- •Министерство образования Российской Федерации.
- •2. Многокритериальность. Особенности многокритериальных задач.
- •3. Однокритериальные задачи исследования операций.
- •4. Понятия и определения.
- •5. Математические модели в задачах оптимизации.
- •6. Постановка задачи оптимизации. Графическая интерпретация задачи оптимизации.
- •7. Классификация хтп и хтс с позиции решения задач оптимизации.
- •8.Критерии оптимальности.
- •9.Технико-экономические критерии (прибыль, норма прибыли)
- •10. Критерий оптимальности в виде алгебраической функции.
- •11.Критерий оптимальности в виде аддитивной функции частных критериев оптимальности.
- •12. Критерии оптимальности в виде линейной функции от управления.
- •13. Критерии оптимальности в виде функционала.
- •14.Линейное программирование. Постановка задачи лп.
- •Математическая формулировка задач линейного программирования.
- •15. Графическое представление задачи лп.
- •16. Симплекс - метод решений задач линейного программирования.
- •17.Метод искусственного базиса
- •18.Оптимальная организация производства продукции при ограниченных запасах сырья.
- •19. Методы оптимизации основанные на классическом математическом анализе.
- •20. Достаточные условия существования экстремума.
- •Условия Сильвестра.
- •22. Задачи на условный экстремум. Теорема Куна-Теккера.
- •23. Метод Штрафов в задачах на условный экстремум.
- •25. Метод неопределенных множителей Лагранжа как частный случай теоремы Куна-Таккера. Пример использования метода (проектирование опт. Бочки)
- •26. Мнл. Распределение потоков сырья между параллельно работающими аппаратами.
20. Достаточные условия существования экстремума.
Разложим R(x) в окрестности точки, подозреваемой на экстремум
x0=col()
X0 удовлетворяет необходимым условиям существования R, тогда
(3)
Из выражения (3) следует, то что, если пренебречь членами порядка малости выше 2-го знака приращения «±» определяется всеми производными 2-ого порядка, включая и смешанные. Частные производные вычисляются в т.и их можно рассматривать как константы, поэтому необязательно требовать малости:
,
обозначим
Если при любых и, кроме,Z2>0, а в точке 1 Z2=0, то Z2 положительно определена и в точке экстремума будет иметь минимум >0. Для положительной определенности квадратичной формыZ2 необходимо и достаточно чтобы все определители состояли из элементов и были положительны.
, тогда Х0 – доставляет min .
Условия Сильвестра.
Таким образом, если все определители Сильвестра положительны, то в точке экстремума имеем минимум : Х0 = arg minЕсли определитель Сильвестра нечетного порядка «-» , а четного «+», то в точке экстремума имеем максимум. При другой последовательности чередования знаков определителей Сильвестра в точкеэкстремума нет. Например, точкаявляется «…». (Рис. 20.1).
Рис. 20.1
22. Задачи на условный экстремум. Теорема Куна-Теккера.
Пояснения к рис. 22.1.
Границы допустимой области составлены из отрезков линий:
Если решение лежит внутри допустимой области → ограничение в форме неравенств неактивны, тогда решение задачи можно свести к более простому случаю с ограничениями в форме неравенств поэтому особый интерес представляют решения находящиеся на границе данной области и особенно в угловых точках, где активны два ограничения в форме неравенств. Пусть это будут <0 и<0 – это условие когдаmax R в угловой точке, т. к. через нее проходит линия = 0. Построим в точке С градиенты всех функций. Градиент перпендикулярен касательной к точке и указывает направление наибольшего возрастания функций. Пусть в точкеС функция R(х) достигает условного максимума, т.к. показывает направление наибольшего возрастанияR, то он должен образовывать тупой угол с направлением L к касательной = 0 в точкеС. иL должны лежать по разные стороны от линии, по которой направлен и по одну сторону си. Проведем биссектрису угла образованнуюи, т.к.,илежат по одну сторону от линииR. В этом направлении точка С до пересечения L и α обозначим через вектор V.
(*1)
(*2)
больше 0, больше 0
(*4)
Аналогичный результат б. получен, если активно т. 1 ограничение , т.е.точка С пренадлежит линии.
Теорема. Условия (*3), (*4) справедливы и для задачи (1)-(3) т.е. м. сформулировать теорему Куна-Таккера. Если функция целевая при наличии ограничений типа равенств и неравенств достигает условного экстремума в некоторой точке С, к. пренадлежит допустимой области, то существуют такие положительные числа,,…и, из которых хотя бы 1 отлично от 0, такие числа,
что и длявыполняется следующия соотношения:
(*5)
(*6)
Поэтому принято больше 0.
Вывод теоремы был сделан для случая max , т о,все остальное остается в силе
матрицы от руки пиши
Система (**5) дополняется условиями (*6). Нужно решить систему (*%) и найти экстримум. (*5),(*6) – необходимые условия существования экстримума при ограничении типа равенств и неравенств.