Контрольные вопросы

1. Дайте определение динамическим характеристикам вращательного движения: моменту силы - М, моменту инерции - I, моменту импульса - L.

2. Запишите аналитические выражения для момента инерции частицы и твердого тела. Как производится расчет момента инерции обруча, стержня, диска?

3. В чем состоит суть теоремы Штейнера?

1. Получите основное уравнение динамики вращательного движения.

2. Получите уравнение колебаний крутильного маятника.

3. Как рассчитать период колебаний крутильного маятника?

Задания для отчета по лабораторной работе

1. Однородный диск массы m = 3 кг и радиуса R = 20 см скреплен с тонким стержнем, другой конец которого закреплен неподвижно (рис.4). Коэффициент кручения стержня (отношение приложенного вращающего момента к углу закручивания) k = 6 Н м/рад. Определить частоту ω малых крутильных колебаний.

2. По данным предыдущей задачи определить амплитуду α_m и начальную фазу φ колебаний, если в начальный момент α = 0,06 рад,  = 0,8 рад/с.

3. Два диска могут вращаться без трения вокруг горизонтальной оси. Радиус дисков одинаков и равен R = 0,5 м. Массы дисков равны m₁ = 0,1 кг и m₂ = 3 кг. Диски соединены пружиной, у которой коэффициент пропорциональности между возникающим вращающим моментом и углом закручивания равен k = 5,92 Н м /рад. Диски поворачивают в противоположные стороны и отпускают. Чему равен период T крутильных колебаний дисков?

4. По диаметру горизонтального диска может перемещаться, скользя без трения по направляющему стержню небольшая муфта массы m = 0,1 кг. Муфта «привязана» к концу стержня с помощью невесомой пружины, жесткость которой k = 10 Н/м (рис.5). Если пружина не деформирована, муфта находится в центре диска. Найти частоту ω малых колебаний муфты в том случае, когда диск вращается вокруг своей оси с угловой скоростью, равной 6 рад/с.

Рис. 4 Рис. 5

5. Сплошной однородный цилиндр массы m совершает малые колебания под действием двух пружин, суммарная жесткость которых равна k (рис. 6). Найти период этих колебаний в отсутствии скольжения.

6. Определить момент инерции системы, состоящей из четырех точечных масс m, расположенных по вершинам квадрата со стороной a, относительно оси, лежащей в плоскости квадрата и совпадающей с его диагональю.

7. По условиям предыдущей задачи определить момент инерции системы точек относительно оси, проходящей через центр квадрата перпендикулярно его плоскости.

8. Определите момент инерции медного диска с радиусом R = 5 см, в котором сделаны два выреза в виде кругов радиусами r = 2 см. Центры вырезов находятся на прямой, проходящей через центр диска на расстоянии l = 2,5 см от него (рис.7). Толщина диска h = 0,1 см. Ось вращения проходит через центр диска перпендикулярно его плоскости.

Рис. 6 Рис. 7

9. По условиям предыдущей задачи определить момент инерции диска относительно оси, проходящей через центры вырезов.

10. Плотность цилиндра длины l – 0,1 м и радиуса R = 0,05 м изменяется с расстоянием от оси линейно от значения ρ₁ = 500 кг/м³ до значения

ρ₂ = 1500 кг/м³. Найти момент инерции цилиндра относительно оси цилиндра.

11. Найти момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси, проходящей через один из его концов с помощью теоремы Штейнера. Масса стержня m, длина - l.

12. По данным предыдущей задачи найти момент инерции стержня относительно оси, проходящей на расстоянии l/4 от одного из концов.

13. Найти момент инерции диска массы m, радиуса R относительно оси, проходящей через середину радиуса перпендикулярно плоскости диска. Применить теорему Штейнера.

14. Определить момент инерции шара массой m = 2 кг радиусом R = 10 см относительно оси, проходящей через середину радиуса, используя теорему Штейнера.

15. По данным предыдущей задачи определить момент инерции шара, подвешенного на нити длиной l = 10 см относительно точки подвеса.

16. Два шара с массами m₁ = 1 кг и m₂ = 2 кг насажены на гладкий горизонтальный стержень (рис.8). Шары соединены между собой пружиной с жесткостью k = 24 Н/м. Левому шару сообщили начальную скорость v₁ = 12 см/с. Найти частоту колебаний системы.

17. По данным предыдущей задачи найти энергию колебаний.

18. По данным предыдущей задачи найти амплитуду колебаний системы.

19. Найти циклическую частоту малых колебаний тонкого однородного стержня массыm и длины l вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О (рис.9). Жесткость пружины k. В положении равновесия стержень вертикален.

Рис. 8 Рис. 9

20. Однородный стержень массы m совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О (рис.10). Правый конец стержня подвешен на пружине жесткости k. Найти период колебаний стержня, если в положении равновесия он горизонтален.

Рис. 10