Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вышка задачи

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.03.2015

Размер:

2.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

периметров Pn :

l lim Pn .

Выведем формулу для вычисления длины дуги. Для этого сначала найдем периметр ломаной AM1M 2 ...M n 1B, . Точка Mi-1 с координатами xi-1 f xi 1 и точка Mi с ко-

ординатами xi и f xi являются концами i-ro звена ломаной. Длину i-ro звена вычислим по формуле расстояния между двумя точками плоскости:

l	x	x	2	f	x	f	x	2 .	(4.6)
i	i	i 1			i		i 1
Учитывая, что f(х) — непрерывно дифференцируемая функция на отрезке									[а; b], по
формуле Лагранжа будем иметь:
f	xi	f	xi 1	f	ci	xi	xi 1	,	(4.7)

где сi — некоторая точка интервала xi 1; xi . Подставив выражение (4.7) в формулу (4.6), получим:

x ,

(4.8)

где xi xi xi 1. Значит, периметр ломаной

AM1M 2 ...M n 1B равен следующей

сумме:

n l

x .

i 1

Итак, мы получили интегральную сумму для непрерывной функции 1 f c

2 на

отрезке [а; b]. Так как предел этой суммы при n существует, то, согласно определению, находим:

lim P

lim

2 x

f x

2 dx .

Таким образом,

2 dx .

(4.9)

Пример. Вычислить длину дуги параболы y

от ее вершины А(0; 0) до точки

Для вычисления длины дуги воспользуемся формулой (4.9). Так как y x , то

1 x2 dx . Так как

x2 dx

C , то

2 ln 1 2

1 x2 dx

x 1 x2

1 x2

ln x

Если уравнения кривой АВ задано в параметрической форме

x t ,

y t ,

где x t

и y t

непрерывные функции с непрерывными производными и x

a ,

b , то длина l кривой АВ находится по формуле

2 dt .

(4.10)

Формула (4.10) может быть получена из формулы (4.9)

подстановкой

x t

t dt ,

Пример. Найти длину окружности радиуса R.

Найдем

часть еѐ длины от точки (0; R) до точки

(R;0) (см рис. 14). Так как y

R 2

x2 , то

4 l

x2 dx

R arcsinR

2 .

Значит, l 2 R . Если уравнение окружности записать в

параметрическом виде x

Rcost ,

R sin t

2 ,

Рис. 14

то

R sint 2

R cost 2 dt

2 R .

Пусть

кривая

АВ

задана

уравнением

полярных

координатах

. Предположим, что r

и r

непрерывны на отрезке ; .

Если в равенствах x

r cos

, y

r sin

связывающих полярные и декартовы

координаты, параметром считать угол , то кривую АВ можно задать параметриче-

ски

cos

Тогда

cos

sin

Поэтому

sin .

sin

cos .

y 2

cos

sin

cos

2 .

Применяя формулу (4.10), получаем l

r 2

r 2 d .

Пример. Найти длину кардиоиды r

a 1

cos .

Кардиоида r

a 1

cos имеет вид, изображенный на рис. 15. Она симметрична

относительно полярной оси. Найдем половину

длины кардиоиды:

a 1

cos

sin

2 d

2а

cos 2

2cos d

2a cos

sin

4a.

Таким образом,

4a . Значит,

8a .

Рис. 15

3. Вычисление объемов тел вращения

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аАВb, ограниченной графиком неотрицательной непрерывной функции f(х), х [а; b], осью абсцисс и отрезками прямых х = а, х = b (рис. 16).

y	B
y
	A

x0 a x1 x2 xi 1 сi xi xn 1 xn b			x

Рис. 16

Разобьем отрезок [а; b] точками

i ,

0,1,..., n

на n частей равной

длины.

На

каждом из отрезков xi

1 ; xi ,

1,..., n

выберем

некоторую точку

xi 1; xi

и составим интегральную сумму:

f 2 c

x ...

f 2

f 2 c

x ,

(4.12)

где

xi 1 . Каждый член суммы (4.12) равен объему кругового цилиндра, а вся

сумма равна объему соответствующего ступенчатого тела. Для непрерывной функ-

ции f(x), х [а; b], предел интегральных сумм (4.12) при n						существует и равен
объему V рассматриваемого тела вращения:
		n			b
V	lim		f 2 c	x	f 2 x dx .	(4.13)
	n		i	i
	n	i	1		a
		i	1		a

Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением параболы y x2 вокруг

оси абсцисс на участке от х=0 до x=2. Используя формулу (4.13), находим

	2	x5	2	32

V	x4dx				.
		5		5
	0		0

Если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции х=φ(y), осью ординат и отрезками прямых y=а и y=b, то объем полученного тела вращения будет вычисляться по формуле:

	b
V	2 ( y)dy .	(4.14)

