Примерный вариант контрольной работы № 6 по теме « Ряды»

1. Найти общий член, записать ряд с помощью сигма – символики и исследовать его на сходимость:

2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:

2. Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его поведение на концах этого интервала:

2. Разложить функцию в ряд Маклорена, используя разложение основных элементарных функций. Указать интервал сходимости;

2. Найти решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда:

(до членов порядка включительно).

Решение задачи № 1

Перед нами ряд с положительными членами. Найдем формулу его общего члена ,Заметим, что числа, стоящие в числителях членов нашего ряда, образуют арифметическую прогрессию с первым членоми разностью

Напомним, что числовая последовательность , каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией. Число – разность прогрессии.

Общий член арифметической прогрессии определяется по формуле , где

В нашем случае

Числа стоящие в знаменателях членов нашего ряда, образуют геометрическую прогрессию с первым членоми знаменателем

Числовая последовательность , каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число, называется геометрической прогрессией. Число – знаменатель прогрессии.

Общий член геометрической прогрессии определяется по формуле гдеСчитаем, что

В нашей задаче

Таким образом, общий член ряда можно записать в виде

где

Сигма – символика. Мы будем пользоваться сокращенным обозначением для сумм, содержащим букву (греческая прописная буква «сигма»). Пусть задано правило, сопоставляющее каждому целому числу, взятому из некоторого набора целых чиселчисло. Условимся, что

обозначает сумму

Переменная здесь «немая».

Сигма – символика используется и для бесконечных числовых рядов

В нашей задаче

Приступим к исследованию данного ряда на сходимость. Воспользуемся сначала необходимым признаком сходимости ряда.

Теорема. Если ряд сходится, то

Найдем

Здесь при раскрытии неопределенности примененоправило Лопиталя.

Необходимый признак выполнен, но о сходимости ряда ничего сказать нельзя.

Применим теперь к данному ряду достаточный признак – признак частных Даламбера.

Теорема. Пусть все члены ряда положительны.

Если то ряд сходится.

Если же то ряд расходится.

Так как общий член ряда то для нахождениязаменимнаВ результате получим

Составим отношение члена ряда к

и найдем предел

Следовательно, на основании признака Даламбера рассматриваемый ряд сходится.

Замечание. Иногда проверить выполнение необходимого признака сходимости трудно, поэтому следует сразу попытаться применить один из достаточных признаков сходимости ряда.

Ответ. Ряд сходится.

Решение задачи № 2

Данный ряд

является знакочередующимся рядом, т.е. рядом следующего вида

где все члены последовательности положительны.

Исследуем ряд (1) на абсолютную сходимость. Для этого составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда

Получили ряд с положительными членами где

Для исследования сходимости ряда (2) применим интегральный признак Коши.

Теорема. Пусть – непрерывная неотрицательная убывающая функция, определенная при

Если несобственный интеграл

сходится, то сходится и ряд

Если интеграл расходится, то ряд расходится.

В нашем случае При эта функция удовлетворяет всем условиям интегрального признака: она принимает положительные значения, непрерывная, убывающая и при

Рассмотрим несобственный интеграл

Интеграл расходится, значит и ряд (2) расходится. Следовательно, исходный ряд (1) не имеет абсолютной сходимости.

Исследуем теперь ряд (1) на условную сходимость, используя признак Лейбница.

Теорема. Пусть итогда ряд

сходится.

Очевидно, что условия теоремы для ряда (1) выполняются:

и

следовательно, ряд сходится. Так как ряд (2), составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, расходится, то знакочередующийся ряд (1) сходится условно или неабсолютно.

Ответ. Ряд сходится условно.