m1var01
.pdf
|
|
Вариант № 1 |
|
|
|
|
|
|||||
1. Найти область определения функции : y = |
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x2 |
− 3x − 4 |
|
|
|
|
|
||
Область определения данной функции определяется неравенством |
x2 |
− 3x − 4 > 0 . |
||||||||||
Корнями |
уравнения x2 |
− 3x − 4 = 0 являются |
числа x = −1, x |
2 |
= 4. |
Так |
как ветви |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
параболы |
y = x2 − 3x − 4 |
направлены вверх, то неравенство |
x2 − 3x − 4 > 0 выполняется |
при x1 < −1 и x2 > 4 . Ответ: x (−∞,−1) (4,∞) .
2. Построить график функции: y = 1− x + x2 − 2x +1 . Так как x2 − 2x +1 = (x −1)2 ≥ 0 всегда, то данная функция определена на всей числовой оси.
Преобразуем функцию:
y = 1− x + x2 − 2x +1 = 1− x + (x −1)2 = 1− x + x −1 .
0, |
если x ≥ 1, |
Таким образом, y = |
. |
2(1 |
− x), если x < 1 |
Ответ: график представлен на рисунке. |
3. Построить график функции: y = sin x + 3 cos x.
Данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию. Вынесем
за скобки множитель 2: y = 2( |
1 |
sin x + |
|
3 |
cos x) = 2(sin π sin x + cos π cos x) = 2cos(x − π ). |
|||
|
|
|
||||||
2 |
|
2 |
|
3 |
3 |
6 |
||
Последовательно строим сначала у = cos(x) , затем |
у = 2cos(x), затем сдвигаем график |
вправо по оси ОХ на величину π/6. Ответ: построения представлены на рисунках.
|
|
|
|
|
|
|
x = sint |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. Построить график функции: |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y = lnsin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Исключим параметр t, подставляя во вторую |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
формулу |
sin t = x . Получим |
y = ln x . Функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
определена для x>0. Ответ: график представлен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. Построить график функции: ρ |
= |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1− sinϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Перейдём к декартовым координатам. Так |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
y = ρ sinϕ, x = ρ cosϕ , то |
x2 |
+ y2 = ρ 2 , |
sinϕ |
= |
|
|
y |
||||||||||||||
как |
|
|
|
|
. Подставим это в функцию: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ y2 |
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x2 |
+ y2 |
= |
или |
1 |
= |
|
|
. |
Следовательно, x2 + y2 − y = 2 или |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1− y / x2 + y2 |
|
|
|
|
|
x2 + y2 − y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x2 |
+ y2 |
= 2 + y . Возведём обе части в квадрат: |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 = 4 + 4y + y2 . Окончательно, данная функция в декартовых координатах имеет вид:
y = |
|
x2 |
|
−1. Это парабола с вершиной в точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(0;-1), пересекающая ось ОХ в точках x1=−2 и x2=2. Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
график представлен на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Вычислить предел: lim |
3 + 6 + ...+ 3n |
|
(неопределённость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
вида (∞/∞)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Воспользуемся |
|
|
|
|
|
формулой |
|
|
|
|
для |
|
|
суммы |
|
|
арифметической |
|
|
|
прогрессии: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 + 6 + ...+ 3n = |
3 + 3n |
|
n = |
3 |
|
|
n(n +1). Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3 + 6 + ...+ 3n |
|
|
∞ |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n(n +1) |
|
3 |
|
|
|
|
|
1+ n−2 |
= |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + 6 + ...+ 3n |
= |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Ответ: lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
2 n→∞ n2 + 4 |
|
|
|
2 n→∞ 1+ 4n−2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. Вычислить предел: lim |
|
|
x3 + x2 − x −1 |
|
(неопределённость вида (0/0)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−1 x3 + x2 + x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители: lim |
|
x3 |
+ x2 |
− x −1 |
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ x2 + x + |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−1 x3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= lim |
