Теоретическая часть

Одно из самых простых уравнений в частных производных – это уравнение переноса (адвекции)

Для численного решения уравнения переноса можно использовать явную разностную схему

которая определена шаблоном на рис.1 (символом с «крышкой» обозначается значение сеточной функции с верхнего слоя по времени)

Рис. 1. Шаблон явной схемы

Уравнение переноса (при нулевом источнике, определяемом его правой частью) и постоянной скорости переноса с имеет решение в виде начального профиля u(x,t=0), перемещающегося вдоль оси х со скоростью с. Результаты расчета по данной схеме показаны на рис.2. Начальный профиль изображен сплошной кривой, а решение через несколько шагов по времени – пунктиром.

Рис. 2. Решения уравнения переноса

Уравнение переноса описывает множество явлений: перемещение примеси в атмосфере под действием ветра (тогда и– это концентрация примеси, ас– скорость ветра) или движение автомобилей по шоссе (тогдаи– это поток машин в некоторой точке шоссе, ас– средняя скорость этого потока). Вообще говоря, скорость переносасможет зависеть как от координат, так и от самой неизвестной функциии. В последнем случае уравнение становится нелинейным и имеет ряд новых интересных свойств.

Важный для дальнейших сведений случай связан с наличием ненулевого источника, зависящего от и, в простейшем варианте, линейно:

Поскольку источник отрицателен, то уравнение описывает перенос с поглощением. Коэффициент поглощения равен В. Решение по той же схеме показано на рис.3. Оно описывается перемещающимся (со скоростью с) профилем начального возмущения, который, по мере распространения, затухает, вследствие поглощения.

Рис. 3. Перенос с поглощением

Нелинейный перенос

Рассмотрим уравнение переноса, скорость которого слинейно зависит от неизвестной функцииu(x,t):

Решения показаны на рис.4,5 для различных сочетаний коэффициентов

Рис. 4. Решение нелинейного уравнения переноса (с=5+2и)

Рис. 5. Решение нелинейного уравнения переноса (с=0+5и)

Рис. 5.1. Решение нелинейного уравнения переноса (с=10-5и)

Благодаря нелинейности, профиль решения изменяется с течением времени. Если >0, то передний фронт решения становится более крутым (рис. 5). Так происходит потому, что (при фиксированном) участки решения,где оно велико, обгоняют участки с меньшим. В результате возникает разрывное решение типа ударной волны. Если, то разрыв формируется на заднем фронте решения (рис. 5.1).

На самом деле, разрывного решения (рис. 4,5,5.1) при расчетах по явной схеме получить не удается, поскольку эта схема обладает свойством аппроксимационной вязкости и диссипативности, что приводит к «размытию» разрыва и уменьшению амплитуды фронта. Для исследования разрывных решений применяются специальные схемы.

Уравнение Бюргерса

Еще усложним уравнение переноса, добавив в него диффузионное слагаемое

Это уравнение при с(и)=иназывают уравнением Бюргерса.

На рис.6 приведен случай слабой, а на рис.7 – сильной диффузии. В первом случае слагаемое, ответственное за нелинейный перенос приводит к образованию разрывных решений, а во втором, благодаря диффузии, разрыва не происходит, и фронт решения размывается.

Рис. 6. Решение уравнения Бюргерса (с=20и, D=0.05)

Рис. 7. Решения уравнения Бюргерcа (c=10+10u, D=0.5)