m1var16
.pdfВариант № 16
1. Найти область определения функции : y = sin x + 16 − x2 .
Область определения данной функции определяется двумя неравенствами:
16 − x2 ≥ 0 |
и |
sin x ≥ 0 . |
Из |
второго |
неравенства |
следует, |
что |
должно |
выполняться |
||||||||||||
неравенство 2kπ ≤ x ≤ (2k +1)π , где |
k |
– любое |
целое |
число. Из |
первого |
неравенства |
|||||||||||||||
находим, что |
16 − x2 |
≥ 0, если − 4 ≤ x ≤ 4 . При k = −1 получим x [−4, − π ]. При k = 0 |
|||||||||||||||||||
получим x [0, π ]. При других значениях k |
неравенства не имеют общих рещений. |
|
|||||||||||||||||||
Ответ: x [−4, − π ] [0,π ]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. Построить график функции: y = x +1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Данная функция определена на всей числовой оси, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
кроме точек |
x = 1 |
и |
x = −1. Преобразуем функцию: |
|
|
|
8 |
|
|
|
|||||||||||
y = x +1 |
если |
x ≥ 0 |
|
и |
y = |
− x +1 |
|
если |
x < 0. Или |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
− x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x −1+ 2 = 1+ |
2 |
|
. Функция чётная, прямая |
y = 1 |
|
4 |
2 |
0 |
2 |
|
4 |
||||||||||
x −1 |
|
x − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
является |
горизонтальной |
асимптотой. |
Достаточно |
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
построить |
график |
(по |
точкам) |
для |
x ≥ 0, |
затем |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
отобразить полученную часть графика зеркально |
|
|
|
8 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
относительно оси ОУ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: График представлен на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. Построить график функции: y = arctg(4x −1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Область определения функции – вся числовая ось: x (−∞, ∞) . Преобразуем функцию: |
|||||||||||||||||||||
y = arctg(4x −1) = arctg[4(x −1/ 4)]. Строим сначала |
arctg x . Затем «сжимаем» график в |
||||||||||||||||||||
четыре раза |
по |
оси |
|
ОХ |
и |
сдвигаем |
его |
по оси |
ОХ |
на |
четверть |
единицы |
вправо. |
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
1.5 |
|
0 |
|
|
1.5 |
3 |
|
3 |
|
1.5 |
0 |
1.5 |
3 |
2 |
|
1 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Получим график данной функции. Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.
|
|
|
x = cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Построить график функции: y = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
y = π sint |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исключим параметр t: y = π sint = ±π |
1− cos2 |
t . Или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y = ±π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x2 . Преобразуя, получим уравнение эллипса с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
центром |
в начале координат, с |
малой полуосью |
1 и с |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
большой полуосью π : x2 + y2 /π 2 |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: График представлен на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. Построить график функции: ρ = 1− cosϕ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку ρ ≥ 0, то функция существует для тех
значений φ, для которых cosϕ ≤ 1. Это наблюдается при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
всех значениях φ. Функция возрастает от 0 до 2 (при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ϕ = π ), |
затем убывает |
от |
|
2 до |
0. |
Вертикальная |
ось |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
пересекается графиком |
в |
точках |
|
(π/2, 1) |
и (3π/2, |
1). |
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Можно |
|
перейти |
к декартовым |
|
координатам. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим |
уравнение |
|
x2 |
+ y2 = |
|
x2 |
+ y2 ) − x . |
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
график представлен на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
270 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. Вычислить предел: lim |
(n + 6)3 − (n |
+1)3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
+ (n + 4)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ (2n + 3)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Возведём все скобки в степени и приведём подобные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
(n |
+ |
6)3 − (n +1)3 |
= |
∞ |
|
= lim |
n3 +18n2 |
+108n + 216 − n3 |
− 3n2 − 3n −1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
+ 3)2 + (n + |
|
|
|
4n2 +12n + 9 + n2 + |
