Решение задачи № 5

Эту задачу можно решать разными способами Мы рассмотрим только один из них. По условию задачи предполагается, что решение дифференциального уравнения можно разложить в степенной ряд с центром вВ силу теоремы единственности разложения функции в степенной ряд, этот ряд есть ряд Тейлора.

Так как требуется написать разложение в ряд до членов порядкавключительно, то это означает, что в качестве приближенного решения задачи Коши берем многочлен Тейлора четвертой степени функциив точке

Напомним, что частичные суммы ряда Тейлора называют многочленами Тейлора функция в точке.

Первые два коэффициента определяются из начальных условий

Коэффициент находим из уравненияПодставляя в него начальные условия, получаем

Для вычисления производных ипродифференцируем уравнение по переменной два раза, используя правило дифференцирования сложной функции,

Вычислим их значения при Учитывая, что

получаем

Подставим найденные значения производных в многочлен Тейлора В результате получим

Ответ.

Контрольная работа № 5 по теме « Обыкновенные дифференциальные уравнения»

Вариант № 1

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Вариант № 2

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Вариант № 3

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Вариант № 4

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Вариант № 5

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Вариант № 6

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Вариант № 7

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Вариант № 8

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Вариант № 9

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Вариант № 10

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Контрольная работа № 6 по теме « Ряды»

Вариант № 1

1. Найти общий член, записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать сходимость ряда:

2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:

2. Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его поведение на концах этого интервала:

2. Разложить функцию в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости;

2. Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда:

(до членов порядка включительно).

Вариант № 2

1. Найти общий член, записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать сходимость ряда:

2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:

2. Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его поведение на концах этого интервала:

2. Разложить функцию в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости;

2. Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда:

(до членов порядка включительно).

Вариант № 3

1. Найти общий член, записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать сходимость ряда:

2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:

2. Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его поведение на концах этого интервала:

2. Разложить функцию в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости;

2. Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда:

(до членов порядка включительно).

Вариант № 4

1. Найти общий член, записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать сходимость ряда:

2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:

2. Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его поведение на концах этого интервала:

2. Разложить функцию в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости;

2. Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда:

(до членов порядка включительно).

Вариант № 5

1. Найти общий член, записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать сходимость ряда:

2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:

2. Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его поведение на концах этого интервала:

2. Разложить функцию в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости;

2. Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда:

(до членов порядка включительно).

Вариант № 6

1. Найти общий член, записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать сходимость ряда:

2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:

2. Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его поведение на концах этого интервала:

2. Разложить функцию в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости;

2. Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда:

(до членов порядка включительно).

Вариант № 7

1. Найти общий член, записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать сходимость ряда:

2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:

2. Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его поведение на концах этого интервала:

2. Разложить функцию в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости;

2. Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда:

(до членов порядка включительно).

Вариант № 8

1. Найти общий член, записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать сходимость ряда:

2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:

2. Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его поведение на концах этого интервала:

2. Разложить функцию в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости;

2. Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда:

(до членов порядка включительно).

Вариант № 9

1. Найти общий член, записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать сходимость ряда:

2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:

2. Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его поведение на концах этого интервала:

2. Разложить функцию в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости;

2. Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда:

(до членов порядка включительно).

Вариант № 10

1. Найти общий член, записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать сходимость ряда:

2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:

2. Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его поведение на концах этого интервала:

2. Разложить функцию в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости;

2. Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда:

(до членов порядка включительно).