4. Вычисление площадей поверхностей тел вращения

Найдем площадь поверхности, полученной в результате вращения кривой АВ вокруг оси абсцисс (см. рис. 16). Пусть функция y=f(x), х [а; b] непрерывно диффе-

ренцируема на отрезке [а; b]. Через точки	x a	b a	i , i 0,1,..., n проведем пря-

	i	n

мые, параллельные оси ординат Оу, а их точки пересечения с кривой АВ обозначим через Мi. Соединив эти точки хордами, получим ломаную AM1M 2 ...M n 1B . При ее

вращении вокруг оси абсцисс получается поверхность, которая состоит из боковых поверхностей усеченных конусов, образованных вращением звеньев ломаной AM1M 2 ...M n 1B . Пусть площадь этой поверхности равна Sn.

Площадью поверхности тела вращения будем называть число S, равное пределу последовательности площадей {Sn}:

S lim Sn .

Площадь поверхности ломаной AM1M 2 ...M n 1B выражается следующим образом:

f xi 1

f xi

f x

1 f c

2 x ,

(4.15)

i 1

где мы воспользовались формулой (4.8). Сумма (4.15) не является интегральной суммой для функции

2 f

(4.16)

так как в слагаемом, соответствующем отрезку

xi 1 ; xi

, фигурируют несколько то-

чек этого отрезка, а именно xi 1 ,

xi , сi . Однако можно доказать, что предел суммы

(4.15) равен пределу интегральной суммы для функции (4.16), т. е.

n f

lim S

lim

f c

i 1

n f c

x 2 dx.

lim

Итак,

2 dx.

(4.17)

Пример. Вычислить площадь поверхности параболоида, образованного вращением


дуги параболы y				x , х	[0; 2] вокруг оси абсцисс.
Для вычисления площади поверхности воспользуемся формулой (4.17). Так
	1				2				2		9				3	9
							1											13

как f x			, то S 2			x 1		dx	1 4xdx			udu		u 2					.
как f x			, то S 2			x 1		dx	1 4xdx			udu		u 2					.
2		x			0		4x		0	4	1		6			1	3
																1

УПРАЖНЕНИЕ 4

1. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

а) y 6x x2 , y 0 ;

б) y2

4x 0 ; x y 0

в) y 2x 16 , y 8 7x x2 , x 0 ;

г) y x3 , x y 2 , y 0 ;

д) y

arсsin x , x

, y

0 ;

е) y ln x , y 0 , x e , x e2 .

2. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

а) r

a(1 cos

) ;

б) r

2 .

3.Вычислите длину дуги кривой:

а) y

x3 , x

0;1 ;

б) y

ln x, x

8 .

4. Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг указанной оси фигуры, ограниченной линиями:

а) xy	4, x	1, x	4, y 0 (Оx);
б) ( y a)2		ax, x 0, y 2a (Оx);
в) y x3 , x 0, y 8 (Оy);
г) y	1	, x	1, x 1, y 0 (Oy).

	1 x2

5. Вычислите площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси абсцисс кривой:

а) x2 y2 R2 ;

б) дуги кривой y2 4 x, отсеченной прямой x 2 .

V. Приложения определенного интеграла к решению физических задач

1.Задача о вычислении пути

Пусть материальная точка движется прямолинейно с некоторой скоростью v v(t) . Требуется найти путь, который пройдет эта точка за промежуток времени

от t a до t b.

В простейшем случае, когда скорость постоянна, т. е. v(t) v0 const , путь,

пройденный точкой, равен (по определению, известному из курса физики) произведению скорости на время движения:

S v0 (b a).

gt , где g-ускорение свободного

В общем случае, когда скорость непостоянна, поступают следующим об-

разом.	Промежуток времени	a;b	разбивают точками t0 a,t1 , ..., tn 1 ,tn b
( t0 t1	... tn )на n отрезков одинаковой длины				(рис. 17). Длина каждого отрезка
равна
	ti ti	ti 1	b a	, i	1, 2, ..., n.
	ti ti	ti 1		, i	1, 2, ..., n.
			n

	с1			сi		сn
0	a t0	t1	ti 1	ti	tn 1	b tn

Рис. 17

Выбрав на каждом отрезке ti 1 ;ti произвольную точку ci,составляют сумму:

	n
	v(ci ) ti .	(5.1)
	i 1
Каждое слагаемое этой суммы дает приближенное значение пути, пройденно-
го материальной точкой за время от t	ti 1 до t	ti . Следовательно, весь путь, прой-
денный точкой за время от t a до t	b , приближенно выражается суммой (5.1).

Это приближение будет тем лучше, чем мельче отрезки разбиения. Поэтому путь s,

пройденный точкой за отрезок времени		a;b , определяется пределом суммы (5.1)
при n	:
		n
	s lim	v(ci ) ti .
	n	i 1
		i 1

Как известно (см. п.1 § 1), этот предел есть определенный интеграл от функции v(t) на отрезке a;b . Таким образом, путь s, пройденный за отрезок времени от t a до t b материальной точкой, движущейся прямолинейно со скоростью v(t), вычисляется по формуле:

Пример. Тело движется прямолинейно путь, пройденный телом за первые 3 с.

Используя формулу (5.2), получим

	3
s	3t 2 4t 1dt
	0

b
v(t)dt.	(5.2)
a
со скоростью v t	3t 2 4t 1 (м/с). Найти

t3 2t 2 t	3	48 м .

	0

Пример. Определить, на какую максимальную высоту поднимется камень, брошенный от поверхности Земли вертикально вверх со скоростью v0 , если не учитывать

сопротивление воздуха.

В этом случае скорость камня равна v t v0

падения. Камень будет лететь вверх,

пока v t

, т. е. до момента времени t

Положив в формуле (5.2)

v t v

gt , a=0, b

, получим:

v0 / g

/ g

gt dt

v0t

2.Задача о силе давления жидкости

Пусть пластина в виде криволинейной трапеции погружена вертикально в жидкость с плотностью так, что ее боковые стороны параллельны поверхности жидкости и находятся ниже ее уровня соответственно на расстояниях а и b (рис. 18). Требуется определить силу давления жидкости на пластину.

	0		y
x0	a	f(x)	y
x0	a	f(x)
	xi 1
	xi		xi
xn	b

Рис. 18

Если пластина находится в горизонтальном положении на глубине h от поверхности жидкости, то сила давления Р жидкости (в ньютонах) на нее будет равна весу столба жидкости, имеющего основанием данную пластину, а высотой — глубину h, т. е.

P g hS ,

(5.3)

где g-ускорение силы тяжести, S-площадь пластины.

Если же пластина погружена в жидкость вертикально, то по формуле (5.3) силу давления жидкости на нее вычислить нельзя, так как в этом случае давление жидкости на единицу площади пластины изменяется с глубиной погружения, т. е. зависит от расстояния площадки до поверхности жидкости.

При решении задачи будем учитывать тот факт, что, по закону Паскаля, давление в жидкости передается одинаково во всех направлениях, в том числе и на вертикальную площадку.

Разобьем пластину на n частей (малых горизонтальных полосок) прямыми, параллельными поверхности жидкости (т. е. параллельными оси Оу) и проходящими

через точки	x	a ,	x , ..., x		, x		b где	x a	b a	i, i 0,1, 2, ..., n.
						n
	0		1	n 1				1	n

Выделим одну из полосок (на рис. 18 она заштрихована), находящуюся на глубине xi . Для достаточно узкой полоски давление во всех ее частях можно считать

приближенно одинаковым, а саму полоску можно принять за прямоугольник с вы-

сотой	x	x	x	b a	и основанием, равным нижнему основанию полоски.

	i	i	i 1	n

Очевидно, что длина основания прямоугольника является функцией от х. Обозначим эту функцию через f(х), х [а; b]. Значит, силу давления Р на i-ю полоску можно приближенно вычислить по формуле (5.3), т. е.

Pi g f xi xi xi .

(5.4)

Просуммировав силы давления жидкости на все полоски, найдем приближенное значение силы давления жидкости на всю пластину:

P g f xi xi xi .

i 1

Точность приближенного равенства тем больше, чем мельче отрезки, на которые разбит отрезок [а; b].

Следовательно, точное значение силы давления жидкости на пластину определяется по формуле:

	n
P lim		g f xi xi xi .
n	i	1
	i	1

Как известно, этот предел есть определенный интеграл от функции g f x на

отрезке [а; b].

Таким образом, сила давления Р жидкости на вертикально погруженную в нее пластину, имеющую форму криволинейной трапеции, соответствующей графику функции у=f(x), х [а; b], вычисляется по формуле:

b
P g x f x dx ,	(5.5)

где g-ускорение силы тяжести, -плотность жидкости.

Пример. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Найти силу давления воды (плотность воды 1000 кг/м3) наполняющей аквариум, на одну из его вертикальных стенок, размеры которых 0,4 м 0,7 м.

Выберем систему координат так, чтобы оси Оу и Ох соответственно содержали верхнее основание и вертикальную стенку аквариума (рис. 19). Для нахождения силы давления воспользуемся формулой (5.5).

0 0,7

0,4

Рис.