8n +16 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ (2n |
4)2 |
|
∞ |
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15n2 +105n + 215 |
|
|
|
|
|
|
|
3 + 21n |
−1 + 43n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 6)3 |
− (n +1)3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
3. Ответ: lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 + |
5n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (n + |
4)2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ 5n2 + 20n + 25 |
|
|
n→∞ 1+ 4n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ (2n + 3)2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. Вычислить предел: lim |
x3 |
|
− x2 − x +1 |
(неопределённость вида (0/0)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x3 − 3x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители: lim |
x3 − x2 |
− x +1 |
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 − 3x + |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
= lim |
|
|
|
(x |
−1)2 (x +1) |
|
|
= lim |
|
x + |
1 |
|
= |
2 |
. Ответ: lim |
|
x3 − x2 − x +1 |
= |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 − 3x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→1 (x |
−1)2 (x + 2) x→1 x + |
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x − 6 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
8. Вычислить предел: lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(неопределённость вида (0/0)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предел, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
используя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
замену |
|
|
|
|
|
|
|
переменной: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 6 = t3 , если |
|
|
x → −2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
3 x − 6 + 2 |
= |
|
|
|
= lim |
|
t + 2 |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t + 2 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
t → −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2)(t2 − 2t + 4) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→−2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→−2 t3 + 8 |
t→−2 (t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= lim |
|
1 |
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x − |
6 + 2 |
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Ответ: lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t→−2 t2 |
− 2t + 4 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
9. Вычислить предел: lim |
cos3x −1 |
(неопределённость вида (0/0)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
xtg 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Воспользуемся |
формулой |
|
|
1− cos x = 2sin2 |
x |
|
и |
первым |
|
|
|
замечательным |
|
пределом: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos3x |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin2 (3x / 2)cos2x |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= 1: |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= −lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
lim |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
x→0 |
xtg 2x |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
xsin 2x |
|
|
|
4 x→0 |
|
3x / 2 |
|
|
3x / 2 sin 2x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
sin(3x / 2) |
2 |
|
|
sin 2x |
|
−1 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos3x −1 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
= − |
|
|
Ответ: |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
x→0 |
3x / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
xtg 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n2 |
|
+ 7n −1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10. Вычислить предел: lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(неопределённость вида (1∞)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
+ 3n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведём |
|
предел |
|
|
|
ко |
|
второму |
|
|
замечательному |
|
пределу: |
|
|
|
+ |
1 z |
= e: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→∞ |
|
|
z |
|
|
||
|
2n |
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
2n |
2 |
+ 3n −1 |
+ |
4n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
4n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
+ 7n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
+ 3n |
|
|
= lim |
|
|
2n |
2 |
+ 3n −1 |
|
|
= lim 1+ |
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n→∞ 2n |
|
−1 |
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
+ 3n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n2+3n−1 |
|
4n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n2 |
