5. Математические модели в задачах оптимизации.

Обычно решение задач оптимизации Химико-технологических процессов и производств предполагает наличие их математической моделей. Всякое аналитическое (математическое) соотношение или однозначный алгоритм, устанавливающий связь между параметрами (координатами) оптимизируемой системы носит название математической модели этой системы. Математическая модель в общем виде м.б. записана следующим образом:

(1), где - вектор параметров модели.

Если- не определен с точностью до числовых значений, то функция (1) будет называться мат. описанием. В общем случае мат.модель включает соотношение (1), алгоритм определения, программная реализация алгоритмов. Алгоритм решения, кроме соотношения (1), предполагает задание граничных или начальных условий.

может и не выражаться набором каких-либо элементарных функций, а задаваться системами алгебраических , дифференциальных, интегральных и др. видах уравнений или задаваться к.л. алгоритмом, например, алгоритмом распознавания образов, искусств, нейронные сети. Символ указывает на наличие однозначной связи между параметрами процесса и системы и задает вид этой связи.Может определяться и в вероятностном смысле, т.е. устанавливать связь между векторами математических ожиданий (средних значений) координат системы. В этом случае, когда присутствует операция усреднения, модель будет называться стохастической (вероятностной).

Решение системы (2). Иногда удается получить аналитическое решение системы (1) в виде (2). Чаще всего это алгоритм решения системы (1)

Если влияние неконтролируемых возмущений для условия данного процесса можно пренебречь или учесть их путем усреднения и текущей параметрической идентификации модели (1), например, с применением рекуррентных многошаговых процедур на основе алгоритма стохастической аппроксимации, являющейся решением стохастического уравнения, то решение (2) примет вид: (4) , где - вектор скорректированных параметров модели. Т.к. векторв модели в текущий момент времени является числом – константой, то его можно ввести в операторf : (5)

Критерий оптимальности зависит от выходных координат объекта у, являющихся результативными показателями для этого процесса, характеризующих состояние системы и м.б. представлен в виде (6)

С учетом (5) выражение для критерия можно записать в виде (7), (8) .

6. Постановка задачи оптимизации. Графическая интерпретация задачи оптимизации.

С учетом соотношения (8) задачу оптимизации можно сформулировать: требуется найти вектор управлениятакой, что при заданном векторекритерий оптимальностиR принял бы наилучшее значение. При этом управление связаны между собой в общем случае соотношениями(9),(10), которые являются ограничениями в форме равенств (9) и неравенств (10) в задаче оптимизации. Часто эти ограничения являются критериями в многокритериальной задаче оптимизации, в которой- главный критерий, аипереводятся в разряд ограничений.

Решение задачи оптимизации без учета ограничения (9), (10) называется решением задачи безусловной оптимизации с одним критерием R. С учетом (9), (10) задачи оптимизации будут называться задачами условной оптимизации. Используя выражения (8), (9), (10) постановку задачи оптимизации формально можно записать (11)

Т.к. в задаче оптимизации (задание значение вектора) выступает как константа, то можно записать следующим образом:,,(12).

Задачу (11) можно сформулировать и в след. виде (13)

В дальнейшем при изложении методов оптимизации с учетом соотношения (12) будем записывать ,,

В соответствии с (13) графически задачу оптимизации можно интерпретировать следующим образом: рассмотрим задачу с 2-мя управлениями: рис 6. 1,2,3.

Пусть R(x₁,x₂) имеет max. , то; призадачи оптимизации нет (рис. 6.2).

Если размерность , то для графической интерпретации отклика поверхностиберут 2 оси (координат) и через них проводят плоскость. Плоскостями, параллельными плоскости, проходящей через выбранные оси, рассекает плоскость(рис 6.3).

. - любая.

Задача оптимизации в действующей технологии является определение оптимальных значений заданий регулятора технологических процессов.