|
x2 (x +1) − (x +1) |
|
= lim |
(x +1)(x2 −1) |
|
|
= lim |
x2 |
−1 |
= |
|
|
0. Ответ: lim |
x3 |
+ x2 |
− x −1 |
= 0. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
+ x2 |
+ x + |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→−1 x2 (x +1) + (x +1) |
|
|
|
x→−1 (x +1)(x2+1) |
|
|
|
|
|
|
x→−1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−1 x3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. Вычислить предел: lim |
|
|
|
|
|
1+ 2x − 3 |
|
(неопределённость вида (0/0)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Умножаем |
|
|
|
|
|
числитель |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
знаменатель |
|
|
|
|
|
на |
|
|
|
|
сопряжённые |
|
|
выражения: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1+ 2x − 3 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
( |
|
1+ 2x − 3)( |
|
|
|
1+ 2x + 3)( |
|
|
|
|
x + |
2) |
|
|
|
|
|
2(x − 4)( |
|
x + 2) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→4 |
|
|
|
|
|
|
x − |
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x→4 |
|
( |
|
|
|
|
x − 2)( |
|
x + 2)( 1+ 2x |
+ 3) |
|
|
|
|
|
|
x→4 (x − 4)( 1+ 2x + 3) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
2( x + 2) |
|
|
|
= |
2 4 |
= |
4 |
. Ответ: lim |
|
|
|
|
|
1+ 2x − 3 |
= |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→4 ( 1+ 2x + 3) |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. Вычислить предел: lim |
2xsin x |
(неопределённость вида (0/0)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 1− cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Воспользуемся формулой |
|
1− cos x = 2sin2 |
|
x |
|
и |
первым |
замечательным |
пределом: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
sin x |
= 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
x |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2xsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2xsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
2 |
lim |
|
= 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 1− cos x |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x→0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Ответ: lim |
2xsin x |
= 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 1− cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
+1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
10. Вычислить предел: |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
(неопределённость вида (1 |
|
)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 z |
|
|
||||||
|
|
|
|
Приведём |
|
|
|
предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
ко |
|
|
|
|
|
|
второму |
замечательному |
|
|
пределу: |
|
|
|
lim 1 |
+ |
|
|
|
|
|
= e: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→∞ |
|
|
z |
|
|
|
n +1 n lim n→∞ n −1
n −1+ |
2 n |
|
|
2 n |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= lim |
|
|
|
= lim 1 |
+ |
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
, если n → ∞, то t → ∞, n = 2t +1 |
= |
n −1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
n −1 |
|
|
|
n −1 t |
|
|
|
|
|
1 |
2t+1 |
|
|
|
1 |
t |
2 |
|
|
|
1 |
1 |
= e |
2 |
|
n +1 |
n |
|||||||||
= lim 1+ |
|
|
|
= lim 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
lim 1 |
+ |
|
|
|
|
|
. Ответ: |
lim |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
t→∞ |
|
t |
|
|
t→∞ |
|
|
t |
|
|
|
t→∞ |
|
|
t |
|
|
|
|
n→∞ n −1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. Вычислить предел: lim |
|
|
|
|
(неопределённость вида (0/0)). |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Сделаем |
замену |
|
|
|
|
|
переменной: |
|
x −1 = t, x = t +1, если x |
|||||||||||||||||||
lim |
x2 |
−1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 ln x
= e2 .
→ 1, то t → 0. Тогда
= lim |
(t +1)2 |
− |
1 |
= | ln(t+1)~t|= = lim |
t(t + 2) |
= lim(t + 2) |
= 2. Ответ: lim |
x2 −1 |
= 2 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
t→0 ln(t +1) |
|
|
t→0 |
t |
t→0 |
x→1 |
ln x |
|
x−1
12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: y = 8x−2 . Область определения – все действительные числа, кроме x=2. В точке x=2 функция
имеет разрыв, во всех других точках является непрерывной (как элементарная функция).
