44. Правило Лопиталя.

Раскрытие неопределённостей [ ],[ ] в пределах.

Теорема: Пусть g(x), f(x) – неопределённости на [a,b] и дифференцируемы на (a,b). Если выполнено одно из условий:

1) = = 0;

2) == ∞, причём существует< ∞.

То существует

Замечание 1: Если f `(x) и g`(x) удовлетворяют условию теоремы Лопиталя, то можно повторно применить эту теорему.

Замечание 2: Теорема Лопиталя верна и для случая x --> ∞

45. Возрастание и убывание дифференцируемой функции. Необходимые и достаточные условия.

Необходимое

Если f(x) – дифференцируема вxи

а) f(x)- возрастает наX, тоf`(x) ≥ 0,x– принадлежит множествуX

б) f(x)- убывает наX, тоf`(x) ≤ 0,x– принадлежит множествуX

Достаточное

Если f(x) – дифференцируема наxи:

а) f`(x) > 0,x– принадлежит множествуX, тоf(x) – возрастает;

б) f`(x) < 0,x– принадлежит множествуX, тоf(x) - убывает

46. Экстремум дифференцируемой функции. Необходимые и достаточные условия.

Точка x_o называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если существует b > 0

f (x_o) ≥ f(x)

любой x принадлежит промежутку (x_o – b, x_o + b)

Точка минимума: f(x_o) ≤ f(x)

Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие экстремума: Если функция y =f(x) в точке х₀имеет экстремум, то производная f `( x₀ ) = 0

1-ое достаточное условие экстремума:Пустьf(x) – дифференцируема на интервалеX. Еслиf`(x) меняет знак при переходе через точкуx_o , принадлежащей интервалуX

1) С “+” на “-”, то x_o – точка максимума.

2) С “-” на “+”, то x_o – точка минимума.

2-ое достаточное условие экстремума: Пусть f(x) – дважды дифференцируема x, f `(x_o) = 0. Если f ``(x<sub>o</sub>) > 0, то x<sub>o</sub> точка минимума, если f ``(x_o) < 0, то x_o – точка максимума.

47. Теорема (второе достаточное условие экстремума).

Пусть f(x) – дважды дифференцируема x, f `(x_o) = 0. Если f ``(x<sub>o</sub>) > 0, то x<sub>o</sub> точка минимума, если f ``(x_o) < 0, то x_o – точка максимума.

Доказательство: Так как f ``(x<sub>o</sub>) > 0, то существует окрестность (x<sub>o</sub> – b, x<sub>o</sub> + b), в которой f ``(x) > 0. По теореме о достаточном условии возрастании\убывании функции f `(x) возрастает в этой окрестности. Так как f `(x) = 0, то f `(x) < 0 любой x, принадлежащий промежутку (x<sub>o</sub> – b, x<sub>o</sub>) и f `(x) > 0 любой x, принадлежащий промежутку (x_o, x_o + b). По 1-ому достаточному условию экстремума x_o – точка минимума. Аналогично случай f ``(x) < 0.

48. Выпуклость функции. Необходимые и достаточные условия выпуклости. Точки перегиба.

Функция f(x) выпукла вниз на интервале X, если график f(x) расположен выше любой касательной в точке из X и f(x) выпукла вверх на X, если график расположен ниже любой касательной.

Точка перегиба - точка, в которой функция меняет выпуклость.

Необходимое условие выпуклости: Если f ``(x) > 0 на интервале X, то f(x) вогнута, если f ``(x) < 0, то f(x) выпукла.

 Достаточные условия наличия перегиба:

     1. Если f``(x) меняет знак при переходе через точкуx_o, тоx_o- точка перегиба.

     2. Если то приnчетномx_o- точка перегиба, приnнечетномx_oне является точкой перегиба.