27. Тенденции развития (тренды).

Одним из методов анализа и обобщения динамических рядов является выявление его основной тенденции развития или сокращенно тренда. Трендом называют плавно изменяющуюся, не циклическую компоненту временного ряда, описывающую чистое влияние долговременных факторов, эффект которых сказывается постепенно. В экономике к таким факторам можно отнести:

технологическое и экономическое развитие;

рост потребления и изменение его структуры;

изменение демографических характеристик популяции, включая рост (уменьшение) населения, изменение структуры возрастного состава, изменение географического расселения и т. д.

Действие этих и им подобных факторов происходит постепенно, поэтому их вклад необходимо описывать с помощью гладких кривых, просто задающихся в аналитическом виде.

Для построения кривой роста необходимо выбрать вид аналитической зависимости и затем оценить значения ее параметров. Для определения вида тенденции (аналитической зависимости) применяются такие методы, как качественный анализ изучаемого процесса; построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени; расчет и анализ показателей динамики временного ряда (абсолютные приросты, темпы роста и др.); анализ автокорреляционной функции исходного и преобразованного временного ряда; метод перебора, при котором строятся кривые роста различного вида, с последующим выбором наилучшей на основании значения скорректированного коэффициента детерминации R2

Выравниванием рядов динамики пользуются для того, чтобы найти значение недостающего члена ряда. Такой способ называется интерполяцией.

Экстраполяцией рядов динамики называют прием, который заключается в том, что, продолжая найденные математические кривые, можно предсказать дальнейшее развитие событий. Прогнозирование базируется на знании развития прогнозируемого явления, а также факторов, влияющих на это явление и того, каким образом эти факторы могут изменить развитие явления.

Исследование динамики социально-экономических явлений и выявление их основных закономерностей в прошлом дают основания для экстраполяции — определения будущих размеров уровня экономического явления. Экстраполяция, проводимая в будущее — это перспектива, а в прошлое — ретроспектива.

Предпосылки применения экстраполяции:

развитие исследуемого явления в целом следует описывать плавной кривой;

общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не должна претерпевать серьезных изменений в будущем.

Чаще всего экстраполяцию связывают с аналитическим выравниванием тренда. При этом, для выхода за границы периода, для которого найдена зависимость от времени, достаточно продолжить значения независимой переменной во времени.

Наиболее сложным методом прогнозирования является прогнозирование на основе взаимосвязанных рядов динамики. С его помощью можно получить не только оценки результативного, но и факторных признаков, т. е. анализ взаимосвязанных рядов динамики выражается с помощью системы уравнений регрессии. Прогноз в этом случае лучше поддается содержательной интерпретации, чем простая экстраполяция.

В статистической практике выявление основной тенденции развития производится следующими методами: методом укрупнения интервалов (периодов) динамических рядов, методом скользящей средней, методом аналитического выравнивания (по математическому уравнению) и выравниванием по среднему абсолютному приросту (среднему коэффициенту роста).

Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени. Определение теоретических (расчетных) уровней производится на основе, так называемой, адекватной математической модели, которая наилучшим образом аппроксимирует (отображает) основную тенденцию развития ряда динамики. Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления во времени, а также на графическом изображении ряда динамики (линейной диаграмме).

После выяснения характера кривой развития необходимо определить ее параметры, что можно сделать различными методами:

решением системы уравнений по известным уровням ряда динамики;

методом средних значений (линейных отклонений), который заключается в следующем: ряд расчленяется на две, примерно, равные части и вводятся преобразования, чтобы сумма выровненных значений в каждой части совпала с суммой фактических значений, например, в случае выравнивания по прямой;

методом наименьших квадратов — это некоторый прием получения оценки детерминированной компоненты, характеризующей тренд или ряд изучаемого явления;

выравниванием ряда динамики с помощью метода конечных разностей.

Метод конечных разностей позволяет подобрать подходящую форму кривой при выборе вида функции тренда. Его применение возможно в том случае, если временной ряд содержит равноотстоящие друг от друга уровни.

