m2var13
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Вариант № 13 |
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В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить |
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дифференцированием. |
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1. |
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sin x |
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подведение под |
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∫ |
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dx = |
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знак дифференциала |
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= −∫cos 3 |
xd cos x = − 3cos3 |
x + C = −33 cos x + C . |
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3 |
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2 |
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cos |
x |
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′ |
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1 |
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′ |
− |
2 |
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sin x |
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Проверка: (− 33 |
cos x + C) |
= −3 |
cos3 |
x = −3 cos 3 x (−sin x) = |
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3 |
cos |
2 |
x |
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Ответ: ∫ |
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sin x |
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dx = −33 |
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+ C . |
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cos x |
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3 |
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cos |
2 |
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x |
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2.∫sinx2 x dx . Интегрируем по частям: ∫u dv = uv − ∫v du . x = u, dx = du
∫ |
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x |
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v = −ctg x = −x ctg x + ∫ctg xdx = − x ctg x + ∫ |
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d sin x |
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dx |
= |
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dx |
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= dv, |
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= |
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sin2 x |
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sin x |
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sin2 |
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x |
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= −x ctg x + ln |
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sin x |
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+ C . Проверка: |
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(− x ctg x + ln |
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sin x |
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+ C)′ = −ctg x + |
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x |
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+ |
cos x |
= |
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x |
. |
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Ответ: ∫ |
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x |
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sin2 |
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x |
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sin x |
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sin2 x |
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dx = −x ctg x + ln |
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sin x |
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+ C . |
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sin |
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x |
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3. ∫ |
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2x − 8 |
dx = −∫ |
− (2x +1) + |
9 dx = − ∫ |
d(1− x − x2 |
) |
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dx − 9∫ |
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dx |
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= |
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1− x − x2 |
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1− x − x2 |
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1− x − x2 |
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1− x − x2 |
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dx |
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dx |
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= −2 1− x − x2 − 9∫ |
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= − 2 1− x − x2 − 9∫ |
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= |
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− (x2 + x +1/ 4) |
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− (x |
−1/ 2)2 |
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5/ 4 |
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5/ 4 |
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− 9arcsin |
x − |
1/ 2 |
+ C = −2 |
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− 9arcsin |
2x |
− |
1 |
+ C . |
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= −2 1− x − x2 |
1− x − x2 |
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5 / 2 |
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2x −1 |
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′ |
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Проверка: |
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− 2 |
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− x − x2 |
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− 9arcsin |
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+ C |
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= −2 |
− 2x −1 |
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− 9 |
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1 |
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2 |
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= |
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2x +1 |
|
− |
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18 |
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= |
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2 |
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2 |
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5 |
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2 |
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2 |
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|||||
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2 1− x − x |
|
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1− |
(2x −1) |
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|
1− x − x |
|
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5 − 4x − 4x −1 |
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|
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|||||||||
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|
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|
|
|
|
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|
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|
5 |
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|
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|
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|
|
||||
= |
|
|
2x +1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
2x − 8 |
. |
|
|
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1− x − x2 |
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|
1− x − x2 |
|
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|
|
1− x − x2 |
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Ответ: ∫ |
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2x − 8 |
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− 9arcsin |
2x |
− |
1 |
+ C . |
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dx = −2 |
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1− x − x2 |
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1− x − x2 |
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5 |
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4. ∫ |
|
x4 − 2x3 + 2x |
|
dx . Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную часть на |
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|
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|
x |
3 |
− x |
2 |
|
− x +1 |
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простые дроби. ∫ |
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x4 − 2x3 + |
2x |
= ∫[x −1+ |
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1 |
|
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]dx |
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|
dx |
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|
|
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|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
