m2var05
.pdfВариант № 5
В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить дифференцированием.
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∫ |
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sin xdx |
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подведение под |
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= −∫ |
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d cos x |
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1. |
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= |
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= − ln |
cos x + |
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cos2 x + 2 |
+ C . |
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Проверка: |
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cos2 x + 2 |
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знак дифференциала |
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cos2 x + 2 |
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′ |
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1 |
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2cos xsin x |
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2 |
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− ln |
cos x |
+ |
cos |
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x + |
2 |
+ C |
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= − |
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− sin x − |
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= . |
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cos x + |
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cos |
2 |
x + |
2 |
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2 |
cos |
2 |
x + 2 |
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||||||||||
= |
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1 |
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sin x( |
cos2 x + 2 + cos x) |
= |
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sin x |
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cos x + |
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cos2 x + 2 |
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cos2 x + 2 |
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cos2 x + 2 |
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Ответ: ∫ |
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sin xdx |
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= −ln |
cos x + |
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cos2 x + 2 |
+ C . |
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cos2 x + 2 |
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2. |
∫arctg |
1 |
dx . Интегрируем по частям: ∫u dv = uv − ∫v du . |
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x |
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1 |
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arctg |
1 |
= u, du = − |
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1 |
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dx |
|
= − |
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dx |
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1 |
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xdx |
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|
arctg |
dx = |
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+1/ x2 |
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+ x2 |
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= x arctg |
+ |
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|
= |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
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1 |
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x2 |
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1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
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x |
∫1+ x |
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
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dx = dv, |
|
v = x |
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=x arctg 1 + 1 ln(1+ x2 ) + C . Проверка: x 2
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1 |
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1 |
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2 |
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′ |
1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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2x |
1 |
||||||||
x arctg |
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+ |
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ln(1 |
+ x |
|
) |
+ C |
= arctg |
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+ x |
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− |
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+ |
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= arctg |
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||||||
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1+1/ x2 |
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x2 |
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+ x2 |
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x 2 |
x ′ |
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|
x |
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2 |
1 |
|
x |
|||||||||||||||
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|
2 |
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|
x |
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|
|
x |
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|
1 |
|
|
|
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|
|
x |
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|
|||||
+ (xln3 − 2) |
3 |
2 |
|
] = |
|
|
[ln3 3 |
2 |
+ (xln3 |
− 2) 3 |
2 |
|
ln3 |
] = x 3 |
2 |
. |
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||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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ln |
2 |
3 |
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|
2 |
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|||
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Ответ: ∫arctg 1dx = x arctg 1 + 1 ln(1+ x2 ) + C .
xx 2
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3. ∫ |
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x + 4 |
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dx = |
1 |
|
|
∫ |
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|
(4x − 3) +19 |
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dx = |
1 |
∫ |
d(2x2 − 3x + 5) |
|
dx + |
19 |
∫ |
|
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|
dx |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
2x2 − 3x + 5 |
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|
4 |
|
|
|
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|
2x2 − 3x + 5 |
4 |
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2x2 − 3x + 5 |
2 |
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|
2x2 − 3x + 5 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
19 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
+ |
19 |
|
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
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|
2x2 − 5x +1 |
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|
2x2 − 5x +1 |
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|
|
= |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2(x2 − |
3 |
|
x |
+ |
9 |
) + |
31 |
|
|
|
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|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
(x − |
3 |
) |
2 |
+ |
31 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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2 |
|
16 |
8 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
16 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
ln |
x − |
+ (x − |
3 |
)2 + |
31 |
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+ C = |
1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
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2x2 − 3x + 5 |
|
2x2 − 3x + 5 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
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|
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|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
4 |
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16 |
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2 |
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ln |
x − |
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2x2 − 3x + 5 |
+ C . |
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2 |
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4 |
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19 |
