m1var14
.pdfВариант № 14
1. Найти область определения функции : y = lg |
|
x − 3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x2 − 5x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Область определения данной функции определяется неравенством |
|
|
|
|
|
|
x − 3 |
> 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
− 5x + 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найдём |
корни |
знаменателя: |
x = 1, x |
2 |
|
|
= 4 . Так как |
ветви параболы |
|
|
|
|
y = x2 − 5x + 4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направлены вверх, то x2 |
− 5x + 6 < 0 |
|
при 1 < x < 4 . Дробь будет положительной, если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
одновременно |
x − 3 < 0 , т.е. |
x < 3 . Отсюда находим первый интервал: x (1,3) . Далее, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 − 5x + 6 > 0 |
при |
x < 1 |
или |
x > 4 . Дробь будет положительной, если одновременно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x − 3 > 0 , |
т.е. |
x > 3. Отсюда находим |
второй интервал: |
x (4,∞). Точки, в которых |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
знаменатель обращается в нуль, исключаем. Ответ: x (1,3) (4,∞). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. Построить график функции: y = lg |
|
x |
|
− 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Функция |
определена |
в |
интервале |
на |
множестве |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x (−∞, − 4) (4, ∞) . Функция обращается в нуль в точках |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
(-5, 0) |
|
|
и (5, 0). |
Преобразуем |
функцию |
при |
x>4: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y = lg |
x |
− 4 |
= |
|
lg(x − 4). Сначала строим график функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = lg x, затем сдвигаем его по оси ОХ на 4 единицы, затем |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
12 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
отображаем полученную ветвь графика в левую |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
полуплоскость |
симметрично |
по отношению к оси ОУ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Ответ: График представлен на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. Построить график функции: y = (3 − 0,5x)3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Функция |
определена |
на |
всей |
|
|
|
числовой |
оси. |
Преобразуем |
|
функцию: |
y = (3 − 0,5x)3 = −(0,5(x − 6))3 . Строим сначала x3 . Затем «растягиваем» график в два раза по оси ОХ и сдвигаем его по оси ОХ на 6 единиц вправо.
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
0 |
3 |
6 |
9 |
12 |
0 |
3 |
6 |
|
|
9 |
12 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Получим |
график функции |
|
y = (0,5(x − 6))3 . Затем |
отображаем |
график |
зеркально |
по |
|||||||||
отношению к оси ОХ. Получим график данной функции. Ответ: Последовательность |
||||||||||||||||
построения представлена на рисунках. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x = cost |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4. Построить график функции: |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y = cos2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исключим параметр t: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
y = cos2t = cos2 t − sin2 t = 2cos2 t −1 = 2x2 −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Получили |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
уравнение параболы |
y = 2x2 |
−1 с вершиной в точке (0, -1), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ветви которой направлены вверх. Область определения |
1 |
0.5 |
90 |
0 |
|
0.5 |
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
функции |
- (-1, |
1), |
так как |
всегда |
cost |
≤ 1. Графиком |
|
|
|
|
|
|
|
|||
функции является часть параболы. |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: График представлен на рисунке. |
|
|
180 |
|
|
|
|
|
0 |
|||||||
5. Построить график функции: ρ = 3sin 2ϕ . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
1.5 |
3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
270 |
|
|
|
|
Функция существует при |
ρ ≥ 0 |
|
т.е. sin 2ϕ ≥ 0. Это |
наблюдается при |
|
0 ≤ 2ϕ ≤ π , |
т.е. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 ≤ ϕ ≤ π / 2 |
|
и при |
|
|
2π ≤ 2ϕ ≤ 3π |
т.е. π ≤ ϕ ≤ 3π / 2 . Функция возрастает в интервале (0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
π/4) от 0 до 1, затем убывает в интервале |
|
(π/4, π/2) от 1 до 0. Аналогично изменяется |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функция в интервале π ≤ ϕ ≤ 3π / 2 . Ответ: График представлен на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Вычислить предел: lim |
(n +1)4 − (n −1) |
4 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ (n +1)3 + (n −1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Возведём все скобки в степени и приведём подобные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(n +1)4 − (n −1)4 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8n3 |
