38. Производная сложной функции, функции, заданной неявно, заданной параметрически, обратной функции.

Пусть y=f(u) – дифференцируема в u_o, u=g(x)- дифференцируема в x_o, u_o = g(x_o), тогда сложная функция y = f(g(x)) дифференцируема в x_o и y`= f `(g(x)*g`(x))

Функция задана неявно, если она задана уравнением f(x,y) = 0 не разрешённым относительно y.

Для нахождения производной y`<sub>x</sub> от неявно заданной функцией F(x,y) = 0 достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривать y, как функцию от x и полученное уравнение решить относительно y`.

Пусть x(t), y(t) – дифференц, ф x(t) имеет обратную функцию t = t(x). Тогда y` = y(t(x))

y`<sub>x</sub> = y`_t * t`_x =

Пусть функция имеет в точкепроизводную. Тогда обратная функцияимеет в соответствующей точкепроизводную, которую можно отыскать по формуле

39. Производные основных элементарных функций.

40. Дифференциал. Формула df(x) = f `(x)dx.

Если приращение функции ∆f(x) = A*∆x + 0(∆x), где A=const, 0(∆x) – бесконечно малая, более высокого порядка, чем ∆x, то говорят, что f(x) имеет дифференциал в точке x и он равен главной линейной части приращения A*∆x.

Теорема: если f(x) дифференцируема в точке x, то df(x) = f `(x)dx

Доказательство:

∆f(x) = A*∆x + 0 (∆x)

= A +

f `(x) = == A,т.е. A = f `(x)

df(x) = f `(x)*∆x

возьмём f(x)= x

dx = x`∆x = ∆x, т.е. ∆x = dx

df(x) = f `(x)dx

из формулы f `(x) =

41. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производной  n-го порядка от функции  называется производная от производной (n - 1)-го порядка:

Производная второго порядка:

df(x) =f`(x)dx

d²f(x) =d(df(x)) =d(f`(x)dx) = (f`(x)dx)`dx=f``(x)dxdx+f`(x)(dx)`dx=f``(x)(dx)²

f``f(x) =d(d^n-1 f(x))

Формула для вычисления дифференциала n–го порядка

 

dn f(x) = f(n) (x) dxn .

42. Теорема Ферма. Теорема Ролля.

Теорема Ферма: Пусть f(x) непрерывная функция на [a,b], x_o принадлежит [a,b] – точка экстремума, существует f `(x<sub>o</sub>). Тогда f `(x_o) = 0

Доказательство: Пусть x_o – точка максимума => существует b > 0: f(x) ≤ f(x_o). Любой x принадлежит (x_o – b, x_o + b)

Если x принадлежит (x_o – b, x_o), то ∆x = x – x_o ≤ 0

= ≥ 0

Если x принадлежит (x_o; x_o + b), то ∆x ≥ 0

= ≤ 0

т.к. существует f `(x), то существует =f `(x_o) ≤ 0

существует =f `(x_o) ≥ 0

=> f `(x_o) = 0.

Теорема Ролля: Если f(x) – непрерывна на отрезке [a,b], f(a) = f(b), f(x) – дифференцируема на (a,b), то существует x_o , принадлежащий [a,b]: f `(x_o) = 0

Доказательство: т.к. f(x) – непрерывна на [a,b], то по теореме о непрерывных функциях существует максимальное M и минимальное m значение f(x). Если m=M, то f(x)=const. f `(x) = 0.

43. Теорема Лагранжа и следствия из нее. Теорема Коши.

Теорема Лагранжа: Если f(x) – непрерывна на [a,b], f(x) – дифференцируема на (a,b), то существует x_o , принадлежащий (a,b): f(b) – f(a) = f `(x_o)(b - a)

Следствие 1: Если f `(x) = 0 любой x, принадлежащий [a,b], то f(x) = const.

Следствие 2: Если для любого x, принадлежащего (a,b) значение производной > 0, то эта функция возрастает на интервале (a,b). Если значение производной < 0, то убывает.

Следствие 3: Пусть X - некоторый промежуток, и значения производной на этом промежутке ограничены числом C: |f`(x)| ≤C. Тогда функцияf(x) равномерно непрерывна на данном промежутке.

Теорема Коши: Если f(x), g(x) – непрерывны на [a,b]. f(x), g(x) дифференцируемы на (a,b) g`(x)≠ 0, любойxпринадлежит (a,b), то существуетx_o, принадлежащее (a,b):=