+3n−1 n→∞ 2n2+3n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4n |
|
|
4n |
|
|
|
2n2 +3n−1 |
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
4n |
|
|
|
|
4n |
|
= e |
2 |
, |
так |
как |
||||||||||
= lim 1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
2n |
2 |
+ 3n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
2 |
+ 3n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
4n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n2 |
+ 7n −1 n |
= e2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
= 2 . Ответ: lim |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n→∞ 2n |
+ 3n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
+ 3n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
11. Вычислить предел: lim |
|
|
|
eπ |
− ex |
|
|
|
(неопределённость вида (0/0)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− sin3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π sin 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Сделаем замену переменной, |
|
затем |
воспользуемся |
эквивалентными |
величинами: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x − π = t, x = t + π , если x → π , то t → 0. Тогда lim |
eπ |
− ex |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π sin5x − sin3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
eπ − et+π |
|
|
|
|
|
= lim |
|
eπ (et −1) |
= et |
−1 ~ t, |
|
|
|
|
eπ t |
|
= |
e |
π |
|
||||||||||||||||||
sin(5t + |
5π ) − sin(3t + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin at ~ at = lim |
− 3t |
|
| |
|
|||||||||||||||||||||||||||
t→0 |
|
3π ) t→0 |
sin5t − sin3t |
|
|
|
|
|
|
|
|
t→0 5t |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: lim |
|
eπ |
− ex |
= |
eπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x→π sin 5x − sin3x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: y = 2x(x−1) . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Область определения: x (−∞, 0) (0,1) (1, ∞). В области определения функция |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
граничных |
|
|
|
|
|
|
|
|
точках |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
области |
|
|
|
|
определения: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 2x(x−1) = 2∞ = ∞, |
lim 2x(x−1) |
= 2−∞ |
= 0, lim 2x(x−1) |
= 2−∞ = 0, lim 2x(x−1) |
= 2∞ = ∞ . Таким |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→0−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
образом, в точках x=0 и x=1 функция имеет разрывы второго рода. Для построения эскиза |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
графика |
|
функции |
рассмотрим |
поведение |
функции |
|
в |
|
бесконечности: |
lim 2x(x−1) |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−∞ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim 2x(x−1) |
= 20 |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ответ: В точках x=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
и x=1 функция имеет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
разрывы |
|
второго |
рода, |
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.75 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
остальных |
|
точках |
она |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
непрерывна. |
|
|
|
Эскиз |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
графика |
|
представлен |
на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.25 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
рисунках. |
|
|
На |
|
втором |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
рисунке |
|
|
|
|
|
показано |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0.5 |
|
|
0 |
|
0.5 |
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
поведение |
|
функции |
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
интервале (0, 1) в более крупном масштабе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
13. |
|
Исследовать |
|
функцию |
|
на |
|
|
непрерывность |
|
и |
построить |
эскиз |
|
|
графика: |
|||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
+1, |
|
x ≤ 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y = |
|
|
|
|
|
|
> 1. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1, |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Область определения функции: x (−∞,∞) . Ось ОХ разбивается на два интервала, |
||||||||
на каждом из которых функция f(x) совпадает с одной из указанных непрерывных |
||||||||
функций. Поэтому точкой разрыва может быть только |
|
|
|
|
||||
точка, |
разделяющая |
интервалы. |
Вычислим |
|
2 |
|
|
|
односторонние пределы: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
lim f (x) = lim (x2 +1) = 2, |
lim |
f (x) = lim (x −1) = 0, |
|
1.5 |
|
|
||
x→1−0 |
x→1−0 |
x→1+0 |
x→1+0 |
|
|
|