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3 |
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1 |
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′ |
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Проверка: |
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2x2 − |
3x + 5 + |
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ln |
x − |
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+ |
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2x2 |
− 3x + 5 |
+ C |
= |
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4 |
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2 |
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2 |
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1+ |
1 |
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4x − 3 |
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4x − 3 |
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4x − 3 |
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= |
1 |
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+ |
19 |
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2 2 |
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2x2 − 3x + 5 |
= |
1 |
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2 2 2x2 − 3x + 5 |
4 2 |
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2 2 2x2 − 3x + 5 |
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(x − |
) |
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x |
2 |
− 3x + 5 |
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4 2
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+ |
19 |
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2 2 2x2 − 3x + 5 + 4x − 3 |
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1 |
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= |
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4x − 3 |
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+ |
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19 |
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= |
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2 4x − 3 + 2 2 2x2 − 3x + 5 2 2 2x2 − 3x + 5 4 2x2 − 3x + 5 4 2x2 − 5x +1 |
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= |
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x + 4 |
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. |
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||||||
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2x2 |
− 3x + 5 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: ∫ |
|
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|
x + 4 |
|
|
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|
1 |
|
|
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|
19 |
|
|
|
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3 |
+ |
|
|
|
1 |
|
|
|
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ln |
x − |
|
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dx = |
|
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|
2x2 |
− 3x + 5 + |
|
|
|
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|
|
2x2 |
|
|
− 3x + 5 |
+ C . |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
2x2 − 3x + 5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
x |
3 |
+ |
3x |
2 |
|
+ 8x +12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную часть на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
|
|
+ 4x + 4)(x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
простые дроби. ∫ |
|
|
x3 + 3x2 + 8x +12 |
= |
∫ |
|
x3 + 3x2 − 4 + 8x + |
16 |
dx =∫[1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
]dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
+ 3x |
2 |
|
− 4 |
|
|
|
|
|
|
(x + 2)(x −1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
|
|
+ 4x + 4)(x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
+ |
|
|
|
|
|
B |
|
|
= |
|
A(x −1) + B(x + 2) |
|
A(x −1) + B(x + 2) = 8. |
|
|
Полагаем |
|
|
|
|
|
|
x = −2, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x + 2)(x −1) |
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 2)(x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
A = −8/3. |
|
|
|
|
|
|
Из |
|
|
|
|
|
равенства |
|
|
|
|
x = 1 |
|
|
|
|
|
|
следует |
|
|
|
|
B = 8/ 3. |
|
|
|
|
|
|
Таким |
|
|
|
|
образом, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
+ 3x |
2 |
+ 8x +12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
x |
|
|
|
|
dx = ∫[1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
]dx = x + |
|
∫[ |
|
|
|
|
|
− |
|
]dx =x + |
ln |
+ C |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 2)(x −1) |
|
x |
− |
1 |
x + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ 4x + 4)(x −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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Проверка: |
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′ |
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x −1 |
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1 |
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3(x + 2)(x −1) + |
8(x + 2 − x +1) |
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x2 |
+ x + 6 |
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x |
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ln |
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[ |
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− |
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= |
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= |
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= |
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x + 2 |
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−1 |
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x + 2 |
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3(x + 2)(x −1) |
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(x + 2)(x −1) |
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3 |
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3 |
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x |
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= |
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x2 |
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+ x + 6 |
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= |
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x2 + x |
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− |
2 + 8 |
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= |
1+ |
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8 |
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. |
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x2 |
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+ x − |
2 |
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x2 |
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+ x − 2 |
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(x |
+ 2)(x −1) |
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Ответ: ∫ |
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x |
3 |
+ |
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3x |
2 |
+ 8x +12 |
dx = x + |
8 |
ln |
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x |
−1 |
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+ C . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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(x |
2 |
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+ 4x + 4)(x −1) |
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3 |
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x + 2 |
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5. |
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∫ |
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dx |
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. Разлагаем подинтегральную дробь на простые дроби. |
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x |
3 |
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+ 8 |
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∫ |
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dx |
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= ∫ |
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dx |
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. |
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|||||||||||
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x |
3 |
+ 8 |
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(x + 2)(x |
2 |
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− 2x + 4) |
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1 |
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= |
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A |
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+ |