+ 8n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
+ n |
|
|
|
|
1+ n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
4lim |
|
|
|
|
= 4lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
+ 6n |
|
+ 3n |
|
|
|
|
3n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ (n +1)3 + (n −1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ 2n3 |
|
|
|
|
n→∞ n3 |
|
n→∞ 1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: lim |
(n +1)4 − (n −1)4 |
|
= 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ (n +1)3 + (n −1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
7. Вычислить предел: lim |
|
|
|
|
|
|
|
2(1− x3 ) |
|
(неопределённость вида (0/0)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 x3 − 2x2 − x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители: lim |
|
|
|
2(1− x3 ) |
|
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
2x2 − x + |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 x3 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
= lim |
|
2(1− x)(1+ x + x |
2 ) |
= −lim |
|
2(1+ x + x2 ) |
|
= |
|
6 |
|
= 3. Ответ: lim |
|
|
|
|
2(1− x |
3 ) |
|
|
= 3 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
− 2)(x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
− 2x2 − x + 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→1 (x −1)(x − 2)(x |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 (x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x→1 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
8. Вычислить предел: lim |
|
|
|
|
x −1 |
(неопределённость вида (0/0)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
x |
2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к числителю выражение: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
x −1 |
= lim |
( x −1)( |
|
x |
+1) |
= lim |
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
= lim |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→1 x |
2 −1 |
x→1 |
|
|
(x2 |
−1)( x +1) |
|
|
|
x→1 (x2 |
−1)( |
|
|
x +1) |
|
x→1 (x +1)( |
|
x +1) |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ответ: lim |
|
|
x −1 |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 x2 −1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9. Вычислить предел: lim |
cos(x / 2) |
(неопределённость вида (0/0)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π |
|
|
|
x − π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Сделаем |
замену |
переменной: |
|
x − π = t, x = t + π , если x → π , то t → 0. Получим: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
cos(x / 2) |
|
= lim |
cos(t / 2 + π / 2) |
= |
|
cos(t / 2 + π / 2) = −sin(t / 2 |
|
= − |
1 |
lim |
sin(t / 2) |
= − |
1 |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→π |
|
x − π |
|
|
t→0 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 t→0 |
|
|
t / 2 |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Здесь |
|
|
|
|
воспользовались |
|
|
|
первым |
|
замечательным пределом: |
|
|
lim |
sin x |
= 1. |
|
Ответ: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
cos(x / 2) |
|
= − |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x→π |
|
x − π |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n2 + 3n |
−1 n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
10. Вычислить предел: lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(неопределённость вида (1∞)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n |
|
+ 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 z |
= e: |
|||||
|
|
|
|
|
Приведём |
|
|
|
|
|
предел |
|
|
|
ко |
|
|
|
|
|
второму |
|
|
|
замечательному |
пределу: |
|
|
lim 1+ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→∞ |
|
z |
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n |
2 |
+ 3n |
−1 |
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
−n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5n |
|
|
+ 3n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n |
2 |
+ 3n − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ 5n |
|
|
+ 3n + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ 5n |
|
|
+ 3n −1+ 4 |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5n2 +3n−1 |
|
4n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
− lim |
4n3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
+ |
|
|
4 |
|
|
4 |
|
(−5n |
2 +3n−1) |
= t = |
5n2 + 3n |
−1 |
= |
|
|
|
1 |
x→∞5n2 +3n−1 |
= e |
−∞ |
= 0 . |
|
|||||||||
= lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
lim 1+ |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n→∞ |
5n |
2 + 3n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
5n2 + 3n |
−1 n3 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
5n |
+ 3n |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n→∞ |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11. Вычислить предел: |
lim |
ln 2x − lnπ |
|
(неопределённость вида (0/0)). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π / 2 sin(5x / 2)cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Воспользуемся |
|
|
|
|
|
|
|
|
эквивалентными |
|
|
|
|
|
|
|
величинами: |
|||||||||||||||
lim |
ln 2x |
− lnπ |
= − 2 |
lim |
|
ln(2x /π ) |
= |
x − π / 2 |
= t, 2x = 2t |
+ π , |
= − |
2 lim |
ln(2t /π |
+1) |
= |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если x → π / 2, то t → |
|
cos(t + π / 2) |
|||||||||||||||||||||
x→π / 2 sin(5x / 2)cos x |
|
|
|
x→π / 2 |
cos x |
|
|
0 |
|
t→0 |
|
|||||||||||||||||||||||
= |
2 lim ln(2t /π +1) = sint ~ t |
|
и ln(2t /π +1) ~ 2t /π = |
|
2 lim 2t |
= |
2 |
2 |. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
t→0 |
|
sint |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
t→0 |
t |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: lim |
|
|
ln 2x − lnπ |
|
= 2 |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x→π / 2 sin(5x / 2)cos x |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+1 |
|
|
|
|
12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: y = 3x(x+2) . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Область определения – все действительные числа, кроме x=0 и x=−2. В области |
||||||||||||||||||||||||||||||||
определения функция является непрерывной (как элементарная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
функция). Исследуем поведение функции в окрестности точек |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x+1 |
|
|
|
|
|
|
x+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разрыва: |
lim |
3x(x+2) = 0, |
lim |
|
3x(x+2) |
= ∞ . Аналогично, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x→−2−0 |
|
|
|
x→−2+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x+1 |
|
|
|
|
|
|
|
x+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
lim 3x(x+2) |
= 0, lim 3x(x+2) |
= ∞ |
. Таким образом, в точках x=0 и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x→0−0 |
|
|
|
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x=−2 имеют место разрывы второго рода. Для построения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
эскиза |
графика |
функции |
рассмотрим |
|
поведение |
функции |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+1 |
|
|
|
x+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3 |
|
0 |
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 3x(x+2) |
= |
lim 3x(x+2) |
= 30 = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
бесконечности: |
Ответ: |
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−∞ |
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точках x=0 и x=−2 имеют место разрывы второго рода, в остальных точках она |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
13. |
Исследовать |
|
функцию |
|
на |
непрерывность |
|
и |
построить |
эскиз |
графика: |
|||||||||||||||||||||||
|
− x, |
x ≤ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
y = − (x −1) , 0 < x < 2, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x − 3, |
|
x ≥ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Область |
|
определения |
функции: |
x (−∞,∞) . Ось |
ОХ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
разбивается на три интервала, на каждом из которых |
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
2 |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
функция f(x) совпадает с одной из указанных непрерывных |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
функций. Поэтому точками разрыва могут быть только |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
f (x) = lim (−x) = 0, |
lim |
|
f (x) = − lim (x −1)2 |
= −1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x→0−0 |
|
|
x→0−0 |
|
|
|
|
x→0+0 |
|
|
x→0+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
f (x) = − lim (x −1)2 = −1, |
|
lim f (x) = lim (x − 3) = −1. Таким |
образом, |
в |
точке |
x=2 |
|||||||||||||||||||||||||||
x→2−0 |
|
|
|
|
x→2−0 |
|
|
|
|
|
x→2+0 |
|
|
|
x→2+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
функция непрерывна, а в точке x=0 |
функция терпит разрыв первого рода. Величина |
скачка функции в точке x=0 равна −1. Ответ: В точке x=0 функция имеет разрыв первого |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
14. Исходя из определения производной, найти |
f ′(0): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
f (x) = 6x + xsin(1/ x), x ≠ 0, f (0) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
По определению f ′(x0) =lim |
f (x0 + |
|
x) − f (x0 ) . Заменим |
x на x-x0: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f ′(x |
0 |
) = |
lim |
f (x) − f (x0 ) . Но |
x |
0 |
= 0, |
f (x |
0 |
) = 0 , |
поэтому |
f ′(0) = lim f (x) . В данном |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
x |
− x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
случае |
f ′(0) = lim 6x + xsin(1/ x) = lim[6 + sin(1/ x)], |
|
следовательно, |
производная |
не |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
существует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: f ′(0) не существует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
15. |
|
|
|
Найти |
производную |
показательно-степенной |
функции: |
|
y = (arcsin x)ex . |
||||||||||||||||||||||||
