23. Метод Штрафов в задачах на условный экстремум.

Метод штрафов основывается на теореме Куна-Таккера.

Пусть заданы критерии оптимальности R(x), (1);(2);(3);(4)

Если при поиске условного экстремума нарушается какое-либо из ограничений (2), (3), то целевая функция R(x) «штрафуется», если ищем min, то к функции добавляется достаточно большое положительное число (штраф). Если ищем max, то из функции вычитается достаточно большое положительное число. Формально штрафование производится по следующему алгоритму:1.образуется функция (5)

с помощью функции p образуется новая функция (6)

α_i,β_k,i=; k=положительные производные числа для поиска min и отрицательные для поиска max.

Можно показать что при достаточно больших α_i и β_k, если достигает в какой-то точке условного экстремума, то функцияФ(x) достигает в этой точке безусловного экстремума того же типа. Благодаря этому решением задачи условной оптимизации будет глобальный оптимум функции Ф(x). Недостаток метода: при достаточно больших α_i и β_k функция Ф(x) приобретает гребень(овраг),идущий вдоль ограничения т.е. будет мало чувствительна к изменению вектора в направлении оврага, поэтому движение по пологому дну оврага будет медленнее. Однако существует метод позволяющий преодолеть указанный недостаток.

25. Метод неопределенных множителей Лагранжа как частный случай теоремы Куна-Таккера. Пример использования метода (проектирование опт. Бочки)

Рассмотрим случай, когда в нашей задачи ограничения типа неравенств

неактивны, т.е. точка экстремума лежит внутри области на .

Это означает, что правая часть соотношения

(4)

становится равной нулю, тогда

(5);

(6), (7)

- условие Лагранжа, необходимое условие существования экстремума при наличии ограничений лишь типа равенств. Условие Лагранжа получается как необходимое условие существования безусловного экстремума функции Лагранжа, имеющей вид

(8),

где - неопределенные множители Лагранжа.

Условие (7) как необходимое условие существования экстремума (8).

Т.о. необходимое условие существования безусловного экстремума ее дифференцированием по переменным с приравниванием результата к нулю и дополнением с системой уравнений ограничений типа равенств. Из решения находими.

Рассмотрим пример:

Необходимо определить соотношение между высотой и диаметром цилиндрического аппарата имеющего крышку и дно («бочка»), объем которой задан, но изготовление, которой идет min количество материала, т.е. поверхность минимальна.

; ;

26. Мнл. Распределение потоков сырья между параллельно работающими аппаратами.

Рассмотрим случай, когда в нашей задачи ограничения типа неравенств неактивны, т.е. точка экстремума лежит внутри области на (Рис 26.1 ). Это означает, что правая часть соотношения

(4)

становится равной нулю, тогда

(5)

(6), (7)

- условие Лагранжа, необходимое условие существования экстремума

при наличии ограничений лишь типа равенств.

Условие Лагранжа получается как необходимое условие существования безусловного экстремума функции Лагранжа, имеющей вид

, (8)

где - неопределенные множители Лагранжа.

Условие (7) как необходимое условие существования условия (8).

Т.о. необходимое условие существования безусловного экстремума ее дифференцированием по переменным с приравниванием результата к

нулю и дополнением с системой уравнений ограничений типа равенств. Из решения находим и

Рис. 26.1.

Распределение потоков сырья между параллельно работающим аппаратом.

Рассмотрим задачу распределения сырья в аппарате, неконкретизируя тип аппарата, вид критерия оптимальности. Считаем, что критерий оптимальности является суммой критериев оптимальности каждого аппарата, т.е. критерий аддитивен. (Рис. 26.2 )

(1)

(2)

Условие (2) является ограничением в форме равенства в задаче распределения потоков.

Для решения используем метод неопределенных множителей Лагранжа.

(3)

Ищем безусловный экстремум этой функции. Запишем систему необходимых условий существования функции Ф

(4)

(3) и (4) необходимые условие сущ. экстр.

(5)

Для оптимального распределения потока сырья критерий оптимальности должен быть аддитивной функцией.

Рис. 26.2.