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Bx + C |
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= |
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A(x2 − 2x + 4) + (Bx + C)(x + 2) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x3 |
+ |
|
8 |
|
x |
+ 2 |
|
|
x |
2 − |
|
2x + |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 2)(x2 |
|
− 2x + 4) |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A(x2 |
− 2x + 4) + (Bx + C)(x + 2) = 1. |
Полагаем |
|
|
|
x = −2, |
|
получим |
|
|
|
A = 1/12 . Приравнивая |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
коэффициенты при |
|
|
x2 , получим A + B = 0 . Или B = −1/12 . Приравнивая коэффициенты при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим |
|
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|
|
− 2A + 2B + C = 0. |
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|
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|
Или |
|
|
|
|
|
|
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|
C = 1/3. |
|
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|
|
Таким |
|
|
|
|
образом, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
∫[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
]dx = |
|
|
|
|
[ln |
x + 2 |
− |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
+ ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
2 |
− 2x |
+ |
4 |
|
|
|
|
2 |
|
x |
2 |
|
− 2x + |
4 |
|
(x |
−1) |
2 |
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ 8 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
1 |
|
[ln |
|
x + 2 |
|
− |
1 |
ln(x2 |
− 2x + 4) + |
|
3 |
|
|
arctg |
|
x − |
1 |
+ C = |
1 |
|
ln |
|
(x + 2)2 |
|
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
arctg |
x −1 |
+ C |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 x2 − 2x + 4 4 3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Проверка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
24 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
− 2x + 4 |
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12(x + 2) |
|
24 x |
|
− 2x |
+ 4 |
|
4 3 |
|
1+ (x −1) |
/3 |
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
−1 |
|
|
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
x2 − 2x + 4 − (x + 2)(x −1) + 3(x + 2) |
= |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
12(x + 2) |
|
12 x2 |
|
− |
2x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 2)(x2 − 2x + 4) |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
+ 8 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
12 x2 − 2x + 4 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: ∫ |
|
|
|
|
dx |
= |
1 |
|
ln |
|
|
|
(x + 2)2 |
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
arctg |
x −1 |
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
+ 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 x |
|
|
|
|
− 2x + 4 4 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Интегрируем с помощью замены переменной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x (4 |
|
x3 |
− 4 x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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x = t |
4 |
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, dx = 4t |
3 |
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3 |
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−1 |
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4 |
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−1 |
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|||||||||||||||||||||||||
∫ |
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dx |
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|
= |
|
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|
= ∫ |
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4t dt |
|
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= 4∫ |
|
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dt |
= 4 |
1 |
ln |
|
t |
|
|
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+ C = 2ln |
|
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x |
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+ C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
t +1 |
4 |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
(4 x3 − 4 x) |
|
|
|
|
|
|
x = t |
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
(t |
|
|
− t) t |
|
|
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|
t |
|
−1 |
|
|
2 |
|
|
|
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|
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|
|
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|
x +1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
1 |
|
|
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|
1 |
|
|
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|
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|
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|
2 4 |
|
|
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|
|
|
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|
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|
||||||||||||
= 4(− |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
+ |
|
∫ |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
) = 4(− |
|
|
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|
|
t |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) + C = C − |
|
x |
|
|
− |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2(1 |
+ t) |
2 |
2 |
|
(1+ t) |
2 |
2(1+ t) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
+ |
4 |
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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(1 |
|
x) |
|
x) |
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2(1+ t) |
|
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(1 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Проверка: |
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|||||||||||
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|
|
′ |
|
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1 |
|
|
− |
3 |
|
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||||||||||
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|
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|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
x |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
x |
+1 |
|
x |
−3/ 4 |
( |
4 |
|
x |
+ |
1) / 4 − x |
−3/ 4 |
( |
4 |
|
|
x −1)/ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2ln |
|
|
|
|
+ C |
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
2 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
x |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
4 |
|
x |
+1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
4 |
|
|
3 |
( x −1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
=1
x(4 x3 − 4x)
1 |
|
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− |
3 |
|
|
|
|
|
− |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
− |
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x 4 |
|
(1+ 4 |
|
x) − x 4 |
4 x |
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
− |
|
x |
|
4 (1+ 4 x) + x 4 |
4 |
x + |
|
x 4 (1+ 4 x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
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|
= |
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
= |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
(1+ 4 x)3 |
|
|
|
+ 4 x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ 4 x)3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. Ответ: ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= 2ln |
4 |
x −1 |
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
x) |
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
x (4 x3 − 4 x) |
|
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|
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|
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|
|
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|
7. ∫ x xdx2 −1 . Интегрируем с помощью замены переменной.
|
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|
|
2 |
2 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
dx |
= ∫ |
|
|
xdx |
= |
t 2 |
= x2 |
−1, tdt |
= xdx, |
= ∫ |
|
|
|
|
tdt |
= |
1 |
arctg t + C = |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
2 |
+1) t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x x2 −1 |
x2 |
|
x2 −1 |
|
(t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
= t |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x2−1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
||||||||||||
= arctg x2 −1 + C . Проверка: (arctg x2 |
−1 + C) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x2 −1 x2 |
x2−1 x x2−1 |
Ответ: ∫ x xdx2 −1 = arctg x2 −1 + C .
