Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вышка задачи

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2015

Размер:

2.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

b			b

x 1 f x 2 dx			f x 1 f x 2 dx

xC	b	yC	b	.	(5.10)
	a		a

	1 f x 2 dx		1	f x 2 dx
	a		a

ЗАМЕЧАНИЕ. Если плотность постоянна, но 1, то в формулах (5.8) и (5.9) для вычисления статических моментов и массы плоской кривой правые части надо умножить на . Формулы же (5.10) для вычисления координат центра масс останутся без изменения.

Используя вторую из формул (5.10), установим один важный геометрический факт, записав равенство

1 f x 2 dx

f x1 f x 2 dx

и умножив последнее равенство на 2 , получим

S 2 yCl,

так как длина дуги кривой вычисляется по формуле

	b
	b	1 f x 2 dx,
	l	1 f x 2 dx,
	a
	а поверхности вращения - по формуле

S 2

f x1 f x 2 dx.

Итак, справедливо следующее утверждение:

площадь поверхности, образованной при вращении кривой вокруг оси, лежащей с ней в одной плоскости и не пересекающей ее, равна длине дуги, умноженной на длину окружности, которую описывает при этом вращении центр масс дуги.

Это утверждение называется первой теоремой Гульдена.

Пример. Найти статические моменты относительно осей координат и

координаты

центра масс полуокружности y

R .

Так как y

, то 1

. Поэтому, используя формулы

(5.8), находим:

R2 x2

dx R dx 2R2 , M

R R2

Длина полуокружности равна R, поэтому из формул (5.10) следует, что центр масс

имеет координаты:

2R2

, x

0 .

Итак, C 0; 2R .

5.Вычисление статических моментов и координат центра масс плоской фигуры

Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная графиком неотрицательной функции у=f(x), х [а; b], осью Ох и прямыми х = а и х = b, по которой непрерывно распределена масса с плотностью =1. Тогда масса криволинейной трапеции численно равна ее площади. Для вычисления статических моментов Мх и My криволинейной трапеции разобьем ее на n частей (рис. 21) прямыми, параллельными оси ординат и проходящими через точки:

x a	b a	i, i 0,1, 2, ..., n.

1	n

y	y=f(x)

Δx

Рис. 21

Масса одной такой части составляет

xi . Сосредоточив массу каждой

части в ее центре масс

x ;

, находим:

M xi

xi ,

M yi

xi xi

xi yi xi .

Просуммировав по всем i, в пределе получим:

		1 b	y2dx, M		b
M	x			y	xydx .	(5.9)
M		2 a			xydx .	(5.9)

					a

Используя формулы (5.9), запишем формулы для вычисления центра масс:

y2 dx

xydx

M y

M x 2 a

(5.10)

, yC

ydx

a	a

Умножив последнее равенство на 2 m , получим:

	b
2 y m	y2dx.	(5.11)
C

Правая часть равенства (5.11) представляет собой объем тела вращения. Итак,

V S 2 yc ,

т. е. объем тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, равен площади этой трапеции, умноженной на длину окружности, которую описывает при этом вращении центр ее масс.

Это утверждение называется второй теоремой Гульдена.

Пример. Найти статический момент относительно оси Ох пластинки, ограниченной

одной аркой циклоиды x=a(t-sint), y=а(1-cost), t

0;2

и ее основанием.

Используя первую из формул (5.9), получим:

1 2

5a3

y2dx

a3 1

cost

2 0

Пример. Найти координаты центра масс полукруга x2

r2 , y 0 .

Чтобы найти искомую ординату, воспользуемся второй теоремой Гульдена:

уС=

Так

как для

шара V

r3 ,

площадь

полукруга S

то

2 S

. Из симметрии фигуры относительно оси ординат следует,

что

хС=0. Итак, C 0;

VI. Экономический смысл определенного интеграла

Пусть функция z f t описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени t. Найдем объем продукции U, произведенной за

промежуток времени

0, T .

Отметим, что если производительность не изменяется, то есть f

const , то

объем продукции U , произведенной за некоторый промежуток времени

t, t

t ,

задается формулой

t .

В общем случае справедливо приближенное равенство

t ,

(6.1)

где

t, t

t , которое оказывается тем более точным, чем меньше

t .

Разобьем отрезок

0, T

на промежутки времени точками

0 t0

...

tn T .

Для величины объема продукции

U i

произведенной за промежуток времени

ti 1 , ti

, имеем:

U i

ti ,

(6.2)

где i

ti 1 , ti

, t ti

ti 1 ,

1, n .

Тогда U

U i

— интегральная сумма функции f t на

0, T .

i 1

При стремлении max ti 0 каждое из приближенных равенств становится все более точным, поэтому

			n
U	lim		f	i ti .	(6.3)
	max ti	0	i 1
			i 1

Учитывая определение определенного интеграла, получаем:

U f t dt , т.е.