Разностным оператором 1-го порядка (конечной разностью первого порядка) называется разность между соседними уровнямивременного ряда: Δ1t = Yt — Yt-1

Разностным оператором 2-го порядка (конечной разностью второго порядка) называется разность между соседними разностными операторами 1-го порядка:

Δ2t = Δ1t — Δ1t-1

Конечными разностями j-го порядка являются разности между последовательными конечными разностями (j–1)-го порядка:

Δjt = Δj-1t — Δj-1t-1

Если разностные операторы 1-го порядка постоянны и равны между собой

Δ12 = Δ13 = … = Δ1n

а разностные операторы 2-го порядка равны нулю

Δ23 = Δ24 = … = Δ2n=0

то общую тенденцию развития (тренд) изучаемого временного ряда можно аппроксимировать линейной функцией y=a+β*t+ε

Если разностные операторы 2-го порядка постоянны и равны между собой

Δ23 = Δ24 = … = Δ2n

а разностные операторы 3-го порядка равны нулю

Δ34 = Δ35 = … = Δ3n =0

то общую тенденцию развития (тренд) изучаемого временного ряда можно аппроксимировать параболической функцией 2-го порядка вида y=a+β1*t+β2*t2

Следовательно, порядок разностных операторов, являющихся постоянными для данного временного ряда, определяет степень уравнения тренда: y=∑βj*tj

Оценки неизвестных коэффициентов уравнения тренда рассчитываются с помощью классического метода наименьших квадратов.

Если тренд временного ряда можно аппроксимировать линейной функцией, то её коэффициенты можно рассчитать с помощью метода моментов. При этом в модель вводится новая переменная времени, началом координат которой является середина временного ряда (t=0). Таким образом, её сумма по всем элементам равняется нулю.

Для временного ряда, количество уровней которого является нечётным:

t = -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

Для временного ряда, количество уровней которого является чётным:

t = -7 -5 -3 -1 +1 +3 +5 +7

Логический анализ при выборе вида уравнения может быть основан на рассчитанных показателях динамики, а именно:

если относительно стабильны абсолютные приросты (первые разности уровней приблизительно равны), сглаживание может быть выполнено по прямой;

если абсолютные приросты равномерно увеличиваются (вторые разности уровней приблизительно равны), можно принять параболу второго порядка;

при ускоренно возрастающих или замедляющихся абсолютных приростах — параболу третьего порядка;

при относительно стабильных темпах роста — показательную функцию.

28. Методы выявления основной тенденции динамического ряда. Метод укрупнения интервалов.

Методы выявления основной тенденции развития уровней рядов динамики.

Одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления.На развитие явления во времени оказывают влияние различные факторы. Поэтому при анализе динами речь идет обосновной тенденции, достаточно стабильной (устойчивой) на протяжении изученного этапа развития.Основной тенденцией развития (ТРЕНДОМ)называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний. С этой целью ряды динамики подвергаются обработкеметодами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания. Наиболее простым методом изучения основной тенденции в рядах динамики являетсяукрупнение интервалов.Данный метод основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов). Выявление основной тенденции может осуществляться такжеметодом скользящей (подвижной) средней.Сущность его заключается в том, что исчисляется средний уровень из определенного числа, обычно нечетного (3, 5, 7 и т.д.), первых по счету уровней ряда, затем – из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее – начиная со среднего и т.д. Таким образом, средняя как бы «скользит» по ряду динамики, передвигаясь на один срок. Недостатком сглаживания ряда является «укорачивание» сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а следовательно, происходит потеря информации. Для того, чтобы датьколичественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используетсяаналитическое выравнивание ряда динамики. Основным содержаниемметода аналитического выравниванияв рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:, где уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени. Определение теоретических (расчетных) уровней производится на основе так называемойадекватной математической модели. Выбор модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики. Простейшими моделями, выражающими тенденцию развития, являются:линейная, показательная,степенная функции. Расчет параметров функции обычно производитсяметодом наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими и эмпирическими уровнями:.Выравнивание по прямойприменяется в тех случаях, когда абсолютные прироста практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).Выравнивание по показательной функциииспользуется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т.е. когда цепные коэффициенты роста практически постоянны.Выравнивание ряда динамики по прямой:. Параметрыа₀, а₁согласно методу наименьших квадратов находятся решением следующейсистемы нормальных уравнений: ,гдеу– фактические (эмпирические) уровни ряда;t– время (порядковый номер периода или момента времени). Расчет параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени (t= 0) принять центральный интервал (момент). Т.о., система принимает вид. Таким образом, получаем:;.