Решение задачи № 2

Найдем решение уравнения

Это линейное уравнение, т.е. уравнение вида

в котором предполагается, что функции

и

непрерывны в некотором интервале. Найдем его.

Функция непрерывны при всех

Так как функция имеет точку бесконечного разрывато она непрерывна на двух интервалахи

Мы выбираем интервал потому что наше решение должно удовлетворять начальному условию

Точка

Следовательно, дифференциальное уравнение (1) будем рассматривать в полосе расположенной на плоскостиТогда уравнение (1) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решений (см. решение задачи №1 и [2], [4], [5]). Поэтому через каждую точкупроходит единственная интегральная кривая уравнения, определенная на интервале

Существуют различные способы нахождения общего решения линейного уравнения. Мы рассмотрим только один из них – метод Бернулли. Согласно этому методу будем искать решение в виде произведения двух функций:

Подставим функцию в уравнение (1). Опуская аргументв функцияхии учитывая, чтополучаем

или

Выбирая ненулевую функцию так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обращалось в нуль, приходим к решению системы:

Уравнения (3) и (4) являются уравнениями с разделяющимися переменными в полосе .

Разделим переменные в уравнении (3)

или

Интегрируя его, получаем

Положим постоянную так как в качестве функцииможно взять какое-либо ненулевое частное решение уравнения (3).

Вычисляя интегралы

и

имеем и

Найдем общее решение уравнения (4). Подставляя найденную функцию в уравнение (4), получим уравнение с разделяющимися переменными

или

Разделяя переменные, найдем

Отсюда

или

Общим решением уравнения (1) в полосе будет функция

определенная на интервале

Используя начальное условие (2), найдем частное решение, интегральная кривая которого проходит через точку с координатами и

Для этого подставим ив выражение (5) и найдем значение постоянной:

при котором из общего решения выделяется искомое частное.

Ответ.

Решением задачи Коши (1),(2) является функция определенная на интервале

Решение задачи № 3

Найдем частное решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям

Данное уравнение является «простейшим» уравнением второго порядка, правая часть которого зависит только от независимой переменной , т. е. уравнение вида

Предполагается, что функция непрерывна в некотором интервале. Тогда для простейшего уравнения справедлива теорема существования и единственности решения (см. [2] и [4]).

Для уравнения (1) и с учетом начальных условий (2) мы выбираем интервал.

Тогда на плоскости в интервалесуществует единственная интегральная кривая уравнения (1), проходящая через точку с координатамии, при этом тангенс угла наклона касательной в этой точке равен нулю (геометрический смысл начальных условий (2)).

Найдем решение задачи Коши (1), (2).

Учитывая, что

и

проинтегрируем обе части уравнения (1) по переменной . В результате получим

Для вычисления интеграла сделаем замену переменной .

Отсюда ,и

Таким образом,

Найдем значение постоянной интегрирования , используя начальное условиепри. Учитывая, что, получаем

и

Подставим значение в уравнение (3)

Интегрируя обе части уравнения (4) по переменной , получим

Для вычисления интеграла вновь сделаем замену переменной и.

Тогда

и, следовательно,

Найдем значение постоянной интегрирования , используя второе начальное условиепри. Учитывая, что, получаем

и

Отсюда искомое частное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям (2), запишется в виде

Ответ.

Решением задачи Коши (1),(2) является функция определенная на интервале

В задачах 4 и 5 даны линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью.

Уравнение вида

где и – вещественные числа, а – функция непрерывная на некотором промежутке, называется линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Функция

называется функцией специального вида.

Комплексные числа будем называть контрольными числами.

–многочлены степени и.

Функция специального вида (2) определена при всех

Уравнение (1) называется неоднородным, если функция не равна тождественно нулю. Если жето уравнение (1) принимает вид

и называется однородным.

Если левые части однородного и неоднородного уравнений совпадают, то в этом случае однородное уравнение называется соответствующим данному неоднородному.

Имеет место следующее утверждение (см. [2], [4] и [5]).

Утверждение 1. ( О структуре общего решение неоднородного уравнения).

