Вышка задачи

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов

Самара 2005

3

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра высшей математики

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов

Утверждены редакционноиздательским советом университета 19 января 2005 г.

Самара 2005

4

Составители: Антонова Н.Н., Голодова Е.С., Хлебникова М.Ю.

УДК 517.3(07)

Определенный интеграл: Методические указания / Сост.: Антонова Н.Н., Голодова Е.С., Хлебникова М.Ю.; Самарск. гос. арх. -строит. ун-т, Самара,

2005.

Данные методические указания являются разработкой практических занятий по теме «Определенный интеграл». Подробно изложены методы вычисления определенного и несобственного интеграла, а также геометрические, физические и экономические приложения. Методические указания содержат варианты индивидуальных заданий, позволяющих организовать самостоятельную работу студентов при изучении темы. Методические указания предназначены для студентов I курса специальностей 290300(«Промышленное и гражданское строительство»), 290500 («Городское строительство и хозяйство»), 291000(«Автомобильные дороги и аэродромы»), 290400(«Гидротехническое строительство»), 290700 («Теплогазоснабжение и вентиляция»), 290800 («Водоснабжение и водоотведение»), 330200 («Инженерная защита окружающей среды»), 290600 («Производство строительных материалов, изделий и конструкций»), 291300 («Механизация и автоматизация строительства») и составлены в соответствии с рабочим планом кафедры высшей математики.

Настоящие методические указания не могут быть полностью или частично воспроизведены, тиражированы ( в том числе ксерокопированы) без разрешения Самарского государственного архитектурно-строительного университета.

© Самарский государственный архи- тектурно-строительный университет,

2005

5

Определение. Пусть f(х), х [а; b],— непрерывная неотрицательная функция. Тогда, если пределы последовательностей sn и Sn существуют и равны, то их

значение называется площадью криволинейной трапеции.

На каждом отрезке xi 1; xi выберем произвольную точку сi, xi 1 ci xi . Для нее

7

равенства сложим. Тогда придем к неравенствам

называется интегральной суммой функции f(х) на отрезке [а; b]. Переходя в неравенствах (1.2) к пределу при n , заключаем, что предел интегральной суммы (1.3) существует, не зависит от выбора точек сi и от способа разбиения [а; b] на частичные отрезки и равен площади фигуры аАВb:

С необходимостью вычисления предела интегральных сумм мы встречаемся в задачах разной физической природы, например, при введении понятия работы силы. Пусть материальная точка под действием постоянной силы F движется по прямой. Тогда положение материальной точки характеризуется координатой х. Работа А силы F вычисляется по формуле

где x — перемещение материальной точки.

Пусть теперь материальная точка движется вдоль оси Ох под действием переменной силы f(x), причем в начале движения она находится в точке х=а, а в конце

некоторая точка отрезка [хi-1, хi]. Тогда работа силы на отрезке [а; b] приближенно выражается формулой

Точность приближения будет тем лучше, чем короче отрезки [хi-1, хi], на которые разбит отрезок [а; b]. Поэтому, переходя к пределу при n , получим равенство:

совпадающее по виду с равенством (1.4).

2.Понятие определенного интеграла

Из рассмотренных в п. 1 примеров видно, что к задаче о нахождении предела интегральной суммы сводятся задачи разнообразной природы.

n

существует и не зависит от выбора точек сi и от способа разбиения [а; b] на час-

8

тичные отрезки, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b], а предел - определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] и обознача-

b

ется символом f x dx.

a

Это обозначение читается так: «интеграл от а до b от функции f(x) по dx» или, короче, «интеграл от а до b от f(x)dx». Знак называется знаком интеграла, функ-

ция f(x) — подынтегральной функцией, переменная х — переменной интегрирования, выражение f(x)dx — подынтегральным выражением. Числа а и b называются пределами интегрирования, соответственно, нижним и верхним.

Таким образом, согласно определению,

a

2°. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [а; b]. Тогда для любого действительного числа а, функция f x также интегрируема на [а; b] и выполняется равенство:

т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

3°. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [а; b]; тогда их алгебраическая сумма также интегрируема на [а; b], и выполняется равенство:

9

которые числа, то

a

7°. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b]. Тогда на этом отрезке существует такая точка с, что

b

a

Для неотрицательной функции это свойство имеет простое геометрическое истолко-

вание: площадь криволинейной трапеции, соответствующей функции f, равна площади прямоугольника, у которого основание равно основанию трапеции, а высота равна одному из значений функции (рис. 2).

y

Рис. 2

4.Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b]. Тогда, как было отмечено выше, она интегрируема на любом отрезке [а; х], где х [а; b]. Рассмотрим функцию

a

Эта функция называется интегралом с переменным верхним пределом. В формуле

(1.13) переменная интегрирования обозначена через z, так как через х здесь обозна-

чен верхний предел интеграла (он является независимой переменной, т. е. аргумен-

том функции Ф). Для этой функции справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то функция

Это утверждение называют теоремой о дифференцировании интеграла по верхнему пределу. Из нее следует, что любая непрерывная функция имеет первообразную, которой является определенный интеграл с переменным верхним пределом от данной функции.

10

5. Формула Ньютона — Лейбница

ТЕОРЕМА 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b], а функция F(x) является первообразной для f(x) на [а; b], то справедлива формула:

a

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Часто для краткости вместо разности F(b) — F(a) пишут: F x ba , и тогда формула (1.15) принимает вид:

Формула Ньютона — Лейбница позволяет вычислять определенные интегралы в тех случаях, когда известна хотя бы одна первообразная подынтегральной функции.

1. Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислите интегралы:

11

II. Методы вычисления определенных интегралов

1.Метод замены переменной интегрирования (метод подстановки)

При вычислении определенных интегралов, как и при вычислении неопреде-

ленных, часто используется метод подстановки (метод замены переменной ин-

a

которая называется формулой замены переменной интегрирования в определен-

ном интеграле.

Примеры

12