3 |
− x |
2 |
− x |
|
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|
|
+1)(x −1) |
2 |
|
|
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|
x |
|
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|
+1 |
|
|
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|
(x |
|
|
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|
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|
|
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1 |
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|
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|
|
|
|
|
|
= |
|
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|
A |
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|
+ |
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|
B |
|
+ |
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C |
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= |
|
|
A(x −1)2 + B(x2 −1) + C(x +1) |
|
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|
(x +1)(x −1)2 |
|
|
x |
+1 |
|
|
|
x −1 |
|
(x −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +1)(x −1)2 |
|
|
|
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|
|
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A(x −1)2 |
+ B(x2 −1) + C(x +1) = 1. Полагаем x = −1, получим A = 1/ 4. Из равенства |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = 1 следует C = 1/ 2 . Приравнивая коэффициенты при |
x2 , получим A + B = 0 . Или |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
B = −1/ 4. Таким образом, |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
x4 − 2x3 + |
2x |
dx = ∫[x − |
1+ |
|
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|
1 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
]dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
3 |
− x |
2 |
|
− x |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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4(x +1) 4(x −1) 2(x −1) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
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|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
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|
− x + |
|
|
ln |
x +1 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
ln |
x −1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
+ C = |
|
|
|
|
|
− x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
+ C |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2(x −1) 4 |
x −1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Проверка: |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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− x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
ln |
|
x +1 |
− |
|
|
ln |
x −1 |
+ C |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
2(x −1) |
|
|
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4 |
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x −1 |
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2 |
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2(x −1) 4 |
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4 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= x −1+ |
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1 |
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+ |
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1 |
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|
− |
|
|
1 |
|
|
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= |
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4(x2 −1)(x −1)2 |
|
+ 2(x +1) + (x |
−1)2 − x2 +1 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
−1)2 |
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4(x −1) |
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4(x2 |
−1)(x −1) |
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|
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2(x |
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4(x +1) |
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= |
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4x4 − |
8x3 + 8x − 4 + 2x + 2 + x2 − 2x +1− x2 +1 |
= |
|
x4 |
− 2x |
3 + 2x |
. |
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||||||||
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4(x2 −1)(x −1) |
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x3 |
− x2 |
− x +1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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Ответ: ∫ |
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x4 − 2x3 + 2x |
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x |
2 |
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1 |
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|
1 |
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x +1 |
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dx = |
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− x − |
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+ |
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ln |
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+ C . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
3 |
− x |
2 |
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2 |
|
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|
x −1 |
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|
− x +1 |
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2(x −1) 4 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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5. |
∫ |
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x2 |
− 8x +13 |
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dx . Разлагаем дробь на простые дроби и интегрируем. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
(x |
−1)(x |
2 |
− 4x + |
5) |
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||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
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|
x2 |
− 8x +13 |
|
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|
dx = ∫ |
|
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x2 − 8x +13 |
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dx . |
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|
(x |
−1)(x |
2 |
|
− 4x + |
5) |
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|
(x −1)[(x − |
2) |
|
2 |
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+1] |
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x2 − 8x +13 |
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= |
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A |
+ |
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Bx + C |
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= |
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A(x2 |
− 4x + 5) + (Bx + C)(x−1) |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x −1)[(x − 2)2 +1] |
|
|
x −1 |
|
|
x2 |
− 4x + |
5 |
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(x −1)(x2 − |
4x + 5) |
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A(x2 |
− 4x + 5) + (Bx + C)(x−1) = x2 − 8x +13 . Полагаем x = 1, получим A = 3. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Приравнивая коэффициенты при |
|
x2 , получим A + B = 1. Или B = −2. Приравнивая |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
коэффициенты при |
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|
x0 , получим 5A − C = 13. Или C = 2 . Таким образом, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
x2 |
− 8x +13 |
|
|
|
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|
dx = ∫[ |
|
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|
3 |
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|
− |
2x − 2 − 2 + 2 |
]dx = |
|
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(x |
−1)(x |
2 |
|
− 4x + |
5) |
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− |
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(x |
|
− |
2) |
2 |
+1 |
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x |
1 |
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(x |
−1) |
3 |
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||||||||||||
= 3ln |
x −1 |
− ln((x − 2)2 |
|
+1) − 2arctg (x − 2) + C = ln |
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− 2arctg(x − 2) + C . |
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x2 |
− 4x |
+ |
5 |
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Проверка: |
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||||||||||||||||
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(x −1) |
3 |
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|
′ |
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|
3 |
|
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2x − 4 |
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2 |
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||
ln |
|
|
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− 2arctg(x |
− 2) + C |
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= |
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x2 − 4x + |
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x − |
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2 − 4x + |
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5 |
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1 x |
5 x2 − 4x + 5 |
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= |
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3(x2 − 4x + 5) − |
2(x − 2)(x −1) − 2x + 2 |
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= |
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x2 |
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− 8x +13 |
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. |
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(x2 |
− 4x + 5)(x −1) |
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(x2 + 2x + 2)(x + |
2) |
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Ответ: ∫ |
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x2 − |
8x +13 |
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dx = ln |
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(x −1)3 |
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− 2arctg(x − 2) + C . |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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(x |
−1)(x |
2 |
− 4x + |
5) |
x |
2 |
|
− 4x + 5 |
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6. ∫ |
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dx |
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. Интегрируем с помощью замены переменной. |
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(1+ |
4 |
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3 |
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x) |
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x |
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∫ |
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dx |
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= |
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x = t3 , dx = 3t2dt |
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= ∫ |
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3t2dt |
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= |
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3∫ |
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dt |
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= 3∫ |
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(1 |
+ t2 |
|
− t |
2 )dt |
= |
3∫ |
dt |
+ |
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3 |
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+ t |
2 |
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(1+ t |
2 |
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+ t |
2 |
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x(1 |
+ 3 x2 ) |
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x = t2 |
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t |
(1 |
) |
t |
) |
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t(1 |
) |
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t |
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tdt |
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3 |
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− 3∫ |
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= 3ln |
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t |
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− |
3 |
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ln(1+ t2 ) + C = 3ln |
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t |
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+ C = 3ln |
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x |
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+ C . |
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1+ t |
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1+ t2 |
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1+ 3 x2 |
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1 |
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1 |
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2 |
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x−1/ 3 |
|||||||||||||||||||||||||||
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|
′ |
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x−2 / 3 1+ 3 x2 − 3 |
x |
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3 x |
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x |
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2 1+ 3 x2 3 |
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= 3 |
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= |
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Проверка: |
3ln |
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+ C |
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1+ |
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x−2 / 3 (1+ 3 |
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x−2 / 3 |
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x2 ) −1 |
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= |
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. Ответ: ∫ |
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dx |
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= 3ln |
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3 x |
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+ C . |
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(1+ |
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3 |
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3 x(1+ 3 x2 ) |
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3 x(1+ 3 x2 ) |
x(1+ 3 x2 ) |
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x) |
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x |
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1+ 3 x2 |
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7. ∫ |
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x2 |
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− 8 |
dx . Интегрируем с помощью замены переменной. |
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x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
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x2 − 8 |
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dx |
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= −∫ |
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1/t2 − 8dt |
= −∫ |
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1− 8t2 t2dt |
= −∫ |
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dx |
= |
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t = |
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, dt = − |
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1− 8t |
2 tdt = |
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x |
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x |
x |
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t |
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|||||||||||||||||||
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1 |
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1 |
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2 |
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1 |
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1 (x2 |
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− 8) |
3 |
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|||||||||||||||||||||||||
= |
|
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∫ 1− 8t2 d(1− 8t2 ) = |
|
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|
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|
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|
(1− 8t2 )3 + C = |
|
|
(1− 8/ x2 )3 + C = |
|
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|
+ C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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16 |
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24 |
24 |
|
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x |
3 |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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16 3 |
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|||||||||||||||||||||||
Проверка: |
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|
|
|
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|
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|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
3x3 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
− 8 2x − 3x2 |
|
(x2 − 8)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
(x2 |
|
− 8)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 − 8[x2 |
− (x2 |
− 8)] |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
+ C |
|
|
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|
|
= |
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
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|
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|
x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
|
|
x2 − 8 |
|
. Ответ: ∫ |
|
|
|
|
x2 − 8 |
dx = |
|
1 (x2 |
− 8)3 |
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. ∫sin3 xdx . Интегрируем после предварительных преобразований.
∫ |
sin3 |
|
xdx |
= ∫ |
|
sin2 |
x sin xdx |
= −∫ |
(1− cos2 |
x)d cos x |
|
= |
1 |
+ cos x + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
x |
|
|
|
|
|
cos |
2 |
x |
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− sin x |
|
|
|
|
|
|
|
sin x(1− cos2 |
x) |
|
sin x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Проверка: |
|
|
|
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|
+ cos x + C = − |
|
|
|
− sin x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
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|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ответ: ∫ |
|
sin3 xdx |
= |
|
|
|
1 |
|
+ cos x |
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
cos |
2 |
x |
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
9. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
. Интегрируем с помощью замены переменной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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5 |
− 3cos x |
|
|
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|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = tg |
x |
, |
dx = |
2dt |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∫ |
|
|
dx |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1+ t2 |
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
=∫ |
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
=∫ |
2dt |
= |
|||||||||||||||||||
5 − 3cos x |
|
|
cos x = |
|
1− t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3(1 |
− t |
2 |
) |
|
|
|
5 + 5t |
2 |
− 3(1 |
− t |
2 |
) |
8t |
2 |
+ 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 − |
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
+ t2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
∫ |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
= |
arctg 2t + C = |
arctg (2tg |
) + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
2 |
+1/ 4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
Проверка: |
|
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|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
= |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
= |
|
1 |
|
= |
|||||||
|
|
|
arctg (2tg |
|
) |
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
+ 4tg2 |
|
|
|
|
|
|
|
(x / 2) + 8sin2 |
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
(x / 2) 2cos2 |
(x / 2) |
|
2cos2 |
(x / 2) |
||||||||||||
= |
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2 + 6sin2 (x / 2) |
2 + 3(1− cos x) |
5 − 3cos x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Ответ: ∫ |
|
|
dx |
|
|
|
= |
1 |
arctg (2tg |
x |
) + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
− 3cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость. 10.
∞ |
arctg x |
|
a |
arctg x |
|
|
a |
|
arctg x |
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
∫ |
dx = lim |
∫ |
dx = lim |
∫arctg x d(arctg x) = lim |
|
|||||||
2 |
2 |
|
|
|||||||||
1 |
1+ x |
a→∞ |
1 |
1 |
+ x |
|
a→∞ |
1 |
|
a→∞ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
arctg x |
|
π . Интеграл сходится. |
|
||
Интеграл сходится. |
Ответ: ∫ |
dx = |
|
|||||||||
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1+ x |
8 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a
1
=1 (π − π ) = π .
2 2 4 8
|
2a |
|
|
|
2a |
|
2a |
2a |
|
|
|
|
2a = 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
11. |
|
|
|
|
|
dx = lim |
|
|
dx = 2 |
2a lim |
x |
2a lim( 2a − α ) = 4a . Интеграл |
|||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
α →0 |
|
|
|
|
|
α →0 |
|
α |
|
α →0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
α >0 |
α |
|
|
α >0 |
|
|
|
α >0 |
||||||||||||
схо- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: ∫ |
|
|
|
dx = 4a . Интеграл сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.
y = 3x2 + x − 4 = f |
1 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
12. |
|
|
|
|
|
|
. Найдём точки пересечения линий: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y = 7x + 5 = f2 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3x2 + x − 4 = 7x + 5 |
3x2 − 6x − 9 = 0 |
x = −1, x |
2 |
= 3. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S = ∫[ f2 (x) − f1 (x)]dx = ∫[7x + 5 − (3x2 + x − 4)]dx = |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
||||||||||||||
x1 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫[9 + 6x −3x |
2 |
]dx = [9x + |
3x |
2 |
− x |
3 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
] −1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
= 27 + 27 − 27 + 9 − |
3 −1 = 32 . Ответ: S = 32. |
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
4 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
2 cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
13. |
|
|
|
, y = 3, (y ≥ 3). Это часть эллипса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y = |
3 |
2 sint |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдём точки пересечения линий: 3 |
2 sint = 3 sint |
= |
1 t |
1 |
= 5π , t |
1 |
= π . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 |
6 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
π / 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
S = ∫(y(t) − 3)dx(t) = − ∫[3 |
2 |
sint − 3]2 |
2 sin tdt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
t1 |
5π / 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
π / 6 |
|
|
|
|
|
|
π / 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 6 |
|
|
π / 6 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= −6 2 ∫[ 2 sint −1]sin tdt = −12 ∫sin2 tdt − 6 2 cost |
= −6 |
∫(1− cos2t)dt − 6 6 |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5π / 6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5π / 6 |
|
|
|
|
|
|
5π / 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5π / 6 |
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
π / 6 |
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
3 |
]− 6 |
|
= 4π + 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= −6[t − |
sin 2t] |
− 6 6 = −6[− |
|
|
6 |
3(1− 2 2) . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
5π / 6 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответ: 4π + 3 3(1− 2 2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. Вычислите длину дуги кривой |
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
y = 2cos3 |
t |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
, 0 |
≤ t ≤ |
(астроида). |
|
|
|
|
|
|||||
(L): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x = 2sin3 |
t |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
L = ∫ [x′(t)]2 + [y′(t)]2 dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
(6sin |
2 |
t cost) |
2 |
+ (−6cos |
2 |
tsint) |
2 |
dt = |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 2 |
|
π / 2 |
π / 2 |
3 |
cos2t |
|
π / 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
= 6 ∫ |
sin2 t cos2 tdt = 6 ∫sin t costdt = 3 ∫sin 2tdt = − |
|
= 3. Ответ: L = 3. |
||||||
2 |
|||||||||
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(y − 3)2 |
+ 3x = 0, |
|
15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S) |
вокруг оси |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x = −3 |
|
OX.
Выразим y из уравнения линии: y = 3 ± − 3x . Обозначим y1 (x) = 3 + − 3x и y2 (x) = 3− − 3x . Тогда
|
x2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
6 |
|
|
V = π ∫(y1 |
− y2 )dx = π ∫[(3 + |
− 3x) |
|
− (3 − |
− 3x) |
|
]dx = |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
x1 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
= π ∫[9 + 6 |
− 3x − 3x − (9 − 6 |
− 3x − 3x)]dx = 12π ∫ |
|
− 3xdx = |
3 |
|
|
|||||
|
−3 |
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−3 |
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12π (−3x)3/ 2 |
0 |
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= |
= 108π . Ответ: V = 108π . |
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− 3 |
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−3 |
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0 |
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3 |
1.5 |
0 |
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16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги |
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y |
= e |
− x |
вокруг оси OX. |
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(L) |
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≤ x |
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≤ ∞ |
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0 |
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x2 |
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∞ |
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0 |
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P = 2π ∫ y 1+ y′2 dx = 2π ∫e−x 1+ e−2x dt = |
e−x = t, dt = −e−x dx |
= −2π ∫ 1+ t2 dt = |
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x1 |
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0 |
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tdt |
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2 |
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1 |
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1 |
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u |
= 1+ t , du = |
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, |
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1 |
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|||||||||||
= 2π ∫ |
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J = ∫ |
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dt = |
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1+ t2 |
= t |
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− |
||||||||||||||||||||
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1+ t2 dt = 2πJ . Найдём J: |
1+ t2 |
1+ t2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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0 |
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0 |
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dv |
= dt, v = t |
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0 |
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||||||||||||
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||||||||||
1 |
t |
2 |
dt |
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1 |
(t |
2 |
+1−1)dt |
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1 |
1 |
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|||||||
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||||||||||||||||||
− ∫ |
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= |
|
2 − ∫ |
|
= |
|
2 + ln(t + 1+ t2 ) |
|
− ∫ 1+ t2 dt = |
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2 + ln(1+ |
2) − J . |
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1+ t |
2 |
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1+ t |
2 |
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0 |
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0 |
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0 |
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0 |
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|||||||||||
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Отсюда находим J = 1[2 + ln(1+ 2)] . Следовательно, P = π[2 + ln(1+ 2)]. 2
Ответ: P = π[2 + ln(1+ 2)].
Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей математике.
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arcsin |
x |
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17. ∫ |
a |
dx. По справочнику находим: |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
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arcsin |
x |
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|||||
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|
1 |
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|
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|
|
x |
|
|
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1 |
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a + |
a |
2 |
− x |
2 |
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|
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|||||||||||||||||||||||||
∫ |
a |
dx = − |
|
arcsin |
|
− |
ln |
+ C . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
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|
|
|
a |
|
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|
|
|
|
|
|
|
x |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
x |
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|
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|
a |
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|||||||||||||||
другие математические формулы.) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
arcsin |
x |
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|||||||||||||
Ответ: ∫ |
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dx = − |
1 |
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|
arcsin |
x |
|
− |
1 |
ln |
a + |
|
|
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|
a |
2 |
− x |
2 |
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+ C . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
x |
|
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|
a |
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|
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||||||||||
|
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|
|
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|
∞ |
cosax |
|
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|
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∞ |
cosax |
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|
π e− |
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|||||||||||||||||||||
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18. ∫ |
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dx . По справочнику находим: ∫ |
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dx = |
|
a |
|
. |
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
|
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|
|
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|
0 |
1+ x |
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|
2 |
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||||||||||||||||||
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||
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|
∞ |
cosax |
|
dx = π e− |
|
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Ответ: ∫ |
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1+ x |
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19. При гармоническом колебательном движении по оси абсцисс около начала |
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координат скорость точки определяется вылражением |
dx |
= |
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2π |
cos( |
2πt |
+ ϕ |
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), где T – |
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dt |
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период, ϕ0 |
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- начальная фаза. Найдите положение точки в момент времени t2 , если в |
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момент времени t1 она находилась в точке x = x1 . |
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x(t) = |
∫ |
x′(t)dt = |
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∫ |
2π |
cos( |
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2πt |
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+ ϕ |
|
|
) dt = |
2π |
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T |
sin( |
2πt |
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+ ϕ |
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) + C . Воспользуемся |
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2π |
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начальным |
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условием: |
x(t |
) = sin( |
2πt1 |
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+ ϕ |
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) + C = x |
|
C = x |
− sin( |
2πt1 |
+ ϕ |
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). Следовательно, |
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0 |
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x(t) = x |
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+ sin( |
2πt |
+ ϕ |
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) − sin( |
2πt2 |
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|
+ ϕ |
|
|
) . Тогда |
x(t |
|
) = x |
|
+ sin( |
2πt2 |
+ ϕ |
|
) − sin( |
2πt2 |
+ ϕ |
|
) , |
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0 |
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T |
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T |
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или |
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x(t |
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) = x + 2cos( |
π (t2 + t1 ) |
+ ϕ |
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)sin( |
π (t2 |
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− t1 ) |
) . |
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Ответ: |
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x(t |
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) = x |
+ 2cos( |
π (t2 + t1 ) |
+ ϕ |
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)sin( |
π (t2 |
− t1 ) |
) . |
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T |
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20. Определите давление воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием |
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18 м и высотой 6 м. |
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Разобьём шлюз на горизонтальные полоски. На глубине h |
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давление на элементарную полоску составит величину |
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F=γh |
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S, |
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где γ – плотность воды, а S=18Δh. Дифференциал силы |
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Δh |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
давления будет равен dF = 18γhdh. Тогда |
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6 |
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66
F / 2 = ∫dF = 18γ ∫hdh = 9γ h |
2 |
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6 |
= 256γ = 324 (γ = 1). |
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h |
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||||||
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||||
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0 |
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|||
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0 |
0 |
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Ответ: F = 324 т.