59

Тема 2. Аналитическая геометрия

Программный объем темы:

1. Декартова и полярная системы координат. Переход из одной системы в другую.

2. Параллельный перенос координатных осей.

3. Основные виды уравнения прямой на плоскости и в пространстве. Основные виды уравнения плоскости.

4. Кривые второго порядка, их канонические уравнения и графики. Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду.

ДЕКАРТОВА И ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Если на плоскости задана прямоугольная декартова система коор­динат , то точкуэтой плоскости, имеющую координатыи, обозначают.

Расстояние между точкамииопределя­ется по формуле.

В полярной системе координат положение точки на плоскости определяется ее расстояниемот полюса(- полярный радиус-вектор точки). Уголсчитается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки.

Если начало декартовой прямоугольной системы координат совмес­тить с полюсом, а ось направить по полярной оси, то прямоуголь­ные координатыиточкии ее полярные координатыисвязаны следующими формулами:

Так как – расстояние, то. Обычно это ограничение снимают. Тогда получается обобщенная полярная система координат. Положение точки в такой системе определяется следующим образом. Проводим из полюса луч , продляем его за полюс и на его продолжении откладываем отрезок, равный по длине (рис 2.1).

В задании 2.5 кривые требуется построить в обобщенной полярной системе координат.

Пример.

В обобщенной полярной системе координат построить кривую .

Для решения задачи следует найти точки, лежащие на кривой, даваязначения через какой-то промежуток (чем меньше промежуток, тем точнее можно построить кривую, но тем больше объем вычислительной работы). Результат построения – окружность с диаметром– приведен на рис. 2.2. Там же показаны две точки,и, принадлежащие этой окружности, способ построения которых ясен из рисунка. Любые другие точки этой кривой строятся аналогично.

Всякой линии на плоскости , рассматриваемой как множество точек, соответствует некоторое уравнение, в которое входят координаты любой точки("текущей точки"), лежащей на этой линии. Та­кое уравнение называется уравнением данной линии.

Чтобы составить уравнение линии как геометрического места точек, обладающих одинаковым свойством, нужно:

1) взять произвольную (текущую) точку линии,

2) записать равенством общее свойство всех точек линии,

3) входящие в это равенство отрезки (и углы) выразить через теку­щие координаты точки и через данные в задаче.

Пример. В декартовой прямоугольной системе координат вывести уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до двух данных точек иесть величина посто­янная, равная 47.

Решение.

Обозначим буквой произвольную точку линии.

и - текущие координаты этой точки.

Запишем геометрическое свойство линии символически.

. (1)

Выразим ичерез текущие координаты точки:

Подставив полученные выражения в равенство (1), найдем уравне­ние, связывающее координаты точки:

Упростим последнее уравнение:

Получили уравнение окружности с центром в т. (0,1) и радиусом.

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Прямая на плоскости в декартовой прямоугольной системе коорди­нат может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) - общее уравнение прямой.

- координаты нормального вектора прямой (вектора, перпендикулярного данной прямой).

2) - уравнение прямой, проходящей через точкуперпендикулярно вектору.

3) - уравнение с угловым коэффициентом, где- отрезок, отсекаемый прямой на оси,или, где- угол наклона прямой к оси.

4) - уравнение прямой с угловым коэффициен­том , проходящей через данную т. .

5) - каноническое уравнение прямой, или уравнение прямой, проходящей через т.параллельно направляю­щему вектору .

6) - параметрические уравнения прямой, - параметр.

7) - уравнение прямой в отрезках, где и - величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осяхисоот­ветственно.

8) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки и .

Угол между двумя прямыми можно найти, зная угловые коэффициенты прямых: .

Условие параллельности двух прямых: или .

Условие перпендикулярности двух прямых: , или.

плоскость

Плоскость в декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) - общее уравнение плоскости,- нормальный вектор плоскости,- его ко­ординаты;

2) - уравнение плоскости, проходящей через т.перпендикулярно нормальному вектору.

3) - уравнение плоскости в отрезках, где- отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координатсоответ­ственно.

4) - уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: .

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Прямая в пространстве может быть задана:

1) общими уравнениями:

т.е. системой уравнений двух пересекающихся плоскостей.

2) параметрическими уравнениями:

где - координаты данной точки, а– координаты направляющего вектора прямой, т.е. вектора, параллельного данной прямой;

3) каноническими уравнениями:

4) уравнениями прямой, проходящей через две точки:

и :

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

И ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ

Угол между плоскостямииопределяется по формуле

Условие перпендикулярности плоскостей:

Условие параллельности плоскостей:

Расстояние от точки до плоскости, определяемой уравнениемможно найти по формуле

Угол между двумя прямыми в пространстве, заданными их канони­ческими уравнениями, определяется по формуле

условие параллельности двух прямых: условие перпендикулярности двух прямых:Угол между прямой и плоскостью определяется по формуле

условие параллельности прямой и плоскости:

условие перпендикулярности прямой и плоскости: .

При решении задач надо уметь переходить от общих уравнений прямой в пространстве к каноническим.

Пример.

По уравнениям плоскостей

образующих прямую, составить ее уравнения в каноническом виде. Решение. Определим координаты одной точки прямой: положим , тогда для значенийирешим систему уравнений

Теперь канонические уравнения имеют вид

Направляющий вектор искомой прямой будет пер­пендикулярен нормальным векторамиданных плоскостей, следовательно, его координаты можно найти, ис­пользуя векторное произведение.

т.е.

Канонические уравнения искомой прямой имеют вид

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА