспомогательную плоскость.

42

Метод вспомогательных сфер можно применять при следующих условиях:

-обе поверхности должны быть поверхностями вращения;

-оси поверхностей должны пересекаться между собой;

-оси поверхностей должны быть параллельны одной из плоскостей проекций.

Схема реализации метода вспомогательных концентрических сфер показана на рисунке 6.7,б:

-по размерам диаметров цилиндров определяем, что цилиндр Ц2 будет врезаться в цилиндр Ц1;

-находим характерные точки 1 и 5;

-на пересечении осей поверхностей находим центр сфер О;

-из центра сфер О опускаем на боковые поверхности цилиндров нормали N1 и N2;

-сравниваем N1 и N2, определяем, что N1 > N2;

-берем N1 за минимальный радиус сферы (Rmin= N1);

-определяем максимальный радиус сферы. Он равен расстоянию от центра сфер О до наиболее удаленной характерной точки 5;

-проводим сферу с радиусом Rmin;

-определяем линии пересечения сферы с цилиндрами (линии n//

иm//);

-находим общую точку линий n// и m// (точка 2//);

-увеличиваем радиус сферы и повторяем построения. Получаем точки 3// и 4//;

-полученные точки соединяем плавной линией с учетом види-

мости.

На рисунке 6.10 показано построение линии пересечения тора с наклонным цилиндром. Ход построения ясен из рисунка.

44

-из центра S1// проведем касательную к оси тора до пересечения

сосью конуса в точке О1//;

-принимаем точку О1// за центр вспомогательной сферы. Радиус

сферы подбираем так, чтобы окружность сферы прошла через точ-

ки K// и L//;

-находим линию пересечения этой сферы с конусом(линия

M//N//);

-находим общую точку линий Р1 и M//N// – точка 6//;

-проводим плоскости Р2, Р3 и Р4 и повторяем построения. Находим точки 5//, 3//, 2//. Точку 4 находим как характерную после обводки линии;

-горизонтальные проекции точек 5, 3, 2, 6 находим с помощью фронталей f (или вращением).

6.7Построение линий пересечения поверхностей

с помощью вспомогательных плоскостей общего положения

В некоторых случаях использование вспомогательных плоскостей частного положения не позволяет получить простые сечения, если поверхности, например, эллиптические, торовые, параболические или наклонные и т.д. В этом случае более удобными являются вспомогательные плоскости общего положения. Такими удобными вспомогательными плоскостями для конуса являются плоскости, проходящие через вершину S, а для цилиндра – плоскости, проходящие параллельно оси цилиндра. В первом случае в сечении получается треугольник, во втором – прямоугольник или параллелограмм.

Используем это для построения линии пересечения поверхностей.

На рисунке 6.12 приведен пример использования вспомогательных плоскостей общего положения для определения линии пересечения двух конусов с пересекающимися осями. Ход решения задачи вытекает из общего метода решения задач с использованием вспомогательных плоскостей, но имеет некоторые особенности:

-находим характерные точки – 1 и 8 как точки пересечения оснований конусов;

-соединяем вершины S1 и S2 конусов прямой линией;

-найдем горизонтальный след Hs// этой линии;

47

- через точку Hs будем проводить вспомогательные секущие плоскости Р1 – Р4, являющиеся плоскостями общего положения. Эти плоскости будут проходить через прямую S1S2 (она называется собственной прямой) и будет пересекать основания конусов в некоторых точках, соединив которые с вершинамиS1 и S2, получим в сечении треугольники;

1)Характерные точки – 1, 8.

2)Промежуточные точки – 2, 3, 4, 5, 6, 7 (находятся с помощью пучка плоскостей Р1 – Р4).

Рисунок 6.12 – Построение линии пересечения двух конусов

сиспользованием пучка вспомогательных плоскостей

-вспомогательная плоскость, например Р4, пересекает основа-

ния конуса К1 в точках М/ и N/, а основание конуса К2 в точке L/;

- соединим точки М/, M//, N/, N//, L/, L// с вершинами S1/, S1//, S2/, S2// и получим треугольники сечения;

48

-находим общую точку этих сечений – это точка 5. От плоско-

сти Р4 получилась только одна точка, так как плоскость Р4 была проведена касательно к основанию конуса К2;

-проводим плоскости Р1, Р2, Р3 и повторяем построения аналогично описанному. В результате получим точки 2, 3, 4, 6, 7, соединив которые плавной линией, построим проекции линии пересечения.

Нетрудно заметить, что вспомогательные плоскости проходят

через прямую S1S2 в виде пучка (иногда эти плоскости называют вращающимися плоскостями).

Рассмотрим задачу о пересечении наклонных цилиндров(рисунок 6.13). Решение этой задачи не отличается от предыдущей, так как цилиндрическую поверхность можно рассматривать как частный случай конической поверхности с вершиной в несобственной точке.

Рисунок 6.13 – Построение линии пересечения двух цилиндров с помощью связки плоскостей, проходящих через несобственную точку

49