Исследуем |
поведение |
функции |
в |
окрестности |
точки |
разрыва: |
||||||||||||
|
|
x−1 |
|
|
lim |
|
x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim 8x−2 |
= |
8x→2−0 x−2 |
= 8−∞ = 0, |
|
|
|
|
|
||||||||||
x→2−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x−1 |
|
|
lim |
x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim 8x−2 |
= |
8x→2+0 x−2 |
= 8∞ |
= ∞ . Таким образом, в точке x=2 |
|
|
||||||||||||
x→2+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
имеет место бесконечный разрыв второго рода. Для |
|
|
||||||||||||||||
построения эскиза графика функции рассмотрим поведение |
|
|
||||||||||||||||
функции в бесконечности: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x−1 |
|
|
|
|
x−1 |
lim |
x−1 |
|
|
|
|
8 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim 8x−2 |
= lim 8x−2 |
= 8x→∞ x−2 |
= 81 |
= 8. Ответ: В точке x=2 |
|
2 |
||||||||||||
x→−∞ |
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
функция имеет разрыв второго рода, в остальных точках |
|
|
||||||||||||||||
она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке. |
|
|
||||||||||||||||
13. |
Исследовать |
функцию |
на непрерывность и построить |
эскиз |
графика: |
|||||||||||||
|
− x, |
x ≤ 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y = x2 , 0 < x ≤ 2, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x +1, |
x > 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Область определения функции: x (−∞,∞) . Ось ОХ разбивается на три интервала, |
|||||||||||||||||
на каждом из которых функция f(x) совпадает с одной из |
|
|
||||||||||||||||
указанных непрерывных функций. Поэтому точками |
|
|
||||||||||||||||
разрыва могут быть только точки, разделяющие |
|
|
||||||||||||||||
интервалы. |
Вычислим |
односторонние |
пределы: |
|
|
|||||||||||||
lim |
f (x) = lim(−x) = 0, |
lim |
f (x) = lim x2 |
= 0, |
|
|
|
|||||||||||
x→−0 |
|
|
|
|
x→−0 |
|
x→+0 |
|
x→+0 |
|
|
|
|
|||||
lim |
f (x) = lim x2 = 4, |
lim f (x) = lim (x +1) = 3 . |
|
|
||||||||||||||
x→2−0 |
|
x→2−0 |
x→2+0 |
|
x→2+0 |
|
|
|
|
Таким образом, в точке x=0 функция непрерывна, а в точке x=2 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке x=2 равна (−1).
Ответ: В точке x=2 функция имеет разрыв первого рода,
в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке. 14. Исходя из определения производной, найти f ′(0):
f (x) = x + arcsin(x2 sin 6), x ≠ 0, f (0) = 0 . x
По определению f ′(x0) =lim |
|
f (x0 + x) − f (x0 ) |
. Заменим |
|
x на x-x0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f ′(x |
|
) = |
lim |
|
f (x) − f (x0 ) |
. Но x |
|
= 0, |
f (x |
|
|
) = 0, |
|
поэтому |
|
f ′(0) = lim |
f (x) |
. В |
данном |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
x − x0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x + arcsin(x2 sin |
6 |
) |
|
|
|
|
|
|
arcsin(x2 sin |
6 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
f ′(0) = lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= 1+ lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
. Далее, arcsin(x2 sin |
)~ x2 sin |
, т.е. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||
|
arcsin(x2 sin |
6 |
) |
|
|
x2 sin |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
x |
= lim |
|
|
|
|
|
|
x |
= lim xsin |
= 0 , |
так |
как |
|
|
|
sin |
|
|
≤ 1. Следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x |
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
f ′(0) = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: f ′(0) = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
15. Найти производную показательно-степенной |
функции: y = (arctg x)(ln arctg x) / 2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Прологарифмируем |
функцию: |
|
ln y = |
1 |
ln arctg x ln arctg x = |
1 |
[ln arctg x]2 . |
|
|
Берём |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
производную, |
как |
производную |
|
неявной |
|
|
функции: |
|
= |
1 |
2ln arctg x |
1 |
|
|
1 |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg x |
1 |
|
||||||||
Подставляем |
|
|
сюда |
|
|
|
y: |
|
|
|
y′ = (arctg x)(ln arctg x) |
/ 2 |
ln arctg x |
|
. |
Ответ: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ x2 )arctg x |
′ = ( )(ln arctg x)/ 2 ln arctg x
y arctg x ( ) . 1+ x2 arctg x
16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить y′xx′ :
x = 2sin3 |
t |
π |
|
|
t = |
. |
|
|
|
||
y = 2cos3 |
t |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения касательной |
и |
нормали |
|
к |
кривой |
||||||||||||||||||||
y = y0 |
+ y′x (x0 ) (x − x0 ) |
и y = y0 |
− (1/ y′x (x0 )) (x − x0 ) , |
||||||||||||||||||||||||
где x0 |
и |
y0 - координаты точки касания. Вычислим |
|||||||||||||||||||||||||
сначала эти координаты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
