Примерный вариант контрольной работы № 5

по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения»

Определить тип дифференциального уравнения и найти его решение:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Решение задачи № 1

Важным теоретическим вопросом в теории дифференциальных уравнений является вопрос о том, насколько много решений имеет дифференциальное уравнение. Оказывается, что каждое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, и поэтому приходиться ставить вопрос не о числе решений, а о том, как можно описать совокупность всех решений данного дифференциального уравнения. Ответ на этот вопрос дает теорема существования и единственности (см. [2] и [4]).

Во всех вариантах контрольной работы дифференциальное уравнение первого порядка можно представить в виде разрешенном относительно первой производной:

где функция определена в некоторой областина плоскости

Множество точек на плоскости называетсяобластью, если оно открыто и связно. Открытость означает, что вместе с каждой своей точкой множествосодержит и некоторый круг с центром в этой точке. Связностьозначает, что любые две точкиможно соединить ломаной, целиком содержащейся в. В частности, плоскостьявляется областью.

Для уравнения (1) справедлива следующая теорема.

Теорема Коши о существовании и единственности решения.

Пусть функция удовлетворяет двум условиям:

1) непрерывна в области;

2) имеет в непрерывную частную производную

Тогда решение задачи Коши для уравнения (1) с начальными данными существует и единственно в том смысле, что существует единственная интегральная кривая уравнения (1), проходящая через точку

Задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию

или, что то же самое,

называется задачей Коши.

В нашем примере

и функция

определена и непрерывна на всей плоскости .

Вычислим частную производную Для этого положими будем рассматривать функцию

как функцию одной переменной Применяя правила дифференцирования функции одной переменной, получим

Здесь сначала постоянный множитель вынесли из под знака производной по переменнойа затем применили правило дифференцирования сложной функции.

Таким образом, частная производная тоже определена и непрерывна на всей плоскостии, следовательно, теорема существования и единственности решения справедлива для уравнения (3) на всей плоскости.

Анализ, проведенный выше, является основной частью решения задачи Коши, так как, используя программу типа Mathematiсa или зайдя на сайт www.wolframalpha.com (в режиме online и даже в пошаговой форме), Вы можете моментально получить решение.

Найдем общее решение дифференциального уравнения (3), не используя эти средства. Это уравнение с разделяющимися переменными (см. [2],[4] или[5]), так как оно имеет вид

где правая часть есть произведение функции зависящей только отна функциюзависящую только от

В нашем уравнении (3)

и

Эти функции определены и непрерывны при всех и, причем

Заменим нав уравнении (3):

и разделим переменные, умножая обе части уравнения на выражение:

В результате получим уравнение

которое называется уравнением с разделенными переменными.

Считая известной функцией от, равенство (4) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться на постоянное слагаемое.

Интегрируя левую часть равенства (4) по , а правую часть по, получим

Интеграл

Интеграл вычислим с помощью подстановки

Учитывая, что или

получаем

Подставляя полученные выражения в равенство (5), найдем общий интеграл уравнения (3)

В данном случае уравнение (6) можно разрешить относительно переменной и получить общее решение дифференциального уравнения (3):

и

Общее решение (7) дифференциального уравнения (3) – это однопараметрическое семейство решений, существование и единственность которых гарантирует теорема существования и единственности. Оно включает в себя все решения любой задачи Коши.

Для нахождения искомого частного решения подставим в общее решение начальные значения иПолучим,,и

При таком выборе из общего решения (7) выделяется частное

Ответ. Решением задачи Коши является функция определенная на интервале