|
|
. Таким образом, в точке x=1 функция терпит разрыв |
|
1 |
|
|
||||
первого |
рода. Величина скачка |
функции в |
точке x=1 |
|
|
|
|
|
равна -2. |
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: В точке x=1 функция имеет разрыв первого рода, |
|
|
|
|
||||
в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика |
1 |
0 |
1 |
2 |
||||
|
|
|
|
|||||
представлен на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
14. Исходя из определения производной, найти f ′(0): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
f (x) = x2 cos2 (11/ x), x ≠ 0, |
f (0) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
По определению |
f ′(x0) =lim |
|
f (x0 + x) − f (x0 ) |
. Заменим x на x-x0: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ′(x |
|
) |
= lim |
f (x) − f (x0 ) |
|
. Но x |
|
= 0, f (x |
|
) = 0, |
поэтому f ′(0) = lim |
f (x) |
. В данном |
||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
x→x0 |
x |
|
− x0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
случае |
f ′(0) = lim |
x2 cos2 (11/ x) |
= lim[x cos2 (11/ x)] = 0, так как |
|
cos(11/ x) |
|
≤ 1 всегда. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: f ′(0) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
15. Найти производную показательно-степенной функции: y = xsin x3 |
. Прологарифмируем |
|||||||||||||||||||||||||||||
функцию: ln y = sin x3 ln x . Берём |
производную, |
как производную неявной функции: |
||||||||||||||||||||||||||||
|
y′ |
= 3x2 cos x3 ln x + |
sin x3 |
|
. Подставляем сюда y: y′ = (3x2 cos x3 ln x + |
sin x3 |
) xsin x3 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
Ответ: |
y′ = (3x2 cos x3 ln x + |
sin x3 |
) xsin x3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить y′′ : |
||||
|
|
|
|
xx |
x = tsin t + cost |
t = |
π |
|
|
|
. |
|
|
|
y = sint − t cost |
|
3 |
|
|
Уравнения |
касательной |
и нормали к кривой |
y = f (x) имеют вид |
|
y = y0 + y′x (x0 ) (x − x0 ) и y = y0 |
− (1/ y′x (x0 )) (x − x0 ) , где x0 и |
y0 - координаты точки |
касания. Вычислим сначала эти координаты:
x |
= x(π /3) = 1 + |
π |
, y |
0 |
= y |
(π /3) = |
3 − π . |
|
Найдём |
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
2 |
2 |
3 |
|
|
|
|
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|||||
производные y′ |
и y′′ : |
y′ = |
yt′ |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
xx |
|
x |
|
x′ |
|
|
|
|
|
|
|
2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= cost − cost + tsin t |
= tg t .Тогда |
y′ |
(π /3) = |
3 . |
Далее, |
5 |
2.5 |
0 |
2.5 |
5 |
||||||||
|
sint + t cost − sin t |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y ′ = (y′x )′t |
= − |
(tg t)′ |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
2.5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
xt′ |
(tsint + cost)′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
1 |
, |
следовательно, |
|
|
|
|
|
||
|
cos2 t (sint + t cost − sin t)) |
|
t cos3 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
y ′(π /3) = |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
касательной y = |
|
3 |
|
− π + |
|
(x − |
1 |
− |
π |
|
|
|
|||||||||
. Таким |
образом, |
уравнение |
3 |
|
|
) , |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 6 |
|
|
2 |
|
2 |
3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
урав- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− π − |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
нение нормали y = |
3 |
1 |
|
(x − |
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
). Или 3 3x − 3y − 2π = 0 и x + |
3y − 2 = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
6 |
3 |
|
2 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(x |
|
, y |
|
) = |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
− |
|
, y′ |
(x |
|
) = 3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
6 |
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x − 3y − 2π = 0 |
касательная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
yx′(x0 ) |
= |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
+ |
|
|
|
3y − 2 = 0 |
нормаль |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
Функция y(x), заданная неявно уравнением x2 + xsin y − ey = 3, принимает в точке |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
0 |
|
= 2 значение y |
0 |
|
= 0. Найти |
y′ , y |
′′ |
, y′ |
(x |
0 |
), y′′ |
(x |
0 |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
xx |
x |
|
|
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Дифференцируем |
|
|
уравнение |
|
по |
x, |
|
предполагая, |
|
что |
|
y= |
y(x): |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x + sin y + xy′cos y − ey y′ = 0 . Из этого равенства находим: y′ = − |