Стенка имеет форму прямоугольника, поэтому f(х)=0,7, х [0; 0,4], пределы интегрирования а=0 и b=0,4. Следовательно,

			0,4			x2		0, 4
			0,4			x2		0, 4
	P	1000g	0,7xdx		700g				56g.
	P	1000g	0,7xdx		700g	2			56g.
			0			2		0
Учитывая, что g 9,8 м/с2 , получаем P				548,8 H.				0
Учитывая, что g 9,8 м/с2 , получаем P				548,8 H.
5				2			3 / 2		0
									0

P 2g 900 x 52		x 2 dx	900 g		52 x 2				600 g 53 75000 g.
P 2g 900 x 52		x 2 dx	900 g	3	52 x 2				600 g 53 75000 g.
0									5
0									5

3. Работа переменной силы

Пусть материальная точка движется вдоль оси Ох под действием переменной силы f(х). Требуется найти работу, затраченную на перемещение материальной точки из положения М(а) в положение М(b) (рис. 20).

M(a)	M(b)
0	x
a	b

Рис. 20

С этой задачей мы уже встречались при определении понятия определенного интеграла (см. п. 1 в главе I). Поэтому, опуская промежуточные рассуждения, сразу запишем формулу для вычисления работы:

	b
A	f x dx .	(5.6)

Пример. Какую работу надо затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила в 1 Н растягивает ее на 0,01 м?

По закону Гука сила F, растягивающая пружину, пропорциональна ее растяжению, т. е. F=kx, где х-величина растяжения, k-коэффициент пропорциональности. Следовательно, в данном случае 1 H = k 0,01 м, откуда k=100 и F=f(x)=100x. Работу, которую необходимо затратить для растяжения пружины на 0,05 м, находим по формуле (5.6):

	0 ,05	0 ,05
A	100xdx 50x2	0 ,05	0,125 Дж .
	0	0
		0

4.Вычисление статических моментов и координат центра масс плоской кривой

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат хОу.

Статическими моментами материальной точки А(х; у), в которой сосредоточе-

на масса m, относительно осей Ох и Оу называются произведения массы этой точки соответственно на ординату и абсциссу точки, т. е.

M x my, M y mx.

Если дана система n материальных точек A1 x1; y1 , A2 x2 ; y2 , ..., An xn ; yn , в которых сосредоточены массы m1 , m2 , ..., mn , то статическими моментами этой системы относительно осей Ox и Оу называются выражения:

n		n
M x	mi yi , M y	mi xi .
i	1	i 1
Центром масс такой системы материальных точек называется точка, обла-
		n
дающая тем свойством, что если в ней сосредоточить всю массу системы m			mi ,
		i	1

то статический момент этой точки относительно любой оси равен статическому моменту данной системы точек относительно той же оси. Поэтому, обозначив центр масс системы через С(хс; ус), получим:

n		n
M x	mi yi myc , M y	mi xi mxc .
i	1	i 1

Таким образом, координаты центра масс системы материальных точек вычисляются по следующим формулам:

		n				n
	M y		mi yi			mi xi
xC	M y	i 1		, yC	M x i 1			(5.7)
							.
	m	n			m	n	.
	m		mi		m	m
			mi			m
		i	1			i
		i	1			i 1
						i 1

В случае материальной плоской кривой или плоской фигуры для нахождения статических моментов и координат центра масс используется определенный интеграл.

Пусть кривая АВ длины l является графиком функции f(x), х [а; b], имеющей непрерывную производную. Будем считать, что кривая АВ однородна, т. е. линейная

плотность распределения массы постоянна. Если =1, то масса, распределенная
на данной кривой, численно равна длине. Разобьем кривую на части длины li .
Приняв эти части, массы которых равны mi	li , за материальные точки, лежащие

на расстоянии yi

от оси Ох и расстоянии xi

от оси Oy, получим:

M xi

mi yi

li ,

M yi

xi mi

xi li .

Так как

(см. п. 2 § 4), то

f x 1

f x

2 x ,

x 1

f x

x .

Просуммировав по всем частям разбиения кривой АВ, в пределе получим

M x

	b
f x 1 f x 2 dx , M y	x 1 f x 2 dx .	(5.8)

Кроме того,

	b
m l	1 f x 2 dx.	(5.9)

Воспользовавшись равенствами (5.7) - (5.9), запишем формулы для нахождения координат центра масс плоской кривой:

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.09.2019271.76 Кб12вопросы геодезия.docx
#
29.03.2015140.25 Кб42Вопросы жбк.pdf
#
18.04.2019417.79 Кб2ВОПРОСЫ_экз_2.doc
#
24.11.201911.3 Mб17ВОС ОБОР. Бондарь.doc
#
23.09.2019991.96 Кб3вышка - 2003.docx
#
29.03.20152.37 Mб12Вышка задачи.pdf
#
29.03.2015683.01 Кб69Вяжущие вещества Цемент кислотостйкая.doc
#
29.08.2019175.54 Кб9Газовые сети.docx
#
29.03.201536.78 Кб18генплан.docx
#
29.03.201514.04 Кб26Геодезия.docx
#
28.09.20197.18 Mб73ГЕОЛОГИЯ!.docx