Postroenie_S_i_LP_poverhnostei

Однако если многогранник находится в частном положении (рисунок 2.3), то задачу можно решить упрощенным способом.

В примере призма является горизонтально-проецирующей. Ее ребра перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций и на горизонтальной плоскости проекций «вырождаются» в точки, в которых находятся также точки сечения 1–2–3–4–5–1. Так как точки 1–5 принадлежат секущей плоскости, то их фронтальные проекции могут быть найдены с помощью прямых, принадлежащих данной плоскости, например фронталей.

Рисунок 2.3 – Построение сечения призмы плоскостью общего положения с помощью фронталей

На рисунке 2.4 представлена задача о построении сечения многогранника (пирамиды), когда многогранник и секущая плоскость являются объектами общего положения. Задача решается следующим образом:

-находим точки 1, 2, в которых горизонтальный след плоскости

a пересекается с основанием пирамиды АВС (основание АВС и aН находятся в одной плоскости Н и поэтому пересекутся в точках 1 и 2);

-намечаем задачи на пересечение ребер с секущей плоскостью:

SC Ç a, SB Ç a, SA Ç a;

10

3 Построение линии пересечения многогранников

Линия, общая для пересекающихся поверхностей, называется линией пересечения. Линия пересечения двух многогранников может быть плоской и пространственной, замкнутой или распадающейся на две линии. Иногда линия пересечения может быть незамкнутой.

Вид линии пересечения определяется характером пересечения. На рисунке 3.1 представлены возможные случаи пересечения многогранников.

а)

б)

в)

г)

а– полное; б – полное с касанием ребер; в – неполное;

г– полное с касанием граней

Рисунок 3.1 – Возможные случаи пересечения многогранников

12

При полном пересечении (рисунок 3.1,а) линия пересечения распадается на две линии АВС и ЕDК, причем эти линии могут быть как плоскими, так и пространственными.

При неполном пересечении(рисунок 3.1,в) линия пересечения представляет собой замкнутую,как правило, пространственную линию.

Возможно также полное пересечение с касанием ребер или граней (рисунок 3.1,б и 3.1,г). В первом случае линия пересечения имеет одну общую точку С, во втором случае линия пересечения замыкается на четыре точки пересекающихся ребер совпадающих граней(точки

А, С, Е, К).

Из приведенных рисунков видно, что линия пересечения в любом случае определяется точками пересечения ребер одного многогранника с гранями (или ребрами) другого или линиями пересечения граней одного многогранника с гранями(или ребрами) другого.

В связи с этим линию пересечения можно построить также методом ребер или методом граней, как и в случае построения сечения многогранников.

Рассмотрим задачу о пересечении многогранников, если один из них находится в частном положении(рисунок 3.2). Пересекаются го- ризонтально-проецирующая призма и пирамида.

Схема решения задачи:

-на горизонтальной проекции находим точки встречи ребер SC, SA, SB пирамиды с гранями призмы(точки 1/, 2/, 3/, 4/, 7/, 8/). Далее находим фронтальные проекции этих точек;

-ребро призмы М пересекается с гранями пирамиды SCA и SBC

вдвух точках 5 и 6, которые совпадают с точкой М на горизонтальной

плоскости проекций (М/º 5/º 6/). Фронтальные проекции этих точек находим с помощью горизонтально-проецирующей плоскости a, проведенной через вершину S пирамиды и ребро М призмы. Вспомогательная плоскость пересекает пирамиду по двум линиямSQ и SP. На фронтальных проекциях S//Q// и S//P// находим точки 5// и 6//;

- соединяем точки 1–2–3–1 и 8–7–5–4–6–8 и получаем две линии пересечения. Первая линия плоская, вторая – пространственная. Обе линии – замкнутые. Пересечение многогранников полное.