|
2x + sin y |
|
. Находим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
xcos y − ey |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вторую производную: |
y ′ = − |
(2 + y′cos y)(xcos y − ey ) − (cos y − xy′sin y − ey y′)(2x + sin y) |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xcos y − ey )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим производные в точке: x |
|
|
= 2 |
|
y′(2) = −4, |
y′′(2) = 22 . Ответ: y′ = − |
|
2x + sin y |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xcos y − ey |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y ′ = − |
(2 + y′cos y)(xcos y − ey ) − (cos y − xy′sin y − ey y′)(2x + sin y) |
, |
y′(2) = −4, |
|
y′′(2) = 22 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(xcos y − ey )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью
дифференциала: |
y = x |
7 , x = 2,002 . |
По определению |
дифференциала y(x0 + x) = y(x0 ) + dy(x0 ) + o( x) или, в других |
|
обозначениях, |
y(x) = y(x0 ) + dy(x0 ) + o((x − x0 )), x = dx = x − x0 . Отсюда получаем |
формулу для приближённых вычислений: |
y(x) ≈ y(x0 ) + y′(x0 )(x − x0 ). В данном случае |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
0 |
= 2, |
y(x |
0 |
) = y(2) = 128, |
y′ = 7x6 , y′(x |
0 |
) |
= y′(2) |
= 448, |
x = 0,002 . |
|
|
|
|
Тогда |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y(2,002) ≈ 128 + 448 0,002 = 128,896. Ответ: y ≈ 128,896 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: |
lim |
(2x +1)ln−1(1−e−2x−1) . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−1/ 2+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Это неопределённость вида (00). Преобразуем предел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(2x +1)ln−1(1−e−2x−1) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
[ln−1(1−e−2x−1) ln(2 x+1)] |
|
|
||||||||||||
|
|
lim |
lim |
|
eln−1(1−e−2x−1) ln(2 x+1) = ex→−1/ 2+0 |
|
|
|
|
|
. |
|
Найдём |
||||||||||||||||||||
x→−1/ 2+0 |
|
|
|
|
|
|
x→−1/ 2+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(2 x |
+1) |
= |
|
∞ |
= |
|
|
|
|
|
(ln(2 x +1))′ |
= |
|
|||||||
предел в показателе степени: |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−1/2+0 ln(1 |
− e |
−2x−1) |
|
|
∞ |
x→−1/2+0 (ln(1− e−2x−1))′ |
|
|
|||||||||||||||
= |
|
lim |
2(1− e−2x−1 ) |
= |
lim |
|
|
|
2e−2x−1 |
|
|
|
|
= |
lim |
|
1 |
|
|
= 1. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x→−1/ 2+0 2(2 x +1)e−2x−1 |
x→−1/ 2+0 2e−2x−1 + 2(2x +1)e |
−2x−1 |
x→−1/ 2+0 2(x + |
1) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
lim |
(2x +1)ln−1(1−e−2x−1) |
= e1 = e . Ответ: |
|
|
lim (2x +1)ln−1(1−e−2x−1) |
= e . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x→−1/ 2+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−1/ 2+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: lim( |
1 |
|
− |
π |
|
). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π |
sin x |
π − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
π |
|
|
π |
− x − π sin x |
|
|
|
0 |
|||||||||
|
Это неопределённость вида (∞−∞): lim( |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
) = lim |
|
|
= |
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π sin x |
|
− x |
x→π |
(π − x)sin x |
|
|
|
0 |
||||||||||||||||
= lim |
−1− π cos x |
= ∞ . Ответ: lim( |
|
1 |
|
− |
|
π |
|
|
) = ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
− sin x + (π − x)cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
x→π |
|
sin x |
|
π − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
21. Многочлен |
по |
|
|
степеням |
x |
представить в |
виде |
многочлена |
по степеням |
(x − x0 ) : |
||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) = x4 − 3x3 , x |
0 |
|
= 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем |
|
формулу |
Тейлора |
|
|
для |
|
|
многочлена |
|
|
четвёртой |
|
|
|
степени: |
|||||||||||||||||||||||
f (x) = f (x |
|
) + f ′(x |
|
|
)(x − x |
|
) + |
|
f ′(x0 ) |
(x − x |
|
|
)2 + |
|
f |
|
′(x0 ) |
(x − x |
|
)3 |
+ |
|
f (4) (x0 ) |
(x − x |
|
)4 . |
||||||||||||||
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдём |
все |
|
производные: |
|
f ′(x) = 4x3 − 9x2 , f ′(x) = 12x2 |
−18x, f ′(x) = 24x −18 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (4) (x) = 24 . Тогда |
|
f (2) = −8, |
|
f ′(2) = −4, f ′(2) = 12, |
f ′(2) = 30, |
f (4) (2) = 24 . Подставив |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
это в формулу, получим: f (x) = −8 − 4(x − 2) + 6(x − 2)2 + 5(x − 2)3 + (x − 2)4 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: f (x) = −8 − 4(x − 2) + 6(x − 2)2 + 5(x − 2)3 |
+ (x − 2)4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию f (x) в окрестности точки x0 с