если f t — производительность труда в момент времени t, то

пускаемой продукции за промежуток 0, T .

f t dt — объем вы-

Сравнение данной задачи с задачей о площади криволинейной трапеции (см. выше) показывает, что величина объема продукции, произведенной за промежуток

времени 0, T , численно равна площади под графиком функции z	f t , описы-
вающей изменение производительности труда с течением времени на	0, T или
T
f t dt .
0

z z=f(t)

																ОТВЕТЫ:
Упражнение 1
																1 а3
	1.	а)			19			; б) 39,105; в)							; г)	1 а3		; д)	2 3	; е) e2			e		0,5.
	1.	а)						; б) 39,105; в)							; г)			; д)		; е) e2			e		0,5.
					3					3						6			3
	2.	а) 1; б)									29			.
	2.	а) 1; б)								9				.
										9
Упражнение 2
	1.		8		; 2.					2 2ln 2 ; 3. 2					ln 2 ; 4. 2 ln 2				1 ; 5.			; 6.		2	; 7.		1	; 8.		e 2		1	;
	1.				; 2.					2 2ln 2 ; 3. 2					ln 2 ; 4. 2 ln 2				1 ; 5.			; 6.	3		; 7.			; 8.					;
		3																		3	3		3		4	2						4
9.							1		ln			3	.


4	3	3			2					2
Упражнение 3
		5																											2		.
	1.	5				; 2. расходится; 3.									ln		2 ; 4. расходится; 5. расходится; 6.												2
																													3
		6		3
		6		3

Упражнение 4
1.	а) 36; б)				8		; в)						23		; г)			3	; д)
1.	а) 36; б)						; в)								; г)				; д)
			3									6						4
2.	а)	3	a2 ; б)					7a2						.
2.	а)	2	a2 ; б)											.
		2						4

3.	а)	4(	13 2)						; б) 1								1	ln		3	.
3.	а)								; б) 1									ln			.
			27													2			2
4. а) 12				; б)			7	a		3		; в)				96			; г)
4. а) 12				; б)		6		a				; в)				5			; г)
						6										5
	а) 4 R 2 ; б)
5.											33 33 1 .
5.								6			33 33 1 .
								6

63 12 ; е) e2 . 2

ln2.

Индивидуальное домашнее задание

1.Вычислите интегралы;

2.Вычислите несобственные интегралы (или докажите их расходимость).

3.Вычислите площади фигур, ограниченных линиями.

4.Найдите длину дуги кривой.

5.Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями:

a)вокруг оси OX;

b)вокруг оси OY.

6.Найдите площадь поверхности, образованной вращением вокруг указанной оси кривой.

ВАРИАНТ №1

cos3 t;

1. sin x e x dx;

dx;

ln x2 1 dx;

sin3 t;

0; t1

2 .

sin2x

ecos 2 x dx;

;

dx.

2 4

2. e

5. а) y

; y x; y 0;

2 dx;

dx.

б)

arctgx;

4 ;

3. а)

x(3

x)(x

2);

6. x 2

y 2

б)

ex ;

(OX)

в)

cos

;

sin .

(общей части)

ВАРИАНТ №2

3tgx dx;

sin x

dx;

1 2

ex dx;

x3 ;

cos2 x

x 2

ln x x2dx;

dx;

dx.

;

dx.

5. а)

tgx; x

б)

;

y 1;

3. а)

x(x

2)(x

3);

б) y e x ; x 1; y e.

a cos t; (OX)

asin

в)

cos

;

cos .

ВАРИАНТ №3

x 3 1 x2 dx;

;

dx;

49x

0 cos

ln 3

2 x

x dx

;

dx.

e x

x2 arctg2 x

ln 2x

5. а)

dx;

dx.

4x.

б)

;

3. а)

x(2

x)(x

3);

0; y

sin x;

. (OX)

б) y

; x y; x 4; y 0.

в)

2cos .

ВАРИАНТ №4

sin x

1)3 ;

1. 23x 1 dx;

dx;

0 x2

cos2 x

ln 24

0 arctgx dx;

; ln 9

8 1

x dx

;

sin

5. а)

sin

;

(полуволна синусоиды)

б)

2 x;

4(x

3);

3. а)

1)(x 3)(x

1);

a cos;

(OX)

b sin t.

б)

2x ;

в)

2cos

;

cos .

ВАРИАНТ №5

sin x

t 2

dx;

cos 2 x

ln 2

e x

2)sin 3x dx;

x(3x

1)9 dx;

1dx.

5. а)

cos

;

x 0.

;

0 arccosx

3 x

б)

x 0.

3. а)

3)(x

1)(x

4);

a(t

sin t);

a(1

cos t). t

0;2

б)

x ;

(OX)

в)

3cos

;

3 sin .

