1. Вычисление площадей плоских фигур.
Если плоская фигура ограничена прямыми и кривыми, причем,, то её площадь вычисляется по формуле
.
В отдельных случаях левая граница (или правая граница) может выродиться в точку пересечения кривыхи. В этих случаях величиныиотыскиваются как абсциссы точек пересечения указанных кривых (см.рис.4.1.)
Если граница фигуры задана параметрическими уравнениями, то площадь фигуры вычисляется по одной из трёх формул:
,
где и - значения параметра,соответствующие началу и концу обхода контура в положительном направлении (при котором фигура остается слева).
В полярных координатах площадь сектора, ограниченного дугой кривой и лучамии, выражается формулой
.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми ,и кривыми,.
Решение.
Так как максимум функции достигается в точке и равен 1, а функцияна отрезке, то (см. рис. 4.2.)
.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами ,.
Решение.
Решая систему уравнений
найдем ординаты точек пересечения кривых,.
Так как при,то
.
Пример.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом
Решение.
Здесь удобно вычислить сначала
.
Отсюда
.
Пример.
Найти площадь фигуры, ограниченной одним лепестком кривой (лемниската).
Решение.
Правая часть уравнения кривой неотрицательна при значениях , для которых.
Поэтому первый лепесток лежит в угловом секторе, в котором
,т.е. .
Следовательно,
.
2. Вычисление длин дуг плоских кривых
Если плоская кривая задана уравнением в декартовых координатах и производнаянепрерывна, то длина дуги этой кривой вычисляется по формуле
,
где и-абсциссы концов данной дуги.
Если кривая задана уравнениями в параметрической форме,и производные и непрерывны на отрезке, то длина дуги кривой выражается формулой
,
где и- значения параметра, соответствующие концам дуги .
Если кривая задана уравнением в полярных координатах, то длина дугикривой выражается интегралом
,
где и- значения полярного углав концах дуги.
Пример.
Вычислить длину дуги полукубической параболы , заключенной между точками и.
Решение.
Функция определена при. Поскольку данные точки и лежат в первой четверти, то.
Отсюда
,
.
Следовательно,
.
Пример.
Вычислить длину дуги развертки круга
отдо.
Решение.
Дифференцируя по, получим
,
откуда .
Следовательно,
.
Пример.
Найти длину первого витка архимедовой спирали.
Решение.
Первый виток архимедовой спирали образуется при изменении полярного угла от до. Поэтому
.
Вычислим первообразную для функции методом интегрирования по частям:
.
Откуда
,
,
и, следовательно,
.
3. Вычисление объемов тел
Объем тела выражается интегралом
,
где - площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к осив точке с абсциссой.и- левая и правая границы изменения,непрерывна при.
Объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной кривой, осью абсцисс и прямыми,, выражается интегралом
.
Объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривымиии прямымии, выражается формулой
.
Если кривая задана параметрически или в полярных координатах, то следует сделать соответствующую замену переменной в указанных формулах.
Пример.
Найти объем эллипсоида
.
Решение.
Сечение эллипсоида плоскостью есть эллипс
с полуосями и.
Следовательно площадь сечения
Поэтому объем эллипсоида
.
Положив, в частности,,получим объем шара
.
Пример.
Вычислить вокруг оси абсцисс объем тела, которое образуется при вращении одной арки циклоиды
вокруг оси абсцисс.
делаем замену переменной, полагая
.
|
|
0 |
0 |
|
|
.
Контрольная работа №4 по теме