4.2. Основные критерии проверки случайных наблюдений

Статистические критерии [5] отвечают на вопрос: достаточно ли случайной будет последовательность. Если критерии T₁ , T₂, …, T_n подтверждают, что последовательность ведет себя случайным образом, это еще не означает, вообще говоря, что проверка с помощью T_n+1–го критерия будет успешной. Однако каждая успешная проверка дает все больше и больше уверенности в случайности последовательности. Обычно к последовательности применяется несколько статистических критериев, и если она удовлетворяет этим критериям, то последовательность считается случайной.

Различают два вида критериев: эмпирические и теоретические. Эмпирические критерии основаны на использовании определенных статистик. Теоретические критерии

реализованы с помощью теоретико-числовых методов, базирующихся на рекуррентных правилах, которые используются для образования последовательности.

Рассмотрим критерий «хи - квадрат» (²-критерий) [5]. Он является основным методом, используемым в сочетании с другими критериями. Прежде чем рассматривать идею в целом, проанализируем частный пример применения ²-критерия к бросанию игральной кости.

Используем 2 игральные кости, каждая из которых независимо допускает выпадение значений 1, 2, …, 6 с равной вероятностью. В следующей таблице дана вероятность получения определенной суммы S при одном бросании игральных костей:

Значение S	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Вероятность PS

Имеем всего 36 возможных результатов бросания. Рассмотрим результаты бросания. Например, величина 4 может быть получена тремя способами: 1 + 3, 2 + 2, 3 + 1. Это составляет . Аналогично определяются оставшиеся P_S. Если бросать игральную кость n раз, то в среднем мы должны получить величину S примерно n  P_S раз, но это не совсем так. Например, при 144 бросаниях результаты следующие:

Таблица 4.1

Величина S	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Наблюдаемое число, YS	2	4	10	12	22	29	21	15	14	9	6
Ожидаемое число, n pS	4	8	12	16	20	24	20	16	12	8	4

Заметим, что во всех случаях наблюдаемое число отличалось от ожидаемого. Введем в рассмотрение число :

(4.6)

Эта статистика называется статистикой «хи - квадрат» наблюдаемых значений Y₂ … Y₁₂ при бросании игральных костей. Для данных выше приведенной таблицы получим

.

Формулу (4.6) перепишем следующим образом:

.

, учитывая факт, что Y₁ + Y₂ +…+ Y_k = n, p₁ + p₂ +…+ p_k =1, можно записать

(4.7)

Чтобы воспользоваться ²-статистикой проводят несколько экспериментов, затем вычисляют числа . Далее используют известные таблицы²-распределения имеющие вид:

Таблица 4.2

	p = 99%	p = 95%	p = 75%	p = 50%	p = 25%	p = 5%	p = 1%
…
	2,558	3,940	6,737	9,342	12,55	18,31	23,21
…

Здесь p — процентные точки ²-распределения; v = k – 1 — число степеней свободы, что на единицу меньше, чем число категорий. (Интуитивно это означает, что Y₁, Y₂, …Y_k, Y₂, …Y_k не являются полностью независимыми, т.к. формула (6.1) показывает, что Y_k может быть вычислено, если Y₁, …Y_k-1 известны.)

Предположим, что были сделаны три эксперимента с генерированием случайных последовательностей и получены ,,. Сравнивая эти величины со значениями таблицы 2 при 10 степенях свободы, мы видим, что₁ гораздо больше; будет больше 23.21 только в 1% случаев. В связи с этим эксперимент 1 демонстрирует значительное отклонение от случайного поведения.₂ показывает не лучшие свойства, так как результаты слишком близки к ожидаемым. Наконец, значение ₃ находится между 25 и 50-процентной точками. Таким образом, наблюдение является удовлетворительно случайным по отношению к этому критерию.

Отметим, таблица 4.2 — это только приближенные значения ²-распределения, которое является предельным распределением случайной величины формулы (4.7). Поэтому табличные значения близки к реальным только при большихn. Насколько большими должны быть n? Эмпирическое правило гласит: нужно взять n настолько большим, чтобы все значения n p_S были больше или равны пяти.