3.5. Функции алгебры логики

Рассмотрим множество векторов X = {<x₁... x_n>}. Будем предполагать, что координаты этих векторов могут принимать значения 0 или 1. Таким образом множество X состоит из 2ⁿ векторов. Произведем отображение множества X в множество Y = {0, 1} [6].

Определение. Функцией алгебры логики называется функция, дающая однозначное отображение X в Y.

Определение. Если две функции алгебры логики f₁(x₁... x_n) и

f₂( x₁... x_n) принимают на всех наборах значений аргументов одинаковые значения, то их называют равными.

Теорема 1. Число различных функций алгебры логики, зависящих от n аргументов конечно и равно 2ⁿ.

Приведем иллюстрацию сказанного на основе анализа таблицы:

x1, x2,..., xn	f(x1, x2,..., xn )
00...00	a1
00...01	a2
00...10	a3
...	...
11...11	a2n

Как показывает таблица, задавая тот или иной конкретный двоичный набор аргументов, задается одна из возможных функций алгебры логики, принимающая значение 0 или 1. Различное число таких наборов равно 2ⁿ. Следовательно, число функций будет равно 2ⁿ.

Рассмотрим основные функции, которые играют важную роль в построении функций алгебры логики и ее приложениях:

1. f = X.

2. f = X _{(отрицание – инверсия).}

3. f = 0.

4. f = 1.

5. f = X v Y (логическое сложение или дизъюнкция).

6. f = X  Y (логическое умножение или конъюнкция).

7. f = X  Y ( импликация).

8. f = X  Y (функция Вебба).

9. f = X  Y (стрелка Пирса).

10. f = X | Y (функция Шеффера).

11. f = X  Y (сложение по модулю 2).

Эти одиннадцать функций алгебры логики позволяют строить новые функции, при этом используется два подхода:

• подстановка в функцию новой функции вместо аргументов;

• переобозначение аргументов.

Пример. Представить в виде таблицы функцию

f (X1,X2 ) = { ( X1  X2 ) v (X1  X2 ) } = X1 | X2.

Решение.

X1	X2	X1  X2	X1  X2	f
0	0	1	0	1
0	1	0	1	1
1	0	0	1	1
1	1	0	0	0

Пример. Показать, что X1  X2 = X1 v X2 на основе построения и сравнения функций по таблицам истинности.

Решение.

X1	X2	X1  X2	X1	X1 v X2
0	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	1	1	0	1

Рассмотрим свойства конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.

1. Коммутативность

x₁ & x₂ = x₂ & x_1.

x₁ v x₂ = x₂ v x_1.

2. Ассоциативность

x₁ v (x₂ v x₃) = (x₁ v x₂) v x_3.

x₁ & (x₂ & x₃) = (x₁ & x₂) & x_3.

3. Дистрибутивность

x₁ & (x₂ v x₃) = (x₁ & x₂) v ( x1 & x₃ ).

x₁ v (x₂ & x₃) = (x₁ v x₂) & ( x1 v x₃ ).

Отметим также важные соотношения:

X v X = X, X & X = X, X v 1 = 1, X & 1 = X,

X v 0 = X, X & 0 = 0, X v X = 1, X & X = 0.

Положим x ^ = { X , если  = 1; X , если  = 0 } .

Утверждение. Любая функция алгебры логики кроме 0 может быть представлена в форме

f(x ₁...x_n) =  x₁ ^ & x₂ ^... & x_n ^ (3.1)

При этом дизъюнкция в правой части берется только по тем наборам аргументов, на которых функция, заданная таблично, обращается в 1.

Определение. Представление функции алгебры логики в виде (3.1) называется ДСНФ - дизъюнктивной совершенной нормальной формой.

Для построения ДСНФ необходимо выполнить следующие шаги:

• выбрать в таблице истинности заданной функции все наборы аргументов, на которых функция равна 1;

• выписать соответствующие этим наборам конъюнкции, при этом, если аргумент x_i входит в данный набор как 1, то он записывается без изменений, если же как 0 , то берется ;

• все полученные конъюнкции объединяются под знаком дизъюнкции.