(общей части)

ВАРИАНТ №6

ln x;

;

x 3 x2

dx; x e x dx;

cos2 x

3 2

12x

2ln x

dx.

dx;

;

5. а) y ex ; y x; x 0

2. 1

;

x ln2 x

4 9x2

x 1.

б)

x3 ;

3.а)

x)(x

1)(2x

8);

5; y

6. y

e a

, x 0, x a.

б) y 2x ; y 2 x ; x 1.

в)

sin

;

sin .

(OX)

(общей части)

ВАРИАНТ №7

x dx

3 3

ctg

2 x

2cos

;

dx;

cos2 x

9 x2

ln 3

1) cos

dx;

;

dx.

ln 2 ex

e x

x 3

4 x

5. а)

tgx;

2. e

dx;

dx.

1 x

б)

ln x;

3. а)

1)(x

3)(1

x);

3; x

6. y 2

4ax,

3a.

(OX)

б)

arctgx;

в)

cos .

ВАРИАНТ №8

5			12		5							e		dx			4.	x	2sin t		sin 2t,
5			12	3						4		e						x	2sin t		sin 2t,
1.	cos5x dx;		x			3			x			dx;				;
																		y	2cos t		cos 2t;

															ln2 x
10			1									1 x	4		ln2 x
10			2	dx								dx						t0	0;t1	.
2	x dx	16		dx					17			dx						t0	0;t1	.
		16						;	17						.					2
		;																		2
	sin2 x				4
	sin2 x		2 x		4		x		10		(x 5)		x	1
4		1							10
4

5. а)

6; x

x dx;

в)

arctgx; x

(2x

3. а)

3)(1

x)(x

4);

x 2;

tgx,

б)

sin x;

cosx;

(OX)

в)

cos

;

3cos .

(общей части)

ВАРИАНТ №9

sin x

x dx

0,5

arccos x

ln sin x;

;

dx;

;

dx;

0 1

3cos x

x 6 7 3x2 dx;

dx; (2 3x) ln x dx.

5. а)

;

dx;

4x2

б)

3. а)

(2x

4)(x 1)(x

4); x

6.3y

0, a .

(OX)

б) y ln x; x y 1; y 1.

в)

cos

;

3cos .

ВАРИАНТ №10

	2		(1	x)	2		0,2				x					1	(x 3)ex dx;				4. x	2(t sint);
1.			(1	x)		dx;					x			dx;
1.				x		dx;			x	2		3	5	dx;							y	2(1	cos t);
	1			x			0,2			2						0
	1						0,2									0					t0	0; t1	2 .
	1			x dx					0			dx				3			dx		t0	0; t1	2 .
				x dx				;				dx							dx
															;					.
																			(x 1)
	0	(x		2)(x			1)		1		3 x 1					1		x	(x 1)
	0								1							1

5. а) y

; y x 5.

;

0 x

1 x

б)

x3 ;

3. а)

x(x

3)(x

2);

6.9ay

x 3a

б)

(OX)

в)

3sin

;

sin .

ВАРИАНТ №11

cos x 2 dx;

ln 3

2(1

cos

) ;

sin x

ex dx;

dx;

1 x

ln 4

4 3

2ln x

4)10 dx.

dx;

5x)cosx dx;

x(3x

5. а)

cosx;

sin x; x

;

arcsin

dx.

25 x2

б)

x 4; x 0.

1 x2

3. а)

x(x

3)(x

2);

6. x2

a2 , x

0, y

б)

x2 ; y

x2 ;

(OX)

в)

sin .

ВАРИАНТ №12

;

x1 1.

ctg

dx;

;

x (x

cosx

112

x dx

dx;

ln(x 2)

x dx;

(sin x

5. а)

;

sin(1

3x)dx.

;

в)

3. а)

x(3

x)(x

2);

sint,

б)

x3 ;

et cost;

в)

4cos

;

(OX)

(большей части)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.09.2019271.76 Кб12вопросы геодезия.docx
#
29.03.2015140.25 Кб42Вопросы жбк.pdf
#
18.04.2019417.79 Кб2ВОПРОСЫ_экз_2.doc
#
24.11.201911.3 Mб17ВОС ОБОР. Бондарь.doc
#
23.09.2019991.96 Кб3вышка - 2003.docx
#
29.03.20152.37 Mб12Вышка задачи.pdf
#
29.03.2015683.01 Кб69Вяжущие вещества Цемент кислотостйкая.doc
#
29.08.2019175.54 Кб9Газовые сети.docx
#
29.03.201536.78 Кб18генплан.docx
#
29.03.201514.04 Кб26Геодезия.docx
#
28.09.20197.18 Mб73ГЕОЛОГИЯ!.docx