точностью до o((x − x |
0 |
)3 ) : |
f (x) = sin ln x, x |
0 |
= eπ / 6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Применяем формулу Тейлора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f (x) = f (x |
|
) + f ′(x |
|
)(x − x |
|
) + |
f ′′(x0 ) |
(x − x |
|
)2 |
+ |
f ′′′(x0 ) |
(x − x |
|
)3 |
+ o((x − x |
|
)3 ) . |
|
|
|
||||||
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вычисляем последовательно: f (eπ / 6 ) = 1/ 2, |
|
f ′(x) = x−1 cosln x, |
f ′(eπ / 6 ) = e−π / 6 |
|
|
/ 2, |
|||||||||||||||||||||
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||
f ′(x) = −x−2 cosln x − x−2 sin ln x = −x−2 (sin ln x + cosln x), |
f ′(eπ / 6 ) = −e−π / 3 ( |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3 +1) / 2, |
|||||||||||||||||||||||||||
f ′(x) = 2x−3 (sin ln x + cosln x) + x−3 (sin ln x − cosln x), f |
′(eπ / 6 ) = e−π / 2 (3 + |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3) / 2. |
|
||||||||||||||||||||||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−π / 6 |
|
|
(x − eπ / 6 ) − |
e−π / 3 ( |
|
+1) |
(x − eπ / 6 )2+ |
e−π / 2 (3+ |
|
|
|
f (x) = |
1 |
+ |
3 |
|
3 |
3) |
(x − eπ / 6 )3+ o((x − eeπ / 6 )3 ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
2 |
4 |
12 |
|
|
|
23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора:
f (x) = ln(x + 3) − sin(x + 2) + x2 / 2 + 2x, x |
0 |
= −2 . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдём значения функции и её первых трёх производных в заданной точке: |
|
||||||||||||||
f (−2) = −2, f ′(x) = |
|
|
1 |
|
− cos(x + 2) + x + 2, |
f ′(−2) = 0, |
f ′(x) = − |
1 |
|
+ sin(x + 2) +1, |
|||||
x |
+ 3 |
(x + |
3)2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f ′(−2) = 0, f ′(x) = |
|
|
2 |
+ cos(x + 2), |
|
f |
′(−2) = 3. |
По |
формуле |
Тейлора |
|||||
|
|
||||||||||||||
(x + 3)3 |
|
||||||||||||||
f (x) = −2 + (x + 2)3 / 2 |
+ o((x + 2)3 ). Ответ: В окрестности точки |
(-2, |
-2) функция ведёт |
себя как степенная функция третьей степени. Точка (-2, -2) является точкой перегиба: слева - интервал выпуклости, справа - интервал вогнутости.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− cos( |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
|
|
|
|
|
|
2x) / x |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
По формуле Тейлора |
|
1 |
|
|
= 1− x2 + x4 + o(x3 ) . Далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos( 2x) = 1− x |
2 |
+ |
|
+ o(x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
= |
|||||||||||
|
|
|
|
). Подставим это в предел: lim |
|
|
|
|
|
− cos( 2x) / x |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
x4 |
|
o(x3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= lim |
|
|
|
(1− x2 |
+ x4 |
−1+ x2 |
− |
|
|
+ o(x3 )) = lim( |
|
|
− |
|
|
|
|
) |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 |
6 |
|
|
3 |
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x→0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− cos( |
|
/ x |
3 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: lim |
|
+ x2 |
2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
25. Найти асимптоты и построить эскиз графика |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
функции: y = ln x − 5 + 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Область |
|
определения |
|
|
функции: |
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||
x − 5 > 0 x > 5, x < 0 x (−∞, 0) (5, ∞). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Функция непрерывна в каждой точке области |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
определения. Найдём односторонние пределы в |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
граничных |
|
|
точках |
области |
|
определения: |
10 |
|
5 |
0 |
5 |
10 |
15 |
||||||||
|
x − 5 |
|
= ∞, |
|
|
x |
− 5 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim ln |
|
|
+ 2 |
lim ln |
|
|
2 = ∞ . |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
x→−0−0 |
x |
|
|
|
x→5+0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
следует, |
что |
прямые |
|
x = 0 |
и |
x = 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
являются |
|
вертикальными |
|
асимптотами. |
Исследуем |
функцию |
при |
|
x → ±∞ : |
||||||||||||
|
x − |
5 |
|
|
|
x − 5 |
|
|
|
|
, |
так |
как |
x − 5 |
= ln1 |
= 0 |
. Следовательно, |
||||
lim ln |
|
|
+ 2 = lim ln |
|
+ 2 = 2 |
limln |
|
||||||||||||||
x→−∞ |
x |
|
|
|
x→∞ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
x |
|
|
|
|
|
прямая |
y = 1 |
является горизонтальной асимптотой. Очевидно, что других асимптот нет. |
|||||||||||||||||||
Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: |
|
|
1
y = −xe2x2 .
