37

СОДЕРЖАНИЕ

1. Численные методы решения нелинейного уравнения с одной неизвестной 2

1.1. Постановка задачи 2

1.2. Шаговый метод 3

1.3. Метод половинного деления 6

1.4. Метод Ньютона 9

1.5. Метод простой итерации 12

2. Численные методы решения системы линейных уравнений 16

2.1. Постановка задачи 16

2.2. Метод Гаусса 17

2.3. Метод простой итерации 22

2.4. Метод Зейделя 24

3. Численные методы решения задачи аппроксимации 26

3.1. Постановка задачи 26

3.2. Решение задачи интерполяции (полиномы первой и второй степени) методом неопределенных коэффициентов 26

3.3. Решение задачи интерполяции (полиномы первой и второй степени) с использованием полинома Лагранжа 32

3.4. Решение задачи аппроксимации (полиномы первой и второй степени) методом наименьших квадратов 35

Список использованных источников 42

1. Численные методы решения нелинейного уравнения с одной неизвестной

1.1. Постановка задачи

Пусть задана функция f(x),непрерывная вместе со своими несколькими производными. Требуется найти все или некоторые вещественные корни уравнения

Данная задача распадается на несколько подзадач. Во-первых, необходимо определить количество корней, исследовать их характер и расположение. Во-вторых, найти приближенные значения корней. В-третьих, выбрать из них интересующие нас корни и вычислить их с требуемой точностью . Первая и вторая задачи решаются, как правило, аналитическими или графическими методами. В случае, когда ищутся только вещественные корни уравнения (1), полезно составить таблицу значений функцииf(x). Если в двух соседних узлах таблицы функция имеет разные знаки, то между этими узлами лежит нечетное число корней уравнения (по меньшей мере, один). Если эти узлы близки, то, скорее всего, корень между ними только один.

Найденные приближенные значения корней можно уточнить с помощью различных итерационных методов. Рассмотрим три метода:

1) шаговый метод

2) метод половинного деления (или деление отрезка пополам);

2) метод Ньютона.

3) метод простой итерации

Дано нелинейное уравнение ax²+bx+c=0, интервал поиска корня [x₀,x₁] и шагh. Для варианта 27 значения числовых констант таковы:

1.2. Шаговый метод

Алгоритм шагового метода

1. Установить интервал [а,b] на начало интервала поиска (а=х₀).

2. Определить координату точки b (b = а + h), а также значения функции в точках а и b: F(a) и F(b).

3. Проверить условие F(a)*F(b) < 0. Если условие не выполнено - передвинуть интервал [а,b] на один шаг (а=b) и перейти к пункту 2.

Если условие выполнено - закончить алгоритм шагового метода.

Решением являются координаты точек а и b. Отрезок [а,b] содержит корень уравнения, поскольку функция F(x) на его концах имеет разные знаки (рис 1).

Реализуем в программе Excelалгоритм шагового метода для наших данных:

Рисунок 1 – Реализация шагового метода.

Опишем действия по созданию листа расчета:

1. Запустим программу Excelи перейдем на новый лист

2. В диапазонах от А1:А3 и D1:D3 вписываем поясняющий текст: обозначения переменных.

3. Зададим собственные имена ячеек, где будут храниться исходные значения. Установим курсор в ячейку В1, в адресной строке вместо адреса В1 впишем адрес «х0» (букву «х» печатаем на кириллице, так как адрес Х0 уже присутствует на листе Excel).

№	Адрес Excel	Собственный адрес
	В1	х0
	В2	х1
	В3	h
	E1	a
	E2	b
	E3	c

Теперь, используя эти именованные ячейки, создадим формулы по реализации шагового метода (см. рис.2)

Рисунок 2 – Рабочие формулы Excel

Столбец В содержит аргументы х, столбец С содержит значения функции аргументов х.

Вначале создаем формулу в ячейке В6, далее копируем её на остальной диапазон, создаем формулу в ячейке С6 и копируем её вниз. В результате расчета видим, что знак поменялся в диапазоне от 0,3 до 0,6.

Расчет окончен.

Построив график функции, и решив вручную квадратное уравнение видим что корни приходятся на точки 0,5 и 1. Корень х=1 не приходится на заданный интервал, а корень 0,5 как раз находится в найденном интервале от 0,3 до 0,6.

Рисунок 3 – График исследуемой функции

1.3. Метод половинного деления

Уточним значение корня методом половинного деления с точностью ε=0,01

Наиболее простым методом, позволяющим найти корень нелинейного уравнения (1), является метод половинного деления.

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция Если значения функции на концах отрезка имеют разные знаки, т.е.то это означает, что внутри данного отрезка находится нечетное число корней. Пусть для определенности корень один. Суть метода состоит в сокращении на каждой итерации вдвое длины отрезка. Находим середину отрезка [a,b]Вычисляем значение функциии выбираем тот отрезок, на котором функцияменяет свой знак. Новый отрезок вновь делим пополам. И этот процесс продолжаем до тех пор, пока длина отрезка не сравняется с наперед заданной погрешностью вычисления корня. Построение нескольких последовательных приближений по формуле (3) приведено на рисунке 1.

Итак, алгоритм метода дихотомии:

1. Задать отрезок [a,b] и погрешность .

2. Если f(a) и f(b) имеют одинаковые знаки, выдать сообщение о невозможности отыскания корня и остановиться.

Рисунок 4 -- Метод деления отрезка пополам для решения уравнения вида f(х)=0.

3. В противном случае вычислить c=(a+b)/2

4. Если f(a) и f(c) имеют разные знаки, положить b=c, в противном случае a=c.

5. Если длина нового отрезка , то вычислить значение корня c=(a+b)/2 и остановиться, в противном случае перейти к шагу 3.

Так как за N шагов длина отрезка [a, b] сокращается в 2N раз, то заданная погрешность отыскания корня будет достигнута за итераций.

Как видно, скорость сходимости мала, но к достоинствам метода относятся простота и безусловная сходимость итерационного процесса. Если отрезок [a, b] содержит больше одного корня (но нечетное число), то всегда будет найден какой-нибудь один.

Замечание. Для определения интервала, в котором лежит корень, необходим дополнительный анализ функции , основанный либо на аналитических оценках, либо на использование графического способа решения. Можно также организовать перебор значений функции в различных точках, пока не встретится условие знакопеременности функции

Составим расчетную таблицу в Excel:

Рисунок 5 – Реализация метода половинного деления

Порядок создания расчетного листа Excel:

1. Зададим исходные данные функции в диапазоне В1:В3, а также для параметров функции вновь зададим собственные имена ячеек: «а», «б», «сс»

2. Создадим следующую таблицу, как показано на рисунке 4. Строка 6 содержит текстовую шапку таблицы. Пронумеруем столбец 1 «№ шага».

3. Впишем формулы в столбцы С, E,F,G,Hкак показано на рисунке 5. В зависимости от выбора новой левой или правой границы происходит вычисление по формулам, которые копируем на новые строки.

Рисунок 6 –Формулы метода половинного деления

На шестой итерации достигнута необходимая точность равная 0,009<0.01. Середина последнего интервала равна 0,50159, это и будет значение найденного методом половинного деления, корня. Значение функции в найденном корне равно -0,00158.