m2var04
.pdfВариант № 4
В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить
дифференцированием. |
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1. ∫ |
ln3 x + 2 |
dx = |
подведение под |
= ∫ |
ln3 x + 2 |
d ln x = |
ln3 x |
+ 2lnln x + C . |
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ln x |
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||||||
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xln x |
знак дифференциала |
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3 |
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ln3 |
x |
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′ |
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1 |
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1 |
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2 |
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1 |
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ln3 x + 2 |
||
Проверка: |
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+ 2ln ln x + C |
= |
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3ln |
2 x |
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+ |
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= |
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. |
||||
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3 |
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3 |
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x ln x x |
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xln x |
|||||
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Ответ: ∫ |
ln3 x + 2 |
dx = |
ln3 x |
+ 2ln ln x + C . |
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xln x |
3 |
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2. ∫x ln xdx . Интегрируем по частям: ∫u dv = uv − ∫v du .
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ln x = u, |
dx |
= du |
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∫ |
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ln xdx = |
x |
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= |
2 |
x |
3 |
ln x − |
2 |
∫x |
3 |
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dx |
= |
2 |
x |
3 |
ln x − |
2 |
∫ |
|||||||
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||||||||||||||||||||||
x |
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3 |
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2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||
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2 |
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3 |
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3 |
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x 3 |
3 |
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xdx = dv, |
v = |
x2 |
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3 |
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1
x2 dx =
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2 |
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3 |
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4 |
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3 |
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2 |
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|||||||||||||||||
= |
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x |
2 |
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ln x − |
x |
2 |
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+ C = |
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x |
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x(3ln x − |
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) + C . Проверка: |
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3 |
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9 |
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9 |
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′ |
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||||||||||||||
2 |
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′ |
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2 |
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3 |
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2 |
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3 |
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1 |
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3 |
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1 |
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x |
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x(3ln x − |
) |
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+ C |
= |
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x2 (3ln x − |
|
) |
= |
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x |
2 (3ln x − |
) + 3 |
x2 |
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= |
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x ln x . |
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9 |
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9 |
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9 |
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2 |
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|
x |
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Ответ: ∫ |
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ln xdx = |
2 |
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x |
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x |
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x(3ln x − |
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) + C . |
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9 |
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|||||
3. |
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∫ |
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xdx |
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= |
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1 |
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∫ |
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(x +1) − 2 |
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dx = − |
1 |
∫ |
d(4 − (x +1)2 |
) |
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−∫ |
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dx |
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= |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3− 2x − x2 |
2 |
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4 − (x +1)2 |
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|
2 |
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|
4 − (x +1)2 |
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4 − (x +1)2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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− arcsin |
x +1 |
+ C . Проверка: |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= − |
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4 − (x +1)2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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′ |
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x +1 |
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= − |
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− (x +1) |
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− |
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1 |
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1 |
= |
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2 |
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− |
4 − (x +1) |
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− arcsin |
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+ C |
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2 |
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2 4 − (x +1) |
2 |
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1− |
( |
x +1 |
2 |
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2 |
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) |
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2 |
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= − |
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− (x +1) |
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− |
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1 |
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= |
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x |
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= |
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x |
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. |
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4 − (x +1)2 |
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4 − (x +1)2 |
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4 − (x +1)2 |
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3 − 2x − x2 |
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Ответ: ∫ |
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xdx |
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− arcsin |
x +1 |
. |
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= C − |
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4 − (x +1)2 |
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3− 2x − x2 |
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2 |
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4. ∫ |
x4 − 3x2 + 3x −1 |
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dx . Выделяем целую часть дроби, затем делаем преобразования. |
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x |
2 |
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− 3x − 2 |
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||||||||||||||||||
∫ |
x4 |
− 3x2 |
+ 3x −1 |
|
dx = ∫[x2 + 3x + |
|
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33x +17 |
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x3 |
3x2 |
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33 |
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∫ |
2x − 3+133/33 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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8 + |
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]dx = |
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+ |
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+ 8x + |
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dx = |
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x |
2 |
− 3x − 2 |
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|
x |
2 |
− 3x − 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
− 3x − 2 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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3 |
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x3 |
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3x |
2 |
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33 |
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133 |
|
∫ |
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1 |
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x3 |
|
3x2 |
|
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33 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ 8x + |
|
|
|
|
|
|
ln |
x2 − 3x − 2 |
|
+ |
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
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|
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|
dx = |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ 8x + |
|
|
|
ln |
|
x2 |
− 3x − 2 |
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
(x |
− 3/ ) |
2 |
−17 / 4 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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33 |
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|
|
|
|
|
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133 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − |
|
|
) − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3x − 2 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3/ |
|
|
17 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
33 |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
+ C = |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 8x + |
|
|
|
|
ln |
x2 − 3x − 2 |
+ |
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+ C . Проверка: |
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2x |
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x2 − 3x − 2 |
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= x2 + 3x + 8 + |
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− 3+ |
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||||||||
+ |
133 |
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2x − 3 − |
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17 |
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4 (2x − 3 + |
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17) − 4 (2x − 3 − |
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17) |
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= x2 |
+ 3x + 8 + |
33 |
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2x − 3 |
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|
+ |
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2x − 3 + |
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(2x − 3+ |
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x2 |
− 3x − |
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17)2 |
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2 |
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2 |
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17 |
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17 |
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|
2x − 3 |
|
|
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|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
133 |
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8 |
17 |
|
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= x2 + 3x + 8 + |
33 |
|
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|
+ |
133 |
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|
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8 |
17 |
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= |
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− 3)2 − |
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2 17 (2x |
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2 x2 − 3x − 2 2 17 4x2 −12x + 9 −17 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= x2 |
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+ 3x + 8 + |
33 |
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2x − 3 |
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+ |
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133 |
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= x2 + 3x + 8 + |
|
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66x + 34 |
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= . |
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− 3x − |
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(x2 − 3x − |
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2 x2 − 3x − 2 x2 |
2 |
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) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= x2 + 3x + 8 + |
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x4 |
+ 3x3 + 8x2 − 3x3 − 9x2 − 24x − 2x2 − 6x −16 + 33x +17 |
= |
|
x4 |
− 3x2 |
|
+ 3x +1 |
. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x2 − 3x − 2 |
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x2 |
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− 3x − |
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x4 |
− 3x2 |
|
|
+ |
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3x − |
1 |
|
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|
|
x3 |
|
|
|
3x2 |
|
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33 |
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133 |
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2x − 3 |
− |
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Ответ: ∫ |
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17 |
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dx |
= |
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+ |
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+ 8x + |
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ln |
x2 |
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− 3x − 2 |
+ |
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ln |
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+ C . |
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2 |
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− 3x |
− 2 |
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2x − 3 |
+ |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x |
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3 |
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2 |
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2 |
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2 17 |
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17 |
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5. |
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∫ |
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7x −15 |
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dx. Разлагаем подинтегральную дробь на простые дроби. |
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|
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3 |
|
− |
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2 |
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x |
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2x |
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+ 5x |
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||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
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|
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|
7x −15 |
|
|
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|
dx = ∫ |
|
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7x −15 |
dx. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
x |
3 |
|
− 2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x |
|
2 |
|
− 2x + 5) |
|
|
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|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
+ 5x |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7x −15 |
|
|
|
|
|
= |
|
A |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
Bx + C |
|
|
= |
|
|
|
A(x2 − 2x + 5) + (Bx + C)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x(x2 − 2x + 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− 2x |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x2 − 2x + 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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x x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A(x2 |
|
|
|
− 2x + 5) + (Bx + C)x = 7x −15 . |
Полагаем |
|
|
x = 0, |
|
получим |
|
|
A = −3 . Приравнивая |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
коэффициенты при |
|
|
|
|
|
|
x2 , получим |
|
|
A + B = 0 . Или B = 3 . Приравнивая коэффициенты при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2A + C = 7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким |
|
|
|
|
|
|
образом, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
7x −15 |
|
|
|
|
dx = ∫[− |
3 |
|
+ |
|
|
3x +1 |
|
|
|
|
]dx = −3ln |
|
x |
|
+ |
3 |
∫ |
|
|
|
|
|
2x − |
2 |
|
|
|
|
dx |
+ ∫ |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
3 |
|
− 2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− 2x |
+ |
5 |
2 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −1) |
2 |
+ |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 5x |
|
|
|
|
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|
x x |
|
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− 2x + 5 |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= −3ln |
|
x |
|
+ |
|
3 |
ln(x2 |
|
|
− 2x + 5) + 2arctg |
x −1 |
+ C . |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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′ |
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3 |
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x −1 |
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= − |
3 |
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+ |
3 |
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2x − 2 |
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+ |
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1 |
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1 |
= |
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− 3ln |
x |
+ |
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ln(x |
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− |
2x + 5) + |
2arctg |
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+ C |
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2 |
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− 2x + |
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1+ (x |
−1)2 |
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2 |
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2 |
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x 2 x2 |
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5 |
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/ 4 2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= − |
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3 |
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+ |
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3x − 3 |
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+ |
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4 |
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= |
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− 3x2 |
+ 6x −15 + 3x2 − 3x |
+ 4x |
= |
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7x −15 |
|
|
. |
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− 2x |
+ |
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x(x2 − 2x |
+ 5) |
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x x2 − |
2x + 5 x |
2 |
5 |
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x(x2 − 2x + 5) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: ∫ |
|
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7x −15 |
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|
dx = −3ln |
|
x |
|
+ |
3 |
ln(x2 − 2x + 5) + 2arctg |
|
x |
−1 |
+ C . |
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3 |
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2 |
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x |
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− |
2x |
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+ 5x |
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2 |
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2 |
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6. |
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∫ |
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6 |
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x +1 |
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|
dx . Сначала делаем замену переменной, затем преобразуем |
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x 3 x + 6 x5 |
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|
интеграл.
2
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x = t6 , dx = 6t5dt |
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6(t +1)t5dt |
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(t +1)dt |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
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6 |
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x +1 |
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dx = |
|
= ∫ |
|
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= 6∫ |
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|
= 6∫ |
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(t +1)dt |
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= |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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6 |
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t |
2 |
|
+ t |
5 |
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|
|
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|
3 |
+1 |
|
|
|
(t + |
|
|
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2 |
|
− 2t |
+1) |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
3 |
x + 6 |
|
|
x5 |
|
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|
3 |
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|
x = t |
2 |
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|
t |
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|
|
|
|
t |
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|
1)(t |
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||||||
= 6∫ |
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dt |
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= 6∫ |
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dt |
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2 |
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t − |
1/ 2 |
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26 x −1 |
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3 / 2 |
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−1 |
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′ |
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x |
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3 arctg |
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+ C |
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3 |
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1+ (2 |
6 |
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x −1) |
2 |
/3 |
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3 |
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6 |
6 |
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x |
5 |
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6 |
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x |
5 |
|
+ (4x |
3 |
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x − 4x + |
6 |
|
x |
5 |
) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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= |
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1 |
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= |
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6 x +1 |
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6 x +1 |
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= |
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6 x +1 |
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6 |
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+ (x3 |
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− x) |
[6 |
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+ x3 |
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|
− x](6 |
|
|
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|
+1) |
x + x8/ 6 − x7 / 6 + x5/ 6 + x7 / 6 − x |
x 3 |
|
+ 6 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x5 |
x5 |
x5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
x |
x |
x |
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. |