Прологарифмируем функцию: ln y = ex lnarcsin x . Берём производную, как производную |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
неявной функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y′ |
= ex lnarcsin x + |
|
|
ex |
|
|
= ex (lnarcsin x + |
|
|
1 |
|
) . |
Подставляем сюда |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x2 arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
1− x2 |
arcsin x |
|
|
|
|
|||||||||||
y: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = ex (lnarcsin x + |
|
|
1 |
|
|
|
) (arcsin x)e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1− x2 |
arcsin x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: |
y′ = ex (lnarcsin x + |
|
|
1 |
|
|
) |
(arcsin x)e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x2 |
arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить y |
′′ : |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xx |
x = (1+ t)/ t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = −4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3/(2t2 ) + 2/t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения |
касательной |
|
и |
|
нормали |
к |
кривой |
|
y = f (x) |
имеют |
вид |
|||||||||||||||||
y = y0 |
+ y′x (x0 ) (x − x0 ) и |
y = y0 − (1/ y′x (x0 )) (x − x0 ) , где x0 |
и |
y0 |
- координаты точки |
||||||||||||||||||||||||||||
касания. Вычислим сначала эти координаты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x |
|
= x(−4) = −3/16, |
|
y |
|
= y(−4) = −13/32. Найдём производные y′ |
и y′′ |
: |
y′ |
= yt′ = |
|
||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
xx |
|
x |
x′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
− 3 2 |
2 |
|
|
t4 |
|
|
3 + 2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= ( |
|
2t3 |
− t2 ) t2 − 2t(1+ t) = |
2 + t . |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
y′x (−4) = 5/ 2 . Далее, |
yx′ = |
(y′x )′t |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
xt′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= − |
2(2 + t) − (3 + 2t) |
|
|
t3 |
= − |
|
t3 |
|
, |
следовательно, |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
(2 + t)2 |
|
(2 + t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 + t)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y′x′(−4) = −8. |
Таким |
|
образом, |
уравнение |
|
касательной |
|
|
1 |
|
0 |
1 |
2 |
||||||||||||||||||||
y = −13/32 + (5/ 2)(x + 3/16) , |
|
уравнение |
|
|
нормали |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
y = −13/32 − (2/5)(x + 3/16). |
Или |
|
40x −16y +1 = 0 |
|
и |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
64x +160y + 77 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
−13 |
|
y′x |
(x0 ) = |
5 |
, yx′(x0 ) = −8, |
|
40x −16y +1 = 0 |
касательная |
|
||||||||||||||
Ответ: (x0 , y |
0 ) = |
|
|
|
, |
, |
|
|
|
|
160y + 77 = 0 |
. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
32 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
64x + |
нормаль |
|
17. Функция y(x), заданная неявно уравнением |
xy + ln(x + y) + 2 = 0 , принимает в точке |
||||||||||||||||||||||||||||||
x |
0 |
= 2 значение |
y |
0 |
= −1. Найти |
y′ |
, y′′ |
, y′ |
(x |
0 |
), y′′ |
|
(x |
0 |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
xx |
|
x |
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Дифференцируем уравнение по x, предполагая, что y= y(x): y + xy′ + |
1+ y′ |
= 0 . Из |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + y |
|||
этого |
равенства |
находим: |
|
y′ = − |
xy + y2 +1 |
. |
|
Находим вторую |
производную: |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy + x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y ′ = − |
(y + xy′ + 2yy′)(xy + x2 +1) − (y + xy′ + 2x)(xy + y2 |
+1) |
|
. |
Вычислим |
производные в |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(xy + x2 |
+1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точке: x |
|
= 2 y′(2) = 0, y ′(2) = |
1 |
. |
Ответ: y′ = − |
xy + y2 +1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
xy + x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y ′ = − |
(y + xy′ + 2yy′)(xy + x2 +1) − (y + xy′ + 2x)(xy + y2 |
+1) |
|
, |
y′(2) = 0, |
y ′(2) = |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(xy + x2 |
+1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||
18. |
Вычислить |
|
приближённое |
значение |
|
функции |
в |
заданной |
точке с помощью |
дифференциала: y = 4x, x = 81,8.
По определению дифференциала y(x0 + x) = y(x0 ) + dy(x0 ) + o( x) или, в других обозначениях, y(x) = y(x0 ) + dy(x0 ) + o((x − x0 )), x = dx = x − x0 . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: y(x) ≈ y(x0 ) + y′(x0 )(x − x0 ). В данном случае
x |
0 |
= 81, y(x |
0 |
|
) = y(81) = 3, |
|
|
y′ = x−3/ 4 / 4, |
y′(x |
0 |
) = y′(81) = 1/108, |
x = 0,8. |
|
|
|
Тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y(81,8) ≈ 3 + 0,8/108 ≈ 3,007 . Ответ: y ≈ 3,007 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: lim(ctg x)1/ ln x . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Это неопределённость вида (∞0). Преобразуем предел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim(ctg x)1/ ln x |