= x(π ) = 2 ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= y(π ) = 2 ( |
|
|
|
|
|||||||||
x |
3 |
)3= |
3 3 |
, y |
|
1 |
)3= |
1 |
. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
3 |
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
3 |
2 |
|
4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Найдём |
|
производные |
|
|
y′ |
|
и |
|
y′′ |
: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
xx |
|
y′ |
= |
yt′ |
= − |
6cos2 t sint |
|
= −ctg t . |
|
|
|
|
Тогда |
||||||||||||||||
|
6sin2 t cost |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x |
|
x |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
(π ) = −ctg(π ) = − |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
Далее, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f (x) имеют вид
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
1 |
0 |
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
y ′ = |
(yt′)′t |
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
следовательно, |
y ′ |
= |
(yt′)′t |
= |
32 |
= |
|
16 |
. |
|
Таким |
образом, |
|||||||||||||||||||||
x′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
6sin4 t cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x′ |
|
|
|
|
6 9 |
27 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
уравнение |
|
|
|
касательной |
|
y = 1/ 4 − (1/ |
3) (x − 3 |
3 / 4), |
|
|
|
уравнение |
нормали |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
y = 1/ 4 + |
|
3 (x − 3 |
|
3 / 4). Или |
x + |
|
3 y |
− |
3 |
= 0 |
|
|
и |
|
3x − y − 2 = 0 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
3y − |
3 = 0 касательная |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|||||||||||||||||||||||||
Ответ: (x0 |
|
, y0 ) = |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
y′x |
(x0 ) = − |
|
|
|
|
, |
yx′(x0 ) = |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
− y − 2 = 0 нормаль |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. Функция y(x), |
|
заданная |
неявно |
уравнением |
|
xy + ex+ y −1 = 0, принимает |
в |
точке |
||||||||||||||||
x |
0 |
= 0 значение y |
0 |
= 0. Найти |
y′ , y′′ , y′ (x |
0 |
), y′′ (x |
0 |
) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
xx |
x |
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Дифференцируем уравнение по x, предполагая, что y= y(x): |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
y + xy′ + ex+ y (1+ y′) = |
0 . Из этого |
равенства |
находим: y′ = − |
|
y + ex+ y |
. Из уравнения |
||||||||||||||||||
|
x + ex+ y |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции ex+ y =1− xy . Поэтому y′ = − |
y +1− xy |
. Находим вторую производную: |
|
|
||||||||||||||||||||
x +1− xy |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y ′ = − |
(y′ − y − xy′)(x +1− xy) − (y +1− xy)(1− y − xy′) |
. Вычислим |
производные |
в |
точке |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +1− xy)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
= 0 : y′ = − |
1 |
= −1, |
y ′ = − − 2 = 2 . Ответ: y′ = − |
y +1− xy |
, |
|
|
|
|
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x +1− xy |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y ′ = − |
(y′ − y − xy′)(x +1− xy) − (y +1− xy)(1− y − xy′) |
, y′(0) = −1, |
y′′(0) = 2. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x +1− xy)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью
дифференциала: |
y = 3 x3 + 7x, x = 1,012. |
По определению дифференциала y(x0 + x) = y(x0 ) + dy(x0 ) + o( x) или, в других |
|
обозначениях, |
y(x) = y(x0 ) + dy(x0 ) + o((x − x0 )), x = dx = x − x0 . Отсюда получаем |
формулу для приближённых вычислений: y(x) ≈ y(x0 ) + y′(x0 )(x − x0 ). В данном случае
x |
|
= 1, |
y(x |
|
) = y(1) = 2, |
y′ = |
1 |
(x3 + 7x)−2 / 3 (3x2 + 7), |
|
y |
′(x |
|
|
) = y′(1) = |
10 |
, |
|
|
x = 0,012. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда |
y(1,012) ≈ 2 + |
10 |
0,012 = 2,01. Ответ: y ≈ 2,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: lim(2x −1)x2 −1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это |
|
|
|
|
неопределённость |
|
|
|
|
|
|
вида |
|
(1∞). |
|
|
|
|
|
|
Преобразуем |
|
предел: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
ln(2x−1) |
lim |
|
|
x |
ln(2x−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lim(2x −1) x2 −1 |
= limex2 −1 |
|
|
|
|
= ex→1x |
2 −1 |
|
|
|
|
. |
Найдём |
предел |
|
в |
показателе |
|
степени: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→1 |
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
xln(2x −1) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
ln(2x −1) |
+ 2x /(2x − |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= lim |
[xln(2x −1)] |
= lim |
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
||||||||||||||||||||
|
|