1. Область определения: x (−∞, 0) (0, ∞). 2. Функция нечётна, периодичность отсутствует. 3. Функция имеет разрыв в точке x = 0. Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
t |
2 |
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
|
|
1/ x = t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
te |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
lim − xe2x2 |
|
= − lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= − lim |
|
|
|
|
= − lim |
|
|
|
= ∞ . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→0−0 |
|
|
|
|
|
|
x→0−0 1/ x |
|
|
x → 0 − 0 t → −∞ |
|
t→−∞ |
|
t |
|
|
|
|
t→−∞ 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Аналогично, |
|
|
lim − xe2x2 |
|
|
= −∞ . Таким образом, прямая x = 0 является вертикальной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
асимптотой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
= ∞, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4. lim − xe2x2 |
|
lim |
|
− xe2x |
2 = −∞ . Ищем наклонные асимптоты в виде y = kx + b : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||
k = lim |
= lim − xe |
2x |
2 |
/ x |
= − lim e2x2 |
= −1, |
b = lim[ f (x) − kx] = − lim[x(e2x2 −1)] = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→±∞ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
e2x2 −1 ≈ |
|
при |
|
|
→ 0 |
= − lim[x |
|
] = 0. Следовательно, прямая |
y = −x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x2 |
2x2 |
|
2x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
является наклонной асимптотой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
− x2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. Первая производная y′ = [−xe2x2 ]′ = −e2x2 |
+ x−2 e |
2x2 |
= |
|
e2x2 . Производная |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обращается в нуль в точках x = −1 и x = 1. При x < −1 производная |
отрицательна, при |
−1 < x < 0 производная положительна. Следовательно, точка x = −1 |
является точкой |
минимума, причём f (−1) = e . При 0 < x < 1 производная положительна, при x > 1
производная отрицательна. Следовательно, точка x = 1 является точкой максимума, |
|||||||||||||
причём |
f (1) = − |
e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. Вторая производная: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
− x2 |
|
12 |
′ |
− 2x3 − 2x(1− x2 ) |
1 |
2 |
− |
|
|
6 |
|
|
y ′ = |
x2 |
e2x |
= |
x4 |
e2x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
− 1− x2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e2x2 |
x−3 |
= − |
1+ x2 e2x2 . Вторая |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x2 |
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
6 |
3 |
0 |
3 |
6 |
производная в нуль не обращается. В точке x = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||
вторая производная не существует. Имеем два |
|
|
3 |
|
|
||||||||
интервала: интервал |
(−∞, 0) и интервал (0, ∞). |
|
|
|
|
|
|||||||
Производная y′′ > 0 при x (−∞, 0) и y′′ < 0 при |
|
|
6 |
|
|
||||||||
x (0, ∞) . Следовательно, в интервале (−∞, 0) |
|
|
|
|
|
||||||||
график функции вогнутый, а в интервале (0, ∞) - выпуклый. Точек перегиба нет. 7. |
|
||||||||||||
График функции не пересекает осей координат. Ответ: График функции представлен на |
|||||||||||||
рисунке, минимум функции - в точке (−1, |
|
e) , максимум функции – в точке (1, − |
|
e) . |