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Ответ: ∫ |
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x +1 |
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dx = 4 |
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arctg |
26 |
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x |
−1 |
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+ C . |
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3 |
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x 3 |
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x + 6 |
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x5 |
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3 |
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dx . Интегрируем с помощью замены переменной. |
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+1 |
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+1 |
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1+ x |
2 |
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x |
2 |
+1 |
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. Ответ: ∫ |
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dx |
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x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
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|
= |
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dx = |
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+ C . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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x2 |
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x |
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(16 + x2 )3 |
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x2 |
+1 |
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x2+1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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8. |
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∫ |
cos3 |
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xdx |
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. Интегрируем после предварительных преобразований. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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sin |
2 |
|
x |
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|||||||||||||
∫ |
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cos3 |
|
xdx |
= ∫ |
|
|
(1− sin2 x) d sin x |
|
= ∫ |
d sin x |
− ∫d sin x = − |
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1 |
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− sin x + C . |
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sin |
2 |
x |
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sin |
2 |
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x |
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sin |
2 |
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|
x |
sin x |
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|
′ |
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1 |
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cos x |
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cos x |
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2 |
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cos3 x |
|||||||||||||||||||||||||||
Проверка: |
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− |
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− sin x + C = |
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− cos x = |
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(1− sin |
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x) = |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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sin x |
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sin2 |
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|
x |
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sin2 x |
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sin2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
2 − 3cos2 x + cos2 x(1− 2sin2 x) |
= |
|
2sin2 x − cos2 x + cos2 x − 2sin2 xcos2 x |
|
= |
|
sin4 |
x |
. |
|
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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2cos2 x |
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2cos2 x |
|
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|
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|
|
|
cos |
2 |
x |
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: ∫ |
|
cos3 |
|
xdx |
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= C − |
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1 |
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|
− sin x . |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin |
2 |
|
x |
|
|
|
|
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|
sin x |
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. Интегрируем с помощью замены переменной. |
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+ t |
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+ t |
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− |
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3 |
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1 |
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1 |
] = |
3 |
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3tg(x / ) + 2 + |
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13 − (3tg(x / ) + 2 − |
13) |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3tg(x / ) + 2 + |
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) + |
)2 |
−13]cos2 (x / ) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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13 |
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cos |
2 |
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x 2 |
2 |
13 |
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[(3tg(x / |
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2 |
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= |
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3 |
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= |
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||||
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(3sin(x / |
) + 2cos(x / 2))2 |
−13cos2 (x / |
) |
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= |
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2 |
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= |
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|||
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||
|
9sin |
2 (x / |
) +12sin(x / )cos(x / |
) + 4cos2 (x / |
) −13cos2 (x / |
) |
|
|
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= |
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3 |
|
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|
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
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|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
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|
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||||||||
|
9sin |
2 (x / |
) + 6sin x − 9cos2 (x/ |
) |
|
2sin x − 3cos x |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
) + 2 − |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
ln |
3tg(x / |
|
|
|
13 |
|
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) + 2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin x − 3cos x |
|
|
13 |
|
|
|
|
3tg(x / |
|
|
13 |
|
|
|
|
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|
|
|
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|
Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость. 10.
−1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x + 3/ 2 |
|
−1 |
|
|
|
−1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 lim arctg |
|
|
= lim arctg (2x +1) |
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2x |
2 |
+ 6x + 5 |
2 |
|
|
a→−∞ ∫ |
|
(x + 3/ ) |
2 |
+1/ 4 |
|
2 |
|
|
a |
→−∞ |
|
1/ 2 |
|
a |
a→−∞ |
a |
|||||||||||||||||||||
−∞ |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= arctg (−1) − lim arctg(2a +1)] = − π − (− π ) = π . Интеграл сходится. Ответ: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
−1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
= 4 |
. Интеграл сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2x2 |
+ 6x + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
e |
x |
dx |
|
1 |
e |
x |
dx |
|
|
|
1 |
|
|
d(e |
x |
−1) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
11. ∫ |
|
|
= lim |
|
∫ |
|
|
|
= lim |
∫ |
|
|
|
= 2lim ex −1 |
= 2 e −1 . |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
e |
x |
−1 |
ε →0 |
0+ε |
|
e |
x |
−1 |
ε →0 |
0+ε |
|
|
|
|
e |
x |
−1 |
ε →0 |
|
|
0+ε |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
e |
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Интеграл сходится. Ответ: ∫ |
|
|
|
|
= 2 |
|
e −1 . Интеграл сходится. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
ex |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.
y = (x − )3 = f |
1 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12. |
|
|
. Найдём точки пересечения линий: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y = 4x − 8 = f2 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x − )3 = 4x − 8 x − 2 = 0, (x − )2 = 4 x = , x |
2 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
8 |
|
|
|
|
|
x3 = 4.Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
S = 2∫[ f2 (x) − f1 (x)]dx = 2∫[4x − 8 − (x − )3 ]dx = |
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||
x1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
= [2x2 − 8x − (x − |
|
) |
4 |
4 |
[32 − 32 − 4 + 8 +16] = 40 . |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
||
|
] |
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
Ответ: S = 40 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
13.ρ = 2sin 4ϕ .. Это четырёхлепестковая роза и окружность. Найдём точки пересеченияρ = 1, (ρ > 1)
линий: |
|
|
|
|
|
|
|
2sin 4ϕ = 1 sin 4ϕ = 1 4ϕ = kπ + (−1)k |
π |
90 |
|
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
6 |
|
|
|
ϕ = kπ + (−1)k |
π . Вычислим площадь для одного |
|
|
|
|||
|
4 |
24 |
|
180 |
|
|
0 |
лепестка и учетверим её: |
|
|
|
||||
|
|
0 |
1 |
2 |
|||
S = 4 1 |
ϕ 2 |
|
5π / 24 |
|
|
|
|
∫[ρ22 (ϕ) − ρ12 (ϕ)]dϕ = 2 |
∫[4sin2 4ϕ −1]dϕ = |
|
|
|
|||
2 |
ϕ |
|
π / 24 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
5π / 24 |
(1− cos8ϕ) −1]dϕ = 2[ϕ − 1 sin8ϕ] |
5π / 24 |
270 |
|
|
||
= 2 ∫[ |
= |
|
|
|
|||
π / 24 |
|
|
4 |
π / 24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2[π + |
|
|
3 |
|
+ |
|
|
3 |
] = π + |
|
|
3 |
. Ответ: S = π + |
|
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6 |
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|
8 |
|
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8 |
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3 |
|
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|
2 |
|
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|
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|
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3 |
|
|
2 |
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|
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|||||||||||||
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5 |
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|
= ln |
|
|
≤ x ≤ 8 . |
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|
14. Вычислите длину дуги кривой (L): y |
|
, 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2x |
|
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||
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t2 |
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|
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|
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|
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|
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|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
L = ∫ [1+ [y′(x)] |
2 |
dx = ∫ |
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1+ |
− |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= ∫ |
1+ |
|
dx = |
∫ |
|
|
x2 +1 |
|
= |
∫ |
|
x2 |
+1 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
tdt |
|
3 |
t2−1+1dt |
|
1 |
|
t −1 |
|
|
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
x2+1 = t2 , tdt = xdx |
= ∫t |
|
= ∫ |
= [t + |
ln |
|
] |
|
|
||||||||
t |
2 |
−1 |
t |
2 |
−1 |
2 |
t +1 |
|
|
|
||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Ответ: L = 1+ 1 ln 3 .