= lim e(1/ ln x) ln(ctg x) |
|
|
lim [(1/ ln x) ln(ctg x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
= ex→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. Найдём |
предел |
в показателе |
степени: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ln(ctg x) |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
(ln(ctg x))′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= − lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − lim |
|
|
|
|
|
= −1. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ln x)′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x cos x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→+0 |
ln x |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
ctg x sin2 |
x |
|
x→+0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
lim(ctg x)1/ ln x = e−1 . Ответ: lim(ctg x)1/ ln x |
= e−1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: lim xe |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1/ x = t, x = 1/t2 , |
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
Это неопределённость вида (0·∞): |
lim xe |
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
если x → +0, то t → ∞ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
et |
|
∞ |
|
|
|
(et )′ |
|
|
|
|
|
et |
|
|
|
|
et |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= lim |
|
|
= |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
= lim |
|
|
= lim |
|
|
= ∞ . Ответ: lim xe x |
= ∞ . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t→∞ t |
2 |
|
|
∞ |
t→∞ (t2 )′ |
|
|
|
t→∞ 2t |
|
t→∞ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
21. |
Многочлен |
по |
|
степеням |
x |
представить в |
|
виде |
многочлена |
по степеням |
|
(x − x0 ) : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) = 4x4 + 2x3 − x − 3, x |
0 |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Запишем |
формулу |
Тейлора |
|
|
|
|
для |
|
|
|
многочлена |
|
|
четвёртой |
|
|
степени: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) = f (x |
|
) + f ′(x |
|
)(x − x |
|
) + |
|
f ′(x0 ) |
(x − x |
|
)2 + |
|
f |
′(x0 ) |
(x − x |
|
)3 |
+ |
|
f (4) (x0 ) |
(x − x |
|
)4 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найдём |
|
все |
|
производные: |
f ′(x) = 16x3 + 6x2 |
−1, f ′(x) = 48x2 |
+12x, f ′(x) = 96x +12, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (4) (x) = 96 . |
|
Тогда |
|
f (1) = 2, |
f ′(1) = 21, f |
|
′(1) = 60, f |
|
|
′(1) = 108, |
f (4) (1) = 96. |
Подставив |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
это в формулу, получим: f (x) = 2 + 21(x −1) + 30(x −1)2 |
|
+18(x −1)3 + 4(x −1)4 . |
|
|
|
Ответ: f (x) = 2 + 21(x −1) + 30(x −1)2 +18(x −1)3 + 4(x −1)4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию |
|
f (x) в окрестности точки x0 с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точностью до o((x − x |
0 |
)3 ) : |
|
f (x) = lncos x, |
|
x |
0 |
= π / 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Применяем формулу Тейлора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
f (x) = f (x |
0 |
) + f ′(x |
0 |
)(x − x |
0 |
) |
|
+ |
f ′′(x0 ) (x − x |
0 |
)2 |
+ |
f ′′′(x0 ) (x − x |
0 |
)3 + o((x − x |
0 |
)3 ) . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычисляем последовательно: f (π / 3) = −ln 2, |
f ′(x) = −tgx, |
|
f ′(π /3) = − |
3, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
f ′(x) = −cos−2 x, f ′(π /3) = −4, |
f ′(x) = −2cos−3 x sin x, |
f |
|
′(π /3) = −8 |
|
3 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: f (x) = −ln 2 − |
|
|
3(x − π / 3) − 2(x − π /3)2 − 4 |
3 (x − π /3)3 + o((x − π /3)3 ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) = ln2 (1+ x) − x2 , x |
0 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдём значение функции и её первых трёх производных в заданной точке: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (0) = 0, |
f ′(x) = 2ln(1+ x) (1+ x)−1 − 2x, |
f ′(0) = 0, |
f ′(x) = 2(1+ x)−2 |
− 2ln(1+ x) (1+ x)−2 − 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f ′(0) = 0, f ′(x) = −6(1+ x)−3 + 4ln(1+ x)(1+ x)−3 , |
f |
′(−1) = −6. |
|
По |
формуле |
Тейлора |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) = −x3 + o(x3 ) . Ответ: В окрестности точки (0, 0) функция ведёт себя как кубическая |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функция. Точка (0, 0) является точкой перегиба: слева – вогнутость, справа - выпуклость. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1+ x) − xex |
|
|
|
|
|
|
|||||||
24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
|
|
|
|
x2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По формуле Тейлора |
|
ln(1+ x) = x − 1 x2 |
+ o(x2 ) . Далее, |
|
ex |
= 1+ x + o(x). Подставим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
это |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предел: |
|||
ln(1 |
+ x) |
− xex |
|
|
|
|
x − x2 / 2 + o(x2 ) − x(1+ x + o(x)) |
= lim |
− 3x2 / 2 + o(x2 ) |
= − |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
