Основные определения
Статически неопределимые балки и рамы – конструкции, в которых уравнений статики недостаточно для определения опорных реакций и внутренних усилий. Число связей, наложенных на статически неопределимую систему, больше того количества связей, которые обеспечивают геометрическую неизменяемость конструкции. Такими связями могут быть как опорные связи, так и стержни самой конструкции.
балки и простые рамы, то есть такие конструкции, в которых связями, обеспечивающими геометрическую неизменяемость, являются опорные закрепления (опорные связи). Для обеспечения геометрической неизменяемости балки (рамы) в плоскости достаточно трех связей. Каждая связь запрещает какое-то перемещение. Шарнирно-подвижная опора запрещает перемещение по направлению, перпендикулярному плоскости опирания, и является одной связью. Шарнирно-неподвижная опора делает невозможными линейные перемещения по двум взаимно-перпендикулярным направлениям (вертикальному и горизонтальному) и соответствует двум связям, наложенным на конструкцию. Наконец, при наличии жесткого защемления на конце стержня становятся невозможными все перемещения: и вертикальное, и горизонтальное, и угол поворота, поэтому жесткое защемление представляет собой три связи, обеспечивающие геометрическую неизменяемость балки (рамы). Каждая дополнительная связь сверх трех для плоских систем превращает конструкцию в статически неопределимую. Такие дополнительные связи, которые не являются необходимыми для обеспечения геометрической неизменяемости конструкции, называются лишними.
Перед расчетом статически неопределимой конструкции необходимо сначала определить степень статической неопределимости рассматриваемой системы. Для балок и простых рам степень статической неопределимости равна числу лишних опорных связей. В каждой связи возникает опорная реакция, поэтому степень статической неопределимости можно найти, сосчитав разность между количеством неизвестных опорных реакций и числом независимых уравнений статики.
Рис.
4.33. К расчету статически неопределимой
балки с шарниром:
а
– заданная статически неопределимая
балка;
б
– основная система и условие совместности
деформаций (вариант 1);
в
– основная система и условие совместности
деформаций (вариант 2)
Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяется силами и моментами. Величина их в дальнейшем подбирается так, чтобы перемещения в системе соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом, при указанном способе решения неизвестными оказываются силы. Отсюда и название «метод сил».
Метод сил
Суть этого метода заключается в том, что заданная статически неопределимая Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически определимой. Она носит название основной системы. Для каждой статически неопределимой заданной системы (рис. 6.9, а) можно подобрать, как правило, различные основные системы (рис. 6.9, б, в), однако их должно объединять следующее условие - основная система должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой (т.е. не должна менять свою геометрию без деформаций элементов).
|
|
Рис. 6.9
Рассмотрим систему, которая дважды статически неопределима (рис. 6.10, а). Заменим в основной системе действие отброшенных связей неизвестными усилиями X1 иX2 (рис. 6.10, б). Принятая основная система будет работать также, как и заданная, если на нее наложить условие отсутствия вертикальных перемещений в точках A и B(т.е. в тех местах, где в заданной системе стоят опоры):
(6.9)
|
Рис. 6.10 |
Уравнения (6.9) называются уравнениями совместности деформаций и при их выполнении фактически устанавливается условие эквивалентности между заданной и основной системой при действии внешней силы Р и неизвестных усилий X1 и X2 . На основании принципа независимости действия сил (6.9) можно представить в следующем виде:
(6.10)
где yA(P), yB(P), yA(X1), yB(X1), yA(X2), yB(X2) - вертикальные перемещения точек А и В основной системы соответственно от действия сил Р, Х1, Х2.
Вводя обозначения d11, d12, D1P - вертикальные перемещения точки А основной системы, соответственно, от последовательного действия сил X1 = 1, X2 = 1, от внешней силы Р; d21, d22, D2P -вертикальные перемещения точки B основной системы, соответственно, от последовательного действия сил X1 = 1, X2 = 1, от внешней силы Р, и учитывая существование линейности связи между силой и перемещением, систему уравнений (6.3) можно преобразовать в канонической форме:
(6.11)
Последние уравнения носят названия канонических уравнений метода сил.
Для вычисления коэффициентов при неизвестных X1 и X2 используют формулу Мора:
,
(i, j = 1,2).
(6.12)
Легко
видеть, что 
,
это свойство называется законом парности
коэффициентов при
неизвестных. Свободные же коэффициенты
определяются по формуле:
.
(6.13)
После решения системы (6.11) определяются величины неизвестных усилий X1 и X2 . Если их значения получились отрицательными, это означает, что реально они действуют в направлении противоположном принятому. Окончательная эпюра моментов определяется по зависимости
.
(6.14)
Эпюра
поперечных сил QOK может
быть построена по эпюре моментов МОК с
использованием зависимости 
и
величин приложенных к системе усилий.