13

-находим, например, точки пересечения ребра пирамидыSA с поверхностью призмы. Для этого проводим черезSA вспомогательную плоскость a;

-строим сечение призмы вспомогательной плоскостью a. В сечении получится треугольник KLM;

-находим общие точки ребра SA и контура треугольника и получим точки встречи ребра SA с поверхностью призмы – 1 и 4;

-далее аналогично находим точки встречи реберSB, SC и FF. Ребра ЕЕ и DD призмы с пирамидой не пересекаются;

-соединяем точки 1, 2 и 3, которые образуют один участок линии пересечения. Соединяем точки 4, 5, 6, 7 и 8, которые образуют второй участок линии пересечения. Линия 4–5–6–7–8–4 – пространственная;

-методом конкурирующих прямых определяем видимость всех точек и участков линии пересечения;

-окончательно обводим чертеж с учетом видимости ребер и участков линии пересечения.

На рисунке 3.4 представлена задача о построении проекций многогранника с поперечным сквозным призматическим пазом. Эта задача также относится к пересечению многогранников, так как паз можно уподобить трехгранной призме, вставленной в паз. Решение задачи ясно из рисунка. Проекции точек 1, 2, 3 построены с помощью вспомогательных плоскостей a и b. Точки 2 и 3 могут быть построены и без использования вспомогательных секущих плоскостей, так как они являются характерными точками и находятся на ребре многогранника. В этом случае построения проводятся в следующем порядке: сначала находят профильные проекции 2/// и 3///, затем по свойству эпюра Монжа находят горизонтальные проекции 2/ и 3/.

На профильной проекции многогранника выполнен простой вертикальный профильный разрез, совмещенный с видом для того, чтобы показать сквозное призматическое отверстие.

16

а)

б)

в)

г)

д)

Рисунок 4.1 – Образование поверхностей

Несмотря на то, что кинематический способ образования поверхностей является всеобъемлющим, геометры отмечают и другие способы образования, которые имеют свои отличительные признаки.

На рисунке 4.1,б, в представлен каркасный способ образования поверхности. Каркасы подразделяются на точечные и линейные. На рисунке 4.1,б для образования поверхности использован линейный каркас, состоящий из двух ортогонально расположенных семейств линий a и в. На рисунке 4.1,в показан каркас фюзеляжа самолета.

18

Поверхности вращения – это поверхности, которые образуются какой-либо образующей при вращении ее вокруг неподвижной осиi (рисунок 4.1,г).

Особую группу поверхностей образуют винтовые поверхности. Винтовые поверхности могут быть образованы перемещением образующей d (прямой или кривой линии) по винтовой линии (рисунок 4.1,д).

Если образующая d поверхности является прямой линией, то поверхность называется линейчатой (рисунок 4.1,е), если образующая d является кривой линией, то – нелинейчатой (рисунок 4.1,ж).

Классификация поверхностей является сложной математической и геометрической задачей. Это обусловлено большим многообразием поверхностей и, в первую очередь, тем, что та или иная поверхность может быть образована различными способами, приводящими к одному и тому же результату.

В связи с этим деление поверхностей по способу образования может быть предельно условно. Однако при определенных допущениях классификация поверхностей по способу образования является закономерной.

На рисунке 4.2 представлена классификация кривых поверхностей. В данной классификации проведена систематизация поверхностей по двум параметрам: по общим геометрическим свойствам и по способам образования поверхностей. Указанные параметры являются наиболее общими для всех поверхностей.

При разработке классификации сделано допущение, что поверхности могут быть образованы только одним способом. Поверхности вращения и винтовые поверхности не отнесены к кинематическим поверхностям в связи с тем, что имеют свои и только им присущие особенности перемещения образующей (вращение вокруг оси и перемещение по винтовой линии).

Разделение поверхностей по общим свойствам и способам образования позволяет упростить классификацию поверхностей.

Поверхности могут быть заданы аналитически, табличным способом и графически. Если поверхность может быть описана уравнением, то она называется закономерной, в противном случае – незакономерной. Закономерные поверхности могут быть алгебраическими и трансцендентными.

В зависимости от степени уравнения алгебраические поверхности могут быть второго и высшего порядков. Незакономерные поверхности в основном являются графическими, среди которых можно выде-

19