22
15.Найдите объём тела вращения плоской
= 1+ |
1 |
(ln |
2 |
− ln |
1 |
) = 1+ |
1 |
ln |
3 |
|
|
|
|
|
|||||
2 |
4 |
3 |
2 |
2 |
x2 |
+ y2 = 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3x / , вокруг оси OX. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
фигуры (S) y2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x ≥ 0. |
|
|
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||
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|
|
|
|
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|
|
Найдём точки пересечения линий: |
|
|
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|
|
|
|
||||||
1− x2 = 3x / 2 2x2 + 3x − 2 = 0 |
x = − |
, x |
2 |
= 1/ 2 . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первая точка не может быть точкой пересечения. |
|
|
|||||||||||||
Учитываем далее, что x ≥ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1/ 2 |
|
x |
3 |
|
|
3x |
2 |
|
1/ 2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
V = π ∫[x2 +1− 3x / ]dx = π ( |
|
|
+ x − |
|
) |
|
= π ( |
+ |
− |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
3 |
|
4 |
|
|
0 |
|
24 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
|
|
1 |
|
si |
|
|
0.33 |
|
|
1 |
0.5 |
0 |
0.5 |
1 |
|
|
0.33 |
|
|
3 ) = π 2 + 24 − 9 = 17π |
|
|||
16 |
48 |
1 |
48 |
|
|
|
|
|
Ответ: V = 17π .
48 |
|
|
y = 15sin |
3 t, |
π |
|
, 0 ≤ t ≤ |
|
16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L) |
|
|
x = 15cos |
3 t |
2 |
(астроида) вокруг оси OX.
5
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P = 2π ∫ y |
x′2 |
+ y′2 dt = 30π ∫sin3 t |
(45cos2 tsint) + (45sin2 t cost)2 dt = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
π / 2 |
|
||
= 45 30π ∫sin3 t sint cost |
cos2 t + sin2 t dt = 1350π ∫sin4 t d sint = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
270π sin5 t 0 |
= 270π . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: P = 270π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей |
||||||||||||||||||||||||||||||
математике. |
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
17. ∫ |
|
|
dx |
|
|
. По справочнику находим: ∫ |
|
dx |
= − |
1 |
π |
− |
ax |
|
|
|||||||||||||||
1+ sin ax |
|
|
|
tg |
|
|
+ C . |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ sin ax |
a |
4 |
|
2 |
|
|
|||||||||
Ответ: ∫ |
|
|
dx |
|
|
= − |
1 |
π |
|
− |
ax |
|
+ C . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
+ sin ax |
|
a |
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
математические формулы.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∞ |
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
xdx |
= |
π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
18. ∫ |
|
x |
+1 |
. По справочнику находим: ∫ |
|
x |
|
+1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
0 |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
e |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∞ |
xdx |
|
π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: ∫ |
e |
x |
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
+1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. Точка оси OX совершает гармонические колебания относительно начала |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
координат. Её скорость задаётся формулой V = V0 cosωt (V0 , ω - постоянные) Найдите |
||||||||||||||||||||||||||||||
закон колебания точки, если при t = 0 X = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (t) = ∫V(t)dt = ∫V0 cosωt dt = V0 |
sinωt |
|
= V0 |
(sinωt − sin 0) = V0 sinωt . |
|
|
||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
ω |
|
0 |
ω |
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: X (t) = V0 |
sinωt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
20. Квадрат со стороной 8 м. веортикально погружён в воду так, что одна из его |
||||||||||||||||||||||||||||||
сторон лежит на поверхности воды. Определите давление воды на квадрат. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Разобьём квадрат на горизонтальные полоски. На глубине h |
|
|
8 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
давление на элементарную полоску составит величину |
F=γh S, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
где γ – плотность воды, а S=8Δh. Дифференциал силы давления |
|
Δh |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
будет равен dF = 8γhdh . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F / 2 = ∫dF = 8γ ∫hdh = |
4γ h |
2 |
= 256γ = 256 (γ = 1) . Это давление |
|
|
|
h |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
8 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
на одну сторону квадрата. Так что F = 512 . Ответ: F = 512 . |
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|
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|
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6