8. ∫ctg4 x dx . Интегрируем с помощью замены переменной. 2
∫ctg4 |
x |
dx = |
ctg |
x |
= t, dx = − |
|
2dt |
|
|
= −2∫ |
|
|
t4 |
|
|
dt = −2∫(t2 |
−1+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
)dt = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
1+ t |
2 |
1 |
+ t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
= −2( |
t3 |
|
− t − arctg t + C = − |
2 |
|
ctg3 |
|
x |
+ 2ctg |
x |
|
+ x + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
′ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
Проверка: − |
|
ctg |
|
|
+ 2ctg |
|
|
|
+ x + C |
= |
|
|
|
|
3ctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
+1 = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
sin2 |
(x/ 2) |
|
2 |
|
|
|
sin2 (x / 2) 2 |
|
|
|||||||||||||||
= (ctg2 |
|
|
x |
−1) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+1 = |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
−1 = |
|
cos(x / 2) − sin2 (x / 2) + sin4 (x / 2) |
= |
cos4 (x / 2) |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
sin2 |
|
|
|
|
|
|
|
sin4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin4 (x / 2) |
|
|
|
sin4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x / 2) |
|
|
(x / 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x / 2) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= ctg4 |
x |
.Ответ: ∫ctg4 |
x |
dx = − |
2 |
ctg3 |
x |
+ 2ctg |
x |
+ x + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. Интегрируем с помощью универсальной подстановки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
+ 5cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = tg |
x |
, |
dx = |
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
1+ t2 |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=2∫ |
|
|
|
|
=∫ |
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||
|
3 + 5cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1− t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− t |
2 |
|
|
3 + 3t |
2 |
|
|
|
2 |
|
4 − t |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ t2 )(3+ 5 |
|
|
) |
|
|
+ 5 − |
5t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
1 |
|
|
|
2 + t |
|
|
+ C = |
1 |
|
2 + tg(x / 2) |
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
ln |
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 − t |
|
2 − tg(x / 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Проверка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
2 + tg(x |
/ 2) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
4 |
2 − tg(x |
/ 2) |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 + tg(x / 2 |
|
cos |
2 |
(x / 2) |
|
2 4 |
|
|
2 − tg(x / 2 |
|
cos |
2 |
(x / 2) |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
2 − tg(x / 2) + 2 + tg(x / 2) |
= |
1 |
|
|
1 |
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
|||
8 |
|
|
[4 − tg2 (x / 2)]cos2 (x / 2) |
|
|
2 4cos2 (x / 2) − sin2 |
(x / 2) |
2 |
|
|
3cos2 (x / 2) + cos x |
||||||||||||||
= |
1 |
|
1 |
= |
1 |
. Ответ: ∫ |
|
dx |
|
= |
1 |
|
2 |
+ tg(x / 2) |
|
+ C . |
|||||||||
|
|
ln |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
(3/ 2)(1+ cos x) + cos x |
|
3 + 5cos x |
|
|
|
|
|
− tg(x / 2) |
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
3 |
+ 5cos x |
4 |
2 |
|
|
|
Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость. 10.
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
b |
|
π |
|
π |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
1 |
|
||||||||
∫ |
|
|
|
= lim |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
= lim |
∫ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
+ |
||||||||||||||
x |
2 |
+ 4x + 9 |
|
x |
2 |
+ 4x |
+ 4 + 5 |
(x + 2) |
2 |
+ 5 |
|
lim |
arctg |
5 |
5 |
( |
) |
|||||||||||||||||||||
−∞ |
|
|
a→−∞ |
a |
|
|
a→−∞ |
a |
|
|
5 a→−∞ |
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b→∞ |
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(π + π ) = π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
dx |
= π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
. Интеграл сходится. |
Ответ: ∫ |
|
|
2 |
|
. Интеграл сходится. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 2 2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ x |
|
+ 4x + 9 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
π / 4 |
|
x 2 |
|
|
|
|
|
π / 4 |
|
dx |
2 |
|
= 1 limln tg x |
|
π / 4 |
= 1 (lntg π − limlntg ε ) = −∞ . |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
11. ∫ |
|
dx = 1 lim |
∫ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
sin x |
|
|
|
|
2 ε →0 |
ε |
sin x |
|
2 |
ε →0 |
|
2 |
|
ε |
|
|
2 |
|
8 |
ε →0 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 4 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Интеграл расходится. Ответ: ∫ |
|
|
|
2 dx . Интеграл расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями. |
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y = 4 − x2 = f |
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(x) |
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12. |
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1 |
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. Найдём точки пересечения |
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y = x2 − 2x = f |
2 |
(x) |
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4 |
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линий: 4 − x2 |
= x2 |
− 2x x2 |
− x − 2 = 0 x |
= −1, x |
2 |
= 2. |
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1 |
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Тогда |
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2 |
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x2 |
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2 |
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S = ∫[ f1 (x) − f2 (x)]dx = ∫[4 − x2 − (x2 − 2x)]dx = |
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x1 |
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−1 |
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2 |
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3 |
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2 |
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1 |
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0 |
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1 |
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2 |
= ∫[4 + 2x −2x2 ]dx = [4x + x2 − 2x |
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] = |
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−1 |
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3 |
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−1 |
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= 8 + 4 − 16 + 4 −1− |
`2 = 9 . Ответ: S = 9. |
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2 |
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3 |
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3 |
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90 |
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13. ρ = 4sin3ϕ |
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||||||
.. Это трёхлепестковая роза и окружность. |
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ρ = 2, (ρ ≥ |
2) |
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||||
Найдём точки пересечения линий: |
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180 |
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0 |
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0 |
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2 |
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4 |
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270 |
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4sin3ϕ = 2 sin3ϕ = |
1 |
3ϕ = kπ + (−1)k |
π ϕ = |
kπ |
|
+ (−1)k |
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π |
. Вычислим площадь для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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6 |
|
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3 |
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18 |
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||||||||||||
одного лепестка и утроим её: |
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|||||||||||||||||||||||
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|
1 |
ϕ 2 |
|
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|
5π /18 |
|
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||||||||||||
S = 3 |
|
∫[16sin2 3ϕ − 4]dϕ = 6 ∫[4cos2 3ϕ −1]dϕ = |
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|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
π /18 |
|
|
|
|
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|||||||||||||||
|
|
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|
1 |
|
|
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|
|
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|
5π /18 |
|
|
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|
|
|
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|
5π /18 |
|
|
|
|
|
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|
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|
1 |
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|
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5π /18 |
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|
|
2π |
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|||||||||||||||||||||||||
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3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
= 6 ∫[4cos2 3ϕ −1]dϕ = 6 |
|
∫[2(1− cos6ϕ) −1]dϕ = 6[ϕ − |
sin 6ϕ] |
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|
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|
= 6[ |
+ |
|
|
] = |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
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|
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|
3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
π /18 |
|
|
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|
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|
π /18 |
|
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|
|
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|
|
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|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
/18 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||
= |
4 |
π + 2 |
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. Ответ: S = |
4 |
π + 2 |
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||||||||||||||||
3 |
|
3 . |
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||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
3 |
|
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y2 |
= x3 |
. |
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14. Вычислите длину дуги кривой (L): |
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0 ≤ x ≤ 4/3 |
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|||||||||||||||||
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Линия имеет две одинаковые по длине ветви: y2 |
= x3 y = ± x3 |
Найдём |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
производную функции для положительной ветви: 2yy′ = 3x2 |
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y′ = |
3x2 |
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= |
3 |
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x . Вся длина |
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2y |
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2 |
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||||||||||
