Координатные преобразования переменных обобщенной электрической машины.

Система уравнений описывающих процессы электромеханического преобразования энергии

нелинейна, т.к. содержит произведения переменных (_ii_j) и(i_ii_j), а также переменные коэффициенты собственных и взаимных индуктивностей. Поэтому она неудобна для практического использования. Ее можно преобразовать путем замены действительных переменных фиктивными переменными при условии сохранения одинаковости математического описания и сохранения неизменной мощности.

Коэффициенты самоиндукции и взаимоиндукции зависят от угла поворота ротора машин, т.е. от углового взаимного положения обмоток статора и ротора. Чтобы они были постоянными и не зависели от угла поворота осей ротораd,qотносительно осей,статора, желательно, чтобы обмотки обобщенной машины 1и 2d, а также 1и 2qбыли неподвижны относительно друг друга. Для этого изобразим еще осиu,vна схеме обобщенной машины, которые вращаются в пространстве с угловой скоростью_к.

На этих осях располагаем расчетные обмотки (физически этих обмоток нет) статора и ротора. Считаем что эти обмотки создают такие же МДС, что и реальные обмотки. Коэффициенты самоиндукции в этом случае будут постоянными, т.к. обмотки неподвижны друг относительно друга.

Сделаем преобразования реальных переменных, соответствующих обмоткам, расположенными на осях ,,d,qк фиктивным переменным, соответствующим расположению обмоток на осяхu,v: Преобразования делаем только для обмоток статора, ибо для обмоток ротора преобразования аналогичны.

Представляем каждую реальную переменную (i,u,) в виде вектора Х, являющимся геометрической суммой мгновенных векторов этой переменной. Пусть некоторая переменная в виде вектора Х, соответствует току, или напряжению, или потокосцеплению статора. Проекции этой реальной переменной на оси,,d,qравны Х_1, Х_1, Х_2d, Х_2q. Соответствующие им новые переменные в системе координатu,определяется как суммы проекций реальных переменных на оси u,v. Например, составляющие вектора Х_1uопределяются как проекции векторов Х_1и Х_1на осьu, а составляющие вектора Х_1v- как проекции этих же векторов на осьV. Просуммировав проекции по осям, получим формулы прямого преобразования для статорных переменных (см. рис.).

Аналогично формулы прямого преобразования для роторных переменных имеют вид (с учетом угла _эл).

Как реальные переменные Х_1, Х_1, так и преобразованные Х_1u и Х_1v, являются проекциями на соответствующие оси одного и того же результирующего (обобщенного) вектора Х.

Переход от преобразованных, т.е. фиктивных переменных к реальным переменным обобщенной машины осуществляется с помощью формул обратного преобразования, которые можно получить с помощью аналогичных построений (см. рис.).

Аналогично для роторных переменных с учетом угла поворота ротора _эл.

.

Пользуясь полученными формулами, преобразуем уравнения электрического равновесия и уравнения потокосцеплений к осям u,v.Для получения преобразованных уравнений в уравнениях электрического равновесия и уравнениях потокосцеплений с помощью формул преобразований заменим все реальные переменные, выразив их в осяхu,v.Для пояснения сущности ограничимся только преобразованием уравнений равновесия для цепи статора, т.к. для ротора преобразования будут аналогичными. С этой целью подставляем выражения реальных переменных в уравнения обратного преобразования:

В результате получим:

Продифференцировав произведения на тригонометрические функции угловой координаты, умножим 1-е из полученных уравнений на, а 2-е – наи складываем полученные уравнения. После приведения подобных членов получим уравнение равновесия для осиU. Умножая, затем 1-е из ранее полученных уравнений на -, а 2-е – наи выполнив аналогичные операции, что и в первом случае, получим уравнение электрического равновесия для осиV.

Аналогично можно получить преобразованные уравнения электрического равновесия для цепи ротора. В результате система уравнений электромеханической характеристики обобщенной машины будет иметь вид:

,

где ;, а 3-ие слагаемые в правых частях уравнений – это ЭДС вращения.

Аналогично можно получить преобразованные уравнения потокосцеплений: Но проще их можно написать исходя из физического смысла и пользуясь следующей схемой обобщенной машины.

Потокосцепление каждой обмотки определяется собственной индуктивностьюL₁илиL₂и взаимной индуктивностьюL₁₂с другой обмоткой, расположенной на той же оси. Взаимодействие с токами других обмоток отсутствует, т.к. их оси сдвинуты на_эл=90, т.о.

Если в выражении электромагнитного моменты неявнополюсной машины реальные токи

заменить на преобразованные по формулам обратного преобразования, получим после преобразований: .

Если выразить токи через потокосцепления статора ₁или ротора₂или и статора₁и ротора₂, можно получить следующие выражения электромагнитного момента обобщенной машины:

Объединив уравнения электромеханической характеристики с уравнением электромагнитного момента, получим математическое описание динамической механической характеристики обобщенной машины:

Преобразованную систему уравнений динамической механической характеристики можно представить в комплексной (векторной) форме, если ось Uпринять за действительную, а осьV– за мнимую.

Напряжения, токи, потокосцепления в выше написанных уравнениях являются проекциями результирующих (обобщенных) векторов этих величин на осиUиV,

Теперь уравнения динамической механической характеристики будут иметь вид:

, где

- величина, комплексно сопряженная величине .

Символ I_m(imaginary) означает, что в скобках стоит произведение мнимых частей комплексных токовi₁иi₂*.