- •Тема 6. Дифференциальные уравнения
- •Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли
- •«Дифференциальные уравнения»
- •Контрольные вопросы к экзамену
- •Список рекомендуемой литературы
- •Тема 1. Элементы линейной и векторной алгебры 5
Тема 6. Дифференциальные уравнения
Программный объем темы:
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Понятие об особых решениях дифференциальных уравнений. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (однородные и неоднородные). Понятие общего решения. Метод вариации произвольных постоянных.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида.
Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Метод исключения. Векторно-матричная запись нормальной системы. Структура общего решения.
Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение в случае простых корней характеристического уравнения.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка - уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную
.
Решением дифференциальных уравнений называется любая действительная функция, определенная на некотором интервале и обращающая данное уравнение в тождество.
Если функция, являющаяся решением дифференциального уравнения, определена в неявном виде: , то называется интегралом данного дифференциального уравнения.
Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений 1-го порядка:
Уравнения с разделяющимися переменными
,
или .
Разделение переменных производится следующим образом:
,
которые интегрируются
;
.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
,
,
,
,
,
,
- общий интеграл уравнения.
Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения. , удовлетворяющее начальному условию:
,
,
,
,
,
.
Общее решение.
Используем начальные условия, определим значение произвольной постоянной:
,
,
.
Следовательно, частное решение:
.
Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Уравнение называется однородным, если - однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов, т.е.
.
Решение выполняется с помощью замены .
и сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример.
,
,
замена ,
,
,
,
,
,
,
,
;
- общее решение.
Найдем, используя начальное условие
- частное решение.
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение Бернулли
Уравнение , линейное относительно неизвестной функции и ее производной, называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Функции идолжны быть непрерывными на отрезке для того, чтобы выполнились условия теоремы Коши существования и единственности решения.
Для решения выполняем замену
,
,
т.е. общее решение всегда можно записать в виде
Пример:
Ищем решение в виде, где
,
,
.
Пример:
,
,
,
,
,
.
Уравнение Бернулли
,
замена приводит его к линейному.
Пример:
или ,
,
,
,
,
,
,
,
.
Пример решения задачи на составления дифференциальных уравнений.
Задача. Записать уравнения кривой, проходящей через т. и обладающей следующим свойством: площадь треугольника, образованного радиус-вектором любой точки кривой, касательной в этой точке и осью абсцисс, равна 2.
Как видно из рисунка, .
Из получаем
,
,
,
,
.
Поставим в это равенство выражение ии придем к дифференциальному уравнению
,
,
-линейное уравнение 1-го порядка. Решаем его с помощью подстановки :
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Ответ: , искомая кривая проходит через точкупоэтому;-данная кривая гипербола.
Перейдем теперь к дифференциальным уравнениям 2-го порядка, допускающим понижения порядка.
-общее решение такого вида находим методом 2-кратного интегрирования.
Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка не содержит искомой функции .
В этом случае выполняется замена и уравнение становиться уравнениемпервого порядка.
После нахождениянаходим.
Пример.,
,
-уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными.
,
,
.
Дифференциальное уравнение 2-го порядка не содержит независимую переменную .
В этом случае выполняется замена
,
После чего уравнение сводится к уравнению 1-го порядка.
Пример:,
,
.
Далее рассмотрим линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- не-однородное уравнение -го порядка.
- однородное уравнение,.
Составляется характеристическое уравнение
.
Пример:
Характеристическое уравнение ,
Находятся его корни: .
Корни характеристического уравнения могут быть:
различные действительные;
действительные равные;
комплексные сопряженные.
Пусть - линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
-характеристическое уравнение.
1)-действительные, решение запишется в виде
.
2) -корни равные, решение имеет вид
.
3) - решение имеет вид
.
Примеры:
1),
,
,
.
2),
,
,
.
3),
,
,
.
4),
,
,
.
Если уравнение с постоянными коэффициентами неоднородное, то его решение состоит из суммы решений: общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, которое ищем по виду правой части.
Пусть
и-сonst, то , где-общее решение однородного уравнения,-частное решение, которое ищем в зависимости от вида, а именно:
1),
где - число коней характеристического уравнения, равных 0;
2) ,
где - число корней характеристического уравнения, равных;
3),
где - число корней характеристического уравнения, равных;
4) ,
,
где - число корней характеристического уравнения, равных.
имногочлены степени, где.
Пример:
,
,
,
,
,
, так как ;
, так как и корень характеристического уравнения, то,
.
-решение, подставляем его в уравнение и находим неизвестные коэффициенты и:
.
Подставив,,в исходное уравнение и приравнивая коэффициенты в левой и правой частях при одинаковой степени, получаем систему для нахожденияи.
Записываем решение
.
Общим решением уравнения будет
,т.е.
.
Решение дифференциального уравнения методом вариаций
произвольных постоянных
.
Решаем соответствующее однородное уравнение
.
Общее решение однородного уравнения будет
.
Считая, что и– функции, зависимые от,
.
Определим ииз системы
которая для данного уравнения имеет вид
находим ииз этой системы, а затеми:
;
.
Общее решение будет выглядеть :
.
Пример: решить систему дифференциальных уравнений:
.
Продифференцируем первое уравнение по :
и заменимиз второго уравнения:
.
Окончательно ,
-однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами.
.
Следовательно, решение
,
из первого уравнения,
поэтому найдём
и подставим
,
.
Контрольная работа №6 по теме