Методические указания по выполнению лабораторной работы
Метод трапеций
Рис. 5. Элементарная трапеция, площадь которой вычисляется в методе трапеций
Площадь элементарной фигуры моделируется площадью трапеции, у которой высота равна h, а параллельные стороны равны соответственно f(xi) и f(xi+1). Площадь этой элементарной трапеции вычисляется по формуле
S |
i |
= h |
f ( xi ) + f ( xi+1 ) |
+ R , ( i =0,1,2,...,n −1) |
( 8 ) |
|
|||||
|
|
2 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
где Ri площадь, сегмента залитого на рис.2 серым цветом.
Значение интеграла, вычисляемое по формуле метода трапеций равно
b |
|
|
+n∑−1R = S + R |
( 9 ) |
∫ f ( x )dx = n∑−1S |
|
|||
a |
i=0 |
i |
i=0 i |
|
Выполнив дополнительные алгебраические преобразования, получим окончательный вид формулы метода трапеций:
∫ f ( x )dx n∑−1Si = h |
[ f ( a )+ f ( b )] +hn∑−1 f ( xi ), ( i =1,2,...,n −1) (10) |
||
b |
|
|
|
a |
i=0 |
2 |
i=1 |
здесь xi=a+ih.
Метод Симпсона
Этот метод основан на замене на промежутках [xi , xi+1] функции f(x) параболой:
b |
h |
|
n−1 |
n−2 |
|
|
|
∫ f ( x )dx ≈ |
|
f ( a ) + f ( b ) +4 |
∑ f ( xi ) +2 |
∑ f ( xi ) |
(11) |
||
3 |
|||||||
a |
|
i=1,3,5... |
i=2 ,4 ,6... |
|
|
||
5 |
Любимов Е.Б. |
|
Методические указания по выполнению лабораторной работы
Для этого метода принципиально важно, чтобы n было четным, иначе невозможно построить параболы, аппроксимирующие подынтегральные функции.
В дальнейшем мы будем сравнивать результаты, полученные пятью методами, поэтому число разбиений n должно быть одинаковым во всех формулах.
Правило Рунге
Для того чтобы оценить точность полученного значения интеграла на практике используется правило Рунге. Вычислив значение интеграла с шагом h, определённым по формуле (3) (обозначим это значение In), увеличиваем значение n в два раза и вычисляем новое значение интеграла I2n . После чего можно выполнить оценку точности найденного значения интеграла по формуле
I2n − In |
|
≤ ε, |
(12) |
|
где ε - заданная точность определения значения интеграла.
Если условие (12) не выполнено, следует вычислить значение I4n, сравнить его по правилу (12) со значением I2n и т.д. до тех пор, пока это условие не будет выполнено.
Для окончательного уточнения значения интеграла при вычислениях, можно использовать поправку Рунге:
I2n −In
15
В этом случае значение интеграла может быть скорректировано следующим образом:
I = I2n + |
I2n − In |
(13) |
|
15 |
|||
|
|
Рассмотрим методику реализации, которая может быть использована при выполнении лабораторной работы "Методы численного интегрирования".
Для нахождения значения определённых интегралов с требуемой точностью необходимо выполнить вычисления по крайней мере для двух значений шага интегрирования. Шаг интегрирования определяется по формуле (3). Задав численное значение параметра n1, вычисляем таблицу из n1 значений подинтегральной функции F(x), а затем вычисляем вторую таблицу из n2=2*n1 значений F(x).
6 |
Любимов Е.Б. |
|