x2 |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
. |
|
|||||||||||
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
ln(1+ x) − xex |
= − |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответ: lim |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: y = |
x3 |
+ 3x2 − 2x − 2 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
− 3x |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Область определения функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x (−∞, − |
|
2/3) (− |
|
|
2/3, |
|
|
|
2/3) ( |
2/3, ∞). Функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
непрерывна в каждой точке области определения. Найдём |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
односторонние пределы в граничных точках области |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
определения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
0 |
|
1 |
2 |
|
lim x + 3x − 2x − 2 = ∞, |
|
|
|
|
lim x + 3x − 2x − 2 = −∞ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x→− 2 / 3−0 |
|
|
2 − 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→− 2 / 3+0 |
|
2 − 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
x3 + 3x2 − 2x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3x2 − 2x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
lim |
|
= −∞, |
|
x3 |
= ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 − 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
2 − |
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x→ 2 / 3−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ 2 / 3+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||
. Отсюда следует, что прямые x = − 2 /3 и x = |
2/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при x → ±∞ : |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x3 |
+ 3x |
2 − 2x − |
2 |
= |
|
lim[− |
1 |
x −1− |
|
4x |
|
|
|
] = ∞, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
2 − 3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x→−∞ |
|
|
|
|
|
x→−∞ |
|
|
|
3 |
|
3(2 |
− 3x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
x3 |
+ 3x2 − 2x − 2 |
= lim[− |
1 |
x −1− |
|
4x |
] = −∞ . Следовательно, прямая y = − |
1 |
x −1 |
|
2 − 3x2 |
|
|
− 3x2 ) |
|
|||||
x→∞ |
x→∞ 3 |
3(2 |
|
3 |
|
является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке. 26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график:
y= 38 − x3 .
1.Область определения: x (−∞, ∞) . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. 3. Функция непрерывна в области определения. Вертикальных асимптот нет.
4. lim 3 |
8 − x3 |
= ∞, |
lim 3 8 − x3 = −∞ . Найдём наклонные асимптоты: y = kx + b, |
|
|
|||||||||
x→−∞ |
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = lim |
f (x) |
|
3 8 − x3 |
= lim 3 |
8 − x3 |
= −1, |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
; |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→±∞ |
x |
x→+∞ |
x |
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
8 − x3 |
lim 3 |
8 − x3 |
= −1, b = lim[ f (x) − kx], |
|
|
|
2 |
|
|
||||
lim |
|
= |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
x→−∞ |
|
x |
x→−∞ |
|
x→±∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[3 8 − x3 + x](3 (8 − x3 )2 − x3 |
8 − x |
3 + x2 ) |
4 |
2 |
0 |
2 |
4 |
|||
lim[3 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||
8 − x3 + x] =lim |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
x→±∞ |
|
|
x→±∞ |
3 (8 − x3 )2 − x3 |
8 − x3 |
+ x2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= lim |
|
|
8 − x3 + x3 |
= |
0. Следовательно, |
|
|
|
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→±∞ 3 |
(8 − x3 )2 − x3 8 − x3 |
+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
имеется наклонная асимптота y = −x . 5. Первая производная |
|
|
|
|
||||||||||
y′ = [3 |
8 − x3 ]′ |
= − |
x2 |
. Производная обращается в нуль в точке x = 0. В точке |
|
|||||||||
|
|
3(8 − x3 )2
x = 2 производная не существует. Производная остаётся отрицательной на всей числовой оси. Следовательно, функция монотонно убывает и экстремумов не имеет.
6.
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
2x |
3 |
(8 |
− x |
3 |
) |
2 |
+ 2x |
2 |
|
3 |
(8 − x |
3 |
) |
−1 |
3x |
2 |
/3 |
|
|
16x |
|
|
|
|
|
|
16x |
|
|
|||||||||||
y ′ = |
− |
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
(8 − x |
3 |
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
(8 |
− x |
3 |
) |
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
(8 − x |
3 |
) |
5 |
3 |
(x |
3 |
− 8) |
5 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вторая производная обращается в нуль в точке x = 0. В точке x = 2 вторая производная не существует. Имеем три интервала: в интервале (−∞, 0) производная y′′ > 0 - интервал вогнутости графика функции, в интервале (0, 2) производная y′′ < 0 - интервал выпуклости, в интервале (2, ∞) производная y′′ > 0 - интервал вогнутости графика функции. Точки перегиба - x = 0, x = 2 . 7. График функции пересекает ось ОХ в точке (2, 0), а ось ОУ – в точке (0, 2). Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремумов нет. Точки перегиба - (0, 2), (2, 0) .