Понятие устойчивости. Устойчивость системы с одной степенью свободы.
Устойчивость - такое состояние, при котором остается неизменным прямолинейная форма равновесия.
Устойчивость – способность тела сохранять первоначальное состояние или исходное состояние равновесия после малых возмущений.
Существует 3 состояния
Неустойчивое
Устойчивое
Безразличное
Условием устойчивости центрально-сжатого стержня является условие
,
(6.6)
где
– коэффициент понижения допускаемых
напряжений
степеней свободы, то есть по числу независимых координат, определяющих положение системы.
Устойчивость сжатого стержня. Задача Эйлера. Зависимость критической силы от условий закрепления стержня. Пределы применимости формулы Эйлера.
Рассмотрим центрально-сжатый стержень. Приложим к нему возмущающую нагрузку – силу f. При действии возмущающей нагрузки рассматриваемый стержень изогнется. Если после снятия возмущения стержень возвращается в исходное прямолинейное состояние, то это состояние называетсяустойчивым. Если же после удаления возмущающей нагрузки стержень остается в изогнутом состоянии, то первоначальная прямолинейная форма равновесия являетсянеустойчивой. Нагрузка, при которой первоначальная форма равновесия становится неустойчивой, называетсякритической.
Устойчивость - такое состояние, при котором остается неизменным прямолинейная форма равновесия.
Устойчивость – способность тела сохранять первоначальное состояние или исходное состояние равновесия после малых возмущений.
Существует 3 состояния
Неустойчивое
Устойчивое
Безразличное
Условием устойчивости центрально-сжатого стержня является условие
,
(6.6)
где
– коэффициент понижения допускаемых
напряжений
степеней свободы, то есть по числу независимых координат, определяющих положение системы.
Существует 3 способа определения устойчивости:
1. Статический способ. Ищется смежное состояние, если оно есть – безразличное.
2. Энергетический способ. Потенциальная энергия системы.
В первом состоянии V=Vmin
Во втором V=Vmax
В третьем V=Const
тогда
>0 устойчивое состояние
<0 неустойчивое
=0 безразличное
3. Динамический способ. Исследуется частота колебаний тела после приложения возмущений. Если она увеличивается то состояние устойчивое, если уменьшается неустойчивое и если постоянна частота и период, то это безразличное состояние.
Задача Эйлера об устойчивости центрально-сжатого стержня.
(1)
(2)
дифференциальное уравнение оси изогнутого стержня
(3)
(4)
(5)
дифференциальное решение (4)
при x=0 и W=0
тогда из (5) следует что 0=С1*0+С2*1 значит С2=0
тогда из (5) следует что W=C1*sinkx (6)
2 граничное условие.
при x=l W=0
0=C1*sinkl
sinkl=0
kl=nπ
при
n=1 
Это формула Эйлера. Вывод данной формулы позволяет определить что происходит когда прогибы большие и когда сила больше критической, так как уравнение (2) приближенное диф., то надо использовать точное
Зависимость критической силы от условий закрепления стержня. Пределы применимости формулы Эйлера.
l0 – приведенная длина
l0=l*m
Критическое
напряжение 
Гибкость
Предел
пропорциональности – напряжение до
которого выполняется закон Гука. Формула
Эйлера работает только до предела
пропорциональности. Критическое
напряжение должно быть меньше или равно
Пределу пропорциональности.
Для определения критических напряжений за пределом пропорциональности используем формулу Критического напряжения, подставив вместо Е Е`(касательный модуль упругости)
E`=tgα`
Формула Ясинского. Практический расчет сжатых стержней с применением таблиц коэффициента снижения допускаемых напряжений.
Для
стержней малой гибкости 
Для
стержней средней гибкости 
Для
стержней большой гибкости
Проверка прочности.
Условие
прочности 
15% ослабление на крепеж деталей. AH=0,85A
Проверка устойчивости.
Условие
устойчивости 
-коэффициент
понижения основного допускаемого
напряжения <1. Зависит от гибкости,
материала.
Pдоп ≤ϕ*A
Если фи меньше 0,85 то условие прочности заведомо выполняется.
Основные характеристики циклического нагружения. Предел выносливости. Влияние различных факторов на усталостную прочность.(концентрация напряжений, состояние поверхности, размеры элемента конструкции.
Периодическая нагрузка– переменная нагрузка с ус-
тановившимся во времени характером изменения,
значения которой повторяются через определенный
промежуток (п е р и о д ) времени.
Цикл напряжений– совокупность всех значений пе-
ременных напряжений за время одного периода из-
менения нагрузки.
Цикл напряжений может описываться любым периодическим законом, чаще всего – сину-
соидальным. Однако прочность материала при циклическом нагружении зависит не от за-
кона изменения напряжений во времени, а в основном от значений наибольшего
(максимального, σmax) и наименьшего (минимального, σmin) напряжений в цикле.