x2 −1 |
|
|
|
|
|
|
[x2 |
−1]′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x→1 |
|
|
|
0 |
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
lim(2x −1) x2 −1 |
= e . Ответ: lim(2x −1) x2 −1 |
= e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: lim((π − 2arctg x) ln x). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это неопределённость вида (0·∞). Преобразуем предел: lim((π − 2arctg x) ln x) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
π − 2arctg x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
[π |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
− 2/(1 |
+ x |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
2xln |
2 |
x |
∞ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2arctg x] |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= |
|||||||||||||||||||
ln−1 x |
|
|
|
[ln−1 x]′ |
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x2 ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
x→∞ (−ln |
x)/ x |
|
x→∞ (1 |
∞ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2ln2 x + 4ln x |
|
|
|
|
|
|
4(ln x + |
1)/ x |
|
|
|
|
|
|
2(ln x +1) |
|
|
|
|
2/ x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
= 0. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
x |
|
x→∞ 1 |
|
|
|
x→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Ответ: lim((π − 2arctg x) ln x) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
21. Многочлен по степеням x |
представить |
в виде |
многочлена по |
|
степеням |
(x − x0 ) : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) = x4 + 2x |
2 − x − 3, x |
0 |
= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем |
формулу |
|
Тейлора |
|
для |
многочлена |
|
четвёртой |
|
степени: |
|||||||||||||
f (x) = f (x |
|
) + f ′(x |
|
)(x − x |
|
) + |
f ′(x0 ) |
(x − x |
|
)2 + |
f |
′(x0 ) |
(x − x |
|
)3 |
+ |
f (4) (x0 ) |
(x − x |
|
)4 . |
|||
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
3! |
|
|
|
|
4! |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдём все производные: |
|
|
f ′(x) = 4x3 + 4x −1, f ′(x) = 12x2 + 4, |
f |
′(x) = 24x , f (4) (x) = 24 . |
||||||||||||||||||
Тогда f (2) = 19, |
|
|
f ′(2) = 39, f ′(2) = 52, |
f ′(2) = 48, f (4) |
(2) = 24. Подставив |
это в |
|||||||||||||||||
формулу, получим: f (x) = 19 + 39(x − 2) + 26(x − 2)2 + 8(x − 2)3 + (x − 2)4 . |
|
|
|||||||||||||||||||||
Ответ: f (x) = 19 + 39(x − 2) + 26(x − 2)2 + 8(x − 2)3 + (x − 2) |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию f (x) в окрестности точки x0 с
точностью до o((x − x |
|
)3 ) : |
|
|
|
f (x) = |
1 |
|
|
|
|
, x |
|
|
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Применяем формулу Тейлора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f |
(x) = f (x |
|
) + f |
′(x |
|
|
|
)(x − x |
|
) + |
|
|
f ′′(x0 ) |
(x − x |
|
|
)2 |
+ |
|
|
f ′′′(x0 ) |
(x − x |
|
|
) |
3 + o((x − x |
|
|
)3 ) . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вычисляем последовательно: f (1) = |
1 |
|
, |
|
|
f ′(x) = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
f ′(1) = − |
1 |
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
f ′(x) = |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
] = |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x +1 |
, f ′(1) = |
1 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
( |
|
|
|
x +1)2 |
+ |
|
|
|
|
x 2( |
|
x +1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 x( x +1)4 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
4 x( x +1)3 x |
|
|
8 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
( |
|
+1)3 + |
3 |
|
|
|
x |
|
( |
|
+1)2 ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x( x +1)3 − (3 x +1) ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f ′(x) = |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 ( |
|
|
x +1)6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
( |
|
+1) + |
3 |
x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x( x +1) − (3 x +1) ( |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 2 |
2x2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
x |
, |
|
f ′(1) = − |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 ( |
|
|
|
|
|
+1)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Ответ: f (x) = |
1 |
− |
1 |
(x −1) + |
1 |
(x −1)2 |
|
− |
5 |
|
|
(x −1)3 + o((x −1)3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
128 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора:
f (x) = x2 − 4x − (x − 2)ln(x −1), x |
0 |
= 2. |
|
|
Найдём значение функции и её первых трёх производных в заданной точке:
f (2) = −4, f ′(x) = 2x − 4 − ln(x − |
1) − (x − 2)(x −1)−1, |
f ′(2) = 0, |
||
f ′(x) = 2 − 2(x −1)−1 + (x − 2)(x −1)−2 , f ′(2) = 0, f |
′(x) = 3(x −1)−2 − 2(x − 2)(x −1)−3 , |
|||
f ′′′(2) = 3 . По формуле Тейлора |
f (x) = −4 + |
1 |
(x − 2)3 + o((x − 2)3 ). Ответ: В окрестности |
|
|
2 точки (2, -4) функция ведёт себя как кубическая функция. Точка (2, -4) является точкой
перегиба: слева – интервал выпуклости, справа – интервал вогнутости.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x2 − cos( |
|
x) |
|
|
|
|
|||||||||
24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: lim |
|
e |
2 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
По формуле Тейлора e−x2 = 1+ (−x2 ) + |
1 |
(−x2 )2 |
+ |
1 |
(−x2 )3 + o((−x2 )3 ) = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2! |
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= 1− x2 |
+ |
1 |
|
− |
1 |
x6 + o(x6 ) . Аналогично, cos |
|
x = 1− |
1 |
( |
|
|
|
+ |
1 |
( |
|
x)4 + o(( |
|
x)4 ) = |
||||||||||||
x4 |
2 |
|
2x)2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−x2 − cos( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= 1− x2 |
+ |
1 |
x4 |
+ o(4x4 ) . Подставим это в предел: lim |
2x) |
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x2 + 1 x4 − 1 x6 + o(x6 ) − (1− x2 + 1 x4 + o(4x4 )) |
1 x4 − 1 x4 + o(4x4 )) |
1 . |
|
|
||||||||||||||
lim |
|
2 |
|
6 |
x4 |
|
|
6 |
|
|
= lim 2 |
6 |
|
= |
|
|
||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x4 |
|
|
3 |
|
|
||
Ответ: lim |
e−x2 − cos( 2x) |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: y = 3 − 3ln |
x . |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 4 |
|
|
|
|
|
|
Область определения функции: x (−∞, − 4) (0, ∞) . Функция непрерывна в каждой |
|||||||||||||||||
точке области определения. Найдём односторонние пределы |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
в |
граничных |
точках |
области |
определения: |
|
|
12 |
|
|
|
||||||||
lim (3 − 3ln |
x |
) = ∞, lim(3 − 3ln |
x |
) = ∞ . |
Отсюда |
|
|
8 |
|
|
|
|||||||
x→−4−0 |
|
x |
+ 4 |
x→+0 |
|
x |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
следует, |
что |
|
прямые |
|
x = −4 |
и |
x = 0 |
являются |
|
|
4 |
|
|
|
||||
односторонними |
вертикальными |
асимптотами. Исследуем |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
функцию |
|
|
|
|
при |
|
|
|
|
x → ±∞ : |
18 |
12 |
6 |
0 |
6 |
12 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim (3 − 3ln |
x |
) = 3 − 3ln1 = 3, lim (3 − 3ln |
x |
) = 3 − 3ln1 = 3 |
|
|
4 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→−∞ |
|
x + 4 |
|
|
x→+∞ |
|
|
x + 4 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
||
. Следовательно, |
прямая |
y = 3 |
является |
горизонтальной |
|
|
|
|
|
|
||||||||
асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке. |
|
|
|
|
|
|
26.Провести полное исследование поведения функции и построить её график: y = e3 x .
1.Область определения: x (−∞, ∞) . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. 3. Функция непрерывна. Вертикальных асимптот нет. 4.
lime |
3 x |
|
= ∞, |
lim e |
3 x |
= 0 , следовательно, наклонных асимптот нет. 5. Первая производная |
|||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y′ = 1 e |
3 x |
. Производная в нуль не обращается ни в одной точке, следовательно, |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
3 3 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
экстремумов нет. Функция монотонно возрастает, так как y′ > 0 для всех x. 6. |
|
|
|||||||||||||||||||||
y ′ = 1 |
|
|
|
3 x |
′ |
= 1 e |
3 x |
(1/ 3) |
− (2/3)x |
−1/ 3 |
3 x |
= |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
3 |
x |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
x4 / 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
e3 x [1− 2x |
−1/ 3 ] |
= |
1 |
|
e3 x [3 |
x − 2] |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x4 / 3 |
|
|
|
. В точке x = 8 вторая производная равна нулю. Кроме |
||||||||||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
того, в точке x = 0 вторая производная не существует. Имеем три интервала: в интервале |
|||||||||||||||||||||||
(−∞, 0) |
|
|
производная y′′ > 0 - интервал вогнутости, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
в интервале (0, 8) |
производная y′′ < 0 - интервал |
|
10 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
выпуклости, в интервале (8, ∞) производная |
|
7.5 |
|
|
|
||||||||||||||||||
y′′ > 0 - интервал вогнутости. 7. При |
x = 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
функция равна y = e0 = 1. Точка (0, 1) – точка |
|
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
пересечения оси ОУ. С осью ОХ график не |
|
|
2.5 |
|
|
|
|||||||||||||||||
пересекается. Ответ: График функции представлен |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
на рисунке, экстремумов нет, точки перегиба (0, 1) |
4 |
0 |
4 |
8 |
12 |
||||||||||||||||||
и (8, e2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|