4. Гипербола

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каж­дой из которых от двух данных точек этой плоскости; называемых фокусами, есть постоянная величина, при условии, что эта вели­чина не равна нулю и меньше расстояния между фокусами.

Обозначим расстояние между фокусами и через, а посто­янную величину, равную модулю разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов, через(по условию). Как и в случае эллипса, ось абсцисс проведем через фокусы, а за начало координат примем середину отрезка(см. рис. 2.3). Фокусы в такой системе будут иметь координатыи . Выведем уравнение гиперболы в выбранной системе коор­динат. По определению гиперболы для любой ее точки имеем, или

Но и Поэтому получим

После упрощений, подобных тем, которые были сделаны при выводе уравнения эллипса, получим следующее уравнение:

Нетрудно заметить, что это уравнение совпадает с уравне­нием, полученным для эллипса. Однако здесь раз­ность, так как для гиперболы. Поэтому положим

Тогда последнее уравнение приводится к следующему виду:

Форма гиперболы и способ её построения показаны на рис. 2.5. Точки и – вершины гиперболы. Прямые и , имеющие уравнения , называются асимптотами гиперболы.

Отношение половины расстояния между фокусами к действи­тельной полуоси гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается обычно буквой :

Так как для гиперболы , то эксцентриситет гиперболы больше единицы.

Пример. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная что расстояние между ее фокусами равно 26, а эксцентриситет равен .

Решение. По условию иСледовательно, большая полуось гиперболы Согласно фор­муле малая полуось гиперболы

Уравнение гиперболы имеет следующий вид:

Пример. Гипербола, оси которой совпадают с осями коорди­нат, проходит через точки и. Найти ее каноническое уравнение.

Решение. Напишем каноническое уравнение гиперболы

Этому уравнению удовлетворяют координаты точек и. Следовательно,

и

или

и

Отсюда находим ии подставляем их в каноническое уравнение гиперболы:

5. Парабола

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки , называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. (Предполагается, что фокус не лежит на директрисе.)

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через . Эта величина называетсяпараметром параболы.

Выведем уравнение параболы. Расположим ось абсцисс так, чтобы она проходила через фокус перпендикулярно директрисе и имела положительное направление от директрисы к фокусу (рис. 2.6). За начало координат выберем середину перпендикуляра , опу­щенного из фокуса на директрису. В выбранной таким образом системе координат фокус будет иметь координаты . Урав­нение директрисы будет иметь следующий вид:

Пусть — точка параболы. По определению параболы, рас­стояниеточкиот директрисы равно ее расстояниюот фокуса:.

Из рис. 2.6 ясно, что а Следовательно,

Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим

или, после упрощений:

Полученное уравнение называется каноническим уравнением параболы. Ему, очевидно, удовлетворяют координаты любой точки параболы. Можно показать, что координаты точек, не лежащих на параболе, уравнению не удовлетворяют.

Парабола, определяемая уравнением имеет вид, изображенный на рис. 2.6.

Ось симметрии параболы называется фокальной осью. Точка пе­ресечения параболы с осью симметрии называется ее вершиной. В данном случае вершина параболы совпадает с началом координат.

Пример. Дана парабола . Составить уравнение ее дирек­трисы и найти ее фокус.

Решение. Сравнивая данное уравнение с каноническим урав­нением параболы, видим, что . Так как директриса параболы имеет уравнение, а фокус — координатыи, то уравнение директрисы, а фокус

Замечание. Если фокальную ось параболы принять за ось ординат, то уравнение параболы примет вид

Уравнение второй степени вида

(не содержащее члена с произведением координат) называется пятичленным уравнением кривой второго порядка.

Причем, если , то определяемая этим уравнением кривая есть эллипс.

Если , то соответствующая кривая является гиперболой, которая может вырождаться в две пересекающиеся прямые, если левая часть уравнения распадается на произведение двух линейных множите­лей.

Если (т.е. либо, либо ), то уравнение определяет параболу, которая может вырождаться в две па­раллельные прямые, если левая часть уравнения не содержит либо , либо .

Вид кривой и расположение ее на плоскости легко устанавливаются преобразованием пятичленного уравнения к виду (т.е. группируем в скобки члены с одно­именными координатами и дополняем выражения в скобках до полных квадратов). Затем переносим начало координат в точку, со­храняя направление осей координат (параллельный перенос). Таким образом получаем канонический вид кривой второго порядка.

Пример. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду:

Решение.

Преобразуем данное уравнение следующим образом:

Произведем параллельный перенос осей координат, приняв за новое начало координат точку . Относительно новых осей уравнение кривой примет видТаким образом, заданная кривая является эллипсом с полуосями;. (рис. 2.7).

Приведение к каноническому виду уравнения второй степени, содержащего член с произведением переменных, значительно сложнее. Этот вопрос подробно рассмотрен в литературе [1].

В заключение этой темы рассмотрим два примера на определение уравнения геометрического места точек.

Пример. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от оси и от точки.

Решение. Пусть точка лежит на искомом геометрическом месте точек (черт. 2.8). Тогда согласно условию задачи, ,.

В силу равенства

имеем:

или

и окончательно: .

Искомое геометрическое место точек есть парабола, симметричная оси и с фокусом в точке(рис. 2.8).

Покажем, что координаты точки, не принадлежащей нашему геометрическому месту, т. е. параболе, не удов­летворяют найденному уравнению .

Предположим, что точка не принадлежит искомому геометрическому месту. Тогда либо, либо.

Пусть, например, . Тогда

После возведения в квадрат, раскрытия скобок и пе­реноса всех членов влево, получим: .

Следовательно, точка не удовлетворяет уравнению геометрического места.

Для случая доказательство аналогично.

Пример. Определить траекторию точки , которая дви­жется так, что ее расстояние от точкиостается вдвое меньше расстояния от точки.

Решение. Пусть точка лежит на искомой траектории. Тогда, согласно условию,.

Расстояние ,

расстояние .

В силу равенства имеем:

Возводим правую и левую части равенства в квадрат, получаем

После преобразования получим

Таким образом, искомая траектория точки — окружность (рис.2.9).

Контрольная работа № 2 по теме