равна удвоенной длине положительной части: |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
4 / 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
4/ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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4/ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||
|
|
|
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|||||||||||||||||||||
L = 2∫ 1+ [y′]2 dx = 2 ∫ |
1+ [3 |
|
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/ 2]2 dt = ∫ |
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dx = |
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(4 + 9x)3/ 2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
4 + 9x |
|
|
= |
|
|
|
|
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x1 |
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0 |
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0 |
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9 |
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3 |
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0 |
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= |
2 |
(64 − 8) = |
112 |
. Ответ: L = |
112 |
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. |
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27 |
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27 |
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27 |
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y = 2(1− cost) |
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≤ t ≤ 2π |
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15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S) |
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, y = 0, 0 |
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x = |
2(t − sint) |
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(циклоида) вокруг оси OX. |
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t2 |
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2π |
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2π |
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V = π ∫ y2 (t)dx(t) = 4π ∫(1− cost)2d[2(t − sint)] = 8π ∫(1− cost)3dt = |
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t1 |
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0 |
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0 |
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2π |
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3 |
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5 |
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3 |
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1 |
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2π |
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= 8π ∫(1− 3cost + |
(1+ cos2t) − (1− sin2 t)cost)dt = 8π[ |
t − 4sint + |
sin 2t + |
sin3 t] |
|
= 40π 2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
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4 |
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3 |
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0 |
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Ответ: V = 40π 2 . |
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x2 + y2 |
= 9, |
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вокруг оси OX. |
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16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L) |
≤ x ≤ 3 |
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0 |
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y′ = − |
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x |
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|
Найдём производнуюфункции (для y>0): x2 |
+ y2 |
= 9 y = |
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9 − x2 |
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. |
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9 − x2 |
|||
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|
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|
x2 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||
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9 |
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|||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
2 |
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||
P = 2π ∫ y 1+ y′ dx = 2π ∫ 9 − x |
|
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|
= 2π ∫ 9 − x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1+ − |
|
9 − x |
2 |
|
|
|
dx |
9 |
− x |
2 dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
3
= 6π ∫dx = 18π . Ответ: P = 18π (это половина поверхности всего шара).
0
Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей математике.
17. ∫ |
|
|
dx |
∫ |
dx |
= |
1 |
|
π |
+ |
ax |
+ C . |
||
|
|
|
. По справочнику находим: |
|
|
tg |
|
|
|
|||||
|
|
|
1− sin ax |
|
|
|
||||||||
|
1 |
− sin ax |
|
|
a |
|
4 |
|
2 |
|
Ответ: ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
= |
1 |
|
|
π |
+ |
ax |
+ C . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
||||||||||||
1− sin ax |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
математические формулы.) |
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||
|
∞ |
−ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
−ax |
|
|
|
|
|||
18. ∫ |
e |
|
sin x |
dx. По справочнику находим: ∫ |
e |
|
sin x |
dx = arcctg a = arctg |
1 |
, a > 0. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
a |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
∞ |
e |
−ax |
sin x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: ∫ |
|
|
dx = arcctg a = arctg |
, a > 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
19. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на a см, если сила в F растягивает её на b см.
Для растяжения пружины на длину x требуется сила F x. Тогда на участке (x, x+dx)
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
a |
F |
|
F |
|
x |
2 |
|
a |
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a |
2 |
F |
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буде совершена работа dA = |
x dx . Следовательно, |
A = ∫ |
x dx = |
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= |
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. |
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b |
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b |
0 |
b |
2 |
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0 |
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2b |
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Ответ: A = |
a2 F |
кГм. |
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2b |
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20. Вычислите работу, необходимую для |
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R |
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выкачивания воды из котла, имеющего форму |
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y |
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полусферы с радиусом R=2 м. |
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x |
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Уравнение центрального сечения сферы |
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x2 + y2 = 4. Объём элементарного слоя воды на |
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R |
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глубине y будет равен dV = πx2dy = π (4 − y2 )dy . |
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Если плотность воды равна 1000 кг/м3, то вес элементарного слоя воды будет
dP = 1000π (4 − y2 )dy . Работа, необходимая для поднятия этого слоя на высоту y, равна dA = 1000π (4 − y2 )ydy . Следовательно,
R |
2 |
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y |
4 |
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2 |
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A = ∫1000π (4 − y2 )ydy = 1000π ∫(4 − y2 )ydy = = 1000π[2y2 |
− |
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] |
= 4000π . Ответ: |
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0 |
0 |
4 |
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0 |
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A = 4000π кГм.