2 Анализ динамики системы операторным способом
В динамике необходимо найти закон изменения скорости поршня от ступенчатого воздействия (изменения) усилия на рабочем органе.
Для анализа динамики возьмем систему уравнений, описывающих работу системы, которая была получена с помощью метода узловых потенциалов:
-
-
-
=0
-
-
-
=0
+
=0
+
-
-
=0
Перейдем от оригинала к изображению при помощи преобразований Лапласа, которое имеет вид:
где F(λ) – изображение (функция от λ);
А(t) – оригинал (фунуция от t);
λ=a+jb – комплексная переменная.
Проводим преобразование системы дифференциальных уравнений согласно правилам, в итоге получаем:
-
-
=
-
-
-
-
=0
+
-m2φ3λ-Fn=0
-
+
-
-
=0
Сгруппируем коэффициенты при переменных:
-φ2S1+
=
-
-
+
-
=0
-
=Fn
+
-
=0
Решаем систему уравнений методом Крамера. Главный определитель имеет вид:
Подставим известные величины и получим:
Найдем определитель:
Дополнительно найдем определитель Δ3, что бы найти зависимость скорости поршня от ступенчатого воздействия усилия на рабочий орган, необходимо в главном определителе заменить 3 столбец на столбец свободных членов.
Таким образом, решение системы в изображениях принимает вид:
Переход от изображения к оригиналу
Для перехода к оригиналу воспользуемся разложением, для этого найдем 1-ю производную от полинома стоящего в знаменателе
Получаем характеристическое уравнение приравняв к нулю полином в знаменателе решения системы.
36,504*1021*λ5+1449240* λ4+6,86*1028*λ3+18,27*1011*λ2+3,94*10-7*λ1
Перейдем от изображения
к оригиналу, при помощи выражения
и решим полученное характеристическое
уравнение:
Найдем N(λK), подставив корни характеристического уравнения в числитель решения φ3(λ).
N(λ1)=5,752*10-5
N(λ2)=-9,909*10-7
N(λ3)=5,644*10-5
N(λ4)=6,527*1034
N(λ5)=6,527*1034
Найдем М'(λK), подставив корни характеристического уравнения в выражение производной от полинома, стоящего в знаменателе решения φ3(λ).
M' (λ1)=-1,972*10-7
M' (λ2)=-4,313*10-6
M' (λ3)=-3,289*10-7
M' (λ4)=-1,076*1034
M' (λ5)= -1,076*1034
Найдем коэффициенты формулы разложения:
N(λ1)/ M' (λ1)=-291,684
N(λ2)/ M' (λ2)=0,23
N(λ3)/ M' (λ3)=-171,602
N(λ4)/ M' (λ4)=-6,066
N(λ5)/ M' (λ5)=-6,066
Тогда решение будет иметь вид:
f(t)=-291,684*e0+0,23*e-2,64e-17*t-171,602*e-2,17e-19*t-6,066*e-1370,85i*t-6,066*e1370,85i*t
Итак, мы нашли закон изменения скорости поршня от ступенчатого воздействия (изменения) усилия на рабочем органе.
Рис. 9
Вывод: при ступенчатом воздействии на поршень усилием рабочего органа в первом возникают затухающие колебания скорости. Примерно через 0,7 с устанавливается динамически стабильный период работы системы, следовательно, систему можно считать устойчивой.
В ходе расчёта и анализа гидромеханической системы, были получены следующие параметры:
Давление в правой полости φ1=Р1= 3.492*106 Па
Давление в левой полости φ4=P2=3.524*106 Па
Скорость поршня и рабочего органа φ3 =V=0,103 м/с
И сделаны выводы:
1. Из графика зависимости скорости поршня от параметров источника (рис.7) видно, что при увеличении давления рабочего органа скорость поршня увеличивается линейно.
2. При ступенчатом воздействии на поршень усилием рабочего органа в первом возникают затухающие колебания скорости.