Если – общее решение однородного уравнения (3), а – какое-либо частное решение неоднородного уравнения (1), то

есть общее решение неоднородного уравнения (1).

Отсюда следует, что построение общего решения неоднородного уравнения состоит из двух этапов. Сначала нужно найти общее решение соответствующего однородного уравнения, а затем найти какое-либо частное решениенеоднородного уравнения.

1. Нахождение общего решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами (метод Эйлера)

Определение. Будем говорить, что два решения илинейного однородного уравнения (3)линейно независимы на промежутке , если их отношениене равно тождественно константе.

Тогда имеет место следующее утверждение.

Утверждение 2. ( О структуре общего решение однородного уравнения).

Если и– два линейно независимых решения уравнения (3), то их линейная комбинация

где и– произвольные постоянные, есть общее решение линейного однородного уравнения (3).

Решение уравнения (3)

где и – вещественные числа, будем искать в виде

Постоянная подлежит определению.

Так как и, то подстановка полученных выражений производных в уравнение (3) приводит к равенству

Так как , то последнее равенство выполняется, если

Таким образом, функция является решением дифференциального уравнения (3), если постояннаяявляется корнем квадратного уравнения (7).

Уравнение (7) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (3).

Напомним формулу для определения двух корней иквадратного уравнения (7). Пусть дискриминант, тогда

При решении квадратного уравнения (7) возможны три случая в зависимости от знака дискриминанта :

1. корни уравнения ивещественные и различные

2. корни уравнения ивещественные и равные

3. корни уравнения икомплексно сопряженные числа

Рассмотрим каждый из этих случаев.

1. Корни уравнения ивещественные и различные. Тогда уравнение(3) имеет два решенияи. Они линейно независимы, так как

и, следовательно, общее решение уравнения (3) имеет вид

где и– произвольные постоянные.

2. Пусть корни характеристического уравнения ивещественные и равные. Тогда линейное однородное уравнение (3) имеет два линейно независимых решенияи(см. [2] и [4]) и, следовательно, общее решение уравнения (3) имеет вид

где и– произвольные постоянные.

3. Пусть корни характеристического уравнения икомплексно сопряженные числа, гдеи – вещественные числа, причем , – мнимая единица (см. [2] и [4]). Тогда линейное однородное уравнение (3) имеет два линейно независимых решения ии, следовательно, общее решение уравнения (3) имеет вид

где и– произвольные постоянные.

2. Построение частного решения линейного неоднородного уравнения со специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов

Этот метод применим тогда, когда в правой части уравнения (1) стоит функция специального вида (2). В этом случае частное решение уравнения может быть найдено в соответствии с видом его правой части.

Рассмотрим здесь два частных варианта специальных правых частей.

1. Пусть в формуле (2) число , тогда уравнение (1) имеет вид

(12)

где – многочлен степени, а вещественное числоявляется контрольным числом.

Уравнению (12) соответствует однородное уравнение

с характеристическим уравнением

(13)

Пусть иего корни.

Имеет место следующее утверждение (см. [2]).

Утверждение 3.

Частное решение уравнения (12) следует искать в виде:

1. если контрольное число не является корнем характеристического уравнения (13), т.е. и , то

где – многочлен той же степени, что и многочлен, с коэффициентами, подлежащими дальнейшему определению;

2. если контрольное число является простым корнем характеристического уравнения (13), т.е. или , то

3. если контрольное число является кратным корнем характеристического уравнения (13), т.е., то

Приведем сводную таблицу.

где – многочлен той же степени, что и многочлен, с коэффициентами, подлежащими дальнейшему определению.

Коэффициенты многочленадолжны быть такими, чтобы функцияудовлетворяла уравнению (12). Поэтому для их отыскания используют следующий алгоритм.

С помощью утверждения 3 устанавливается вид частного решения .

Затем определяются производные и. Решениеи его производные с неопределенными пока коэффициентами подставляются в уравнение (12) и обе его части сокращаются на.

Далее, мы определяем коэффициенты , исходя из тождественного равенства двух многочленов, стоящих в левой и правой частях уравнения (12)

(два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной ).