m2var08
.pdfВариант № 8
В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить дифференцированием.
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sin xdx |
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подведение под |
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∫ |
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= |
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= − |
∫(3 + 2cos x) 3 d(3+ 2cos x) = |
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3+ 2cos x |
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знак дифференциала |
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+ С = − |
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= − |
(3+ 2cos x)3 |
(3 + 2cos x)2 |
+ С . |
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′ |
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2 |
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− |
1 |
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sin x |
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Проверка: |
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(3 + 2cos x)3 |
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+ |
С |
= − |
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(3 + 2cos x) 3 2(−sin x)− = |
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. |
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3 |
3 |
+ 2cos x |
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sin xdx |
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3 |
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Ответ: |
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= − |
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(3+ 2cos x)2 + С . |
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3 3 + 2cos x |
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2. |
∫x ln2 xdx . Интегрируем дважды по частям: ∫u dv = uv − ∫v du . |
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ln2 x = u, |
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du = 2ln x |
dx |
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ln x = u, |
du = |
dx |
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∫x ln2 xdx = |
x |
= |
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x2 |
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ln2 x − ∫xln xdx = |
x2 |
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= |
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x |
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xdx = dv, |
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v = |
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xdx = dv, |
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v = |
x |
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2 |
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||||||||
= |
x2 |
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ln2 x − |
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x2 |
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ln x + |
1 |
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∫x2 |
dx |
= |
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x2 |
ln2 x − |
x2 |
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ln x + |
x2 |
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+ C = |
x2 |
(2ln2 x − 2ln x +1) + C . |
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2 |
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2 |
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2 |
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x |
2 |
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′ |
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4 |
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x2 |
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2x |
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x2 |
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1 |
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Проверка: |
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(2ln2 x |
− 2ln x +1) + C |
= |
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(2ln2 x − 2ln x +1) + |
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(4ln x − |
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2) |
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= xln2 |
x . |
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4 |
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x |
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Ответ: ∫xln2 xdx = |
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x2 |
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(2ln2 x − 2ln x +1) + C . |
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3. |
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∫ |
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2x − 5 |
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dx = |
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∫ |
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2x +1− 6 |
dx =∫ |
d(1− x − x2 |
) |
dx − 6∫ |
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dx |
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= |
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1− x − x2 |
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1− x − x2 |
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1− x − x2 |
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5/ 4 − (x2 + x +1/ 4) |
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− 6∫ |
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dx |
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− 6arcsin |
x + |
1/ 2 |
+ C = |
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= −2 1− x − x2 |
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= − 2 |
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|
1− x − x2 |
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5/ 4 − (x +1/ 2)2 |
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5 / 2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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− 6arcsin |
2x |
+ |
1 |
+ C . |
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= −2 1− x − x2 |
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′ |
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5 |
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2x +1 |
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Проверка: − 2 |
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1− x − x2 − 6arcsin |
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+ C = |
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5 |
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|||||||||
= −2 |
− 2x −1 |
|
− 6 |
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|
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|
2 |
|
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|
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|
1 |
|
= |
|
|
|
|
2x +1 |
|
− |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
2x − 5 |
|
. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
2 |
|
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|
|
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|
2 |
|
|
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|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x − x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 1− x − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
(2x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 − 4x − 4x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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5 |
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Ответ: ∫ |
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2x − 5 |
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− 6arcsin |
2x |
+ |
1 |
+ C . |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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dx = −2 |
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1− x − x2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
1− x − x2 |
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5 |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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|
∫ |
|
2x4 + 8x3 + x2 + x − 20 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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4. |
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|
dx . Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x |
3 |
(x + 5) |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
||||||||||||||||||||||
часть на простые дроби. ∫ |
|
2x4 |
|
+ 8x3 + x2 + x − 20 |
|
|
∫[2 + |
− 2x3 + x |
2 + x − 20 |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
dx = |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
]dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
(x |
+ 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
(x + 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2x3 + x2 + x − 20 |
= |
A |
+ |
B |
+ |
C |
|
+ |
D |
|
= |
Ax2 (x + 5) + Bx(x + 5) |
+ C(x + 5) |
+ Dx3 |
|
|
|
x3 (x + |
|
|
|
x3 |
x + 5 |
x3 (x + 5) |
|
|
|||||||||
5) |
|
x x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ax2 (x + 5) + Bx(x + 5) + C(x + 5) + Dx3 |
= −2x3 + x2 + x − 20 . Полагаем |
x = 0, |
получим |
||||||||||||||
C = −4. Из |
равенства x = −5 |
следует |
D = −2. Приравнивая |
коэффициенты |
при x3 , |
получим A + D = −2 . Или A = 0. Приравнивая коэффициенты при |
x2 , получим A + B = 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Или |
|
|
|
|
|
|
|
|
B = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким |
|
|
|
|
|
|
|
|
образом, |
||||
∫ |
2x4 |
+ 8x3 + x2 + x − 20 |
dx = ∫[2 + |
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
]dx = 2x − |
|
+ |
|
|
|
− 2ln |
x + 5 |
+ C |
|
|
|||||
|
|
x |
3 |
(x + 5) |
|
|
|
x |
2 |
|
|
x |
3 |
|
|
x + 5 |
x |
x |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||
Проверка: |
|
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|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
2x4 +10x3 |
+ x2 + 5x − 4x − 20 |
− 2x3 |
||||||||||||||
2x − |
|
+ |
|
|
− 2ln |
x |
+ 5 |
|
+ C = 2 + |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x x2 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
x3 |
|
|
|
x + 5 |
|
|
|
|
|
x3 |
(x + 5) |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=2x4 + 8x3 + x2 + x − 20 . x3 (x + 5)
Ответ: ∫ |
|
2x4 |
+ 8x3 + x2 + x − 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = 2x − |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2ln |
x + 5 |
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
(x |
+ 5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Вычисляем интеграл с помощью разложения на простые дроби. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
+ x |
2 |
|
|
+ 2x + |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
A |
|
|
+ |
|
Bx + C |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x |
3 |
+ x |
2 |
+ 2x |
+ 2 |
|
|
(x |
2 |
+ 2)(x |
+ |
1) |
|
(x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
x |
2 |
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2)(x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
A(x2 |
|
+ 2) + (Bx + C)(x +1) |
|
|
A(x2 + 2) + (Bx + C)(x +1) = 1. Полагая x = −1, получим |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + |
|
2)(x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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A = 1/3 . Приравняем коэффициенты при x2 : A + B = 0 B = −1/ 3. Приравняем |
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коэффициенты при x : B + C = 0 C = 1/ 3. Следовательно, |
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]dx = |
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ln |
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x |
+1 |
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− |
1 |
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+ 2) + |
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+ C = |
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+ x |
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+ 2 |
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x2 + 2 |
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2 |
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Проверка: |
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′ |
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2x |
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x +1 |
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x2 + 2 − (x +1) |
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2 |
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+ 2 |
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2 |
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1 |
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x |
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1 |
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x |
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x + 2 |
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ln |
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x +1 |
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2 |
+ 2 |
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3 |
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x + 2 |
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3 2 |
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2 |
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3 |
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x |
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+ |
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1 |
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1 |
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= |
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x2 + 2 − x2 − x |
+ |
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x +1 |
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= |
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. |
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(x +1)(x2 |
+ |
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3 2 |
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1+ |
x |
2 |
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2 |
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3 |
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|
2) |
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|
3 |
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(x +1)(x2 |
+ 2) |
|
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(x |
+1)(x2 |
+ 2) |
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2 |
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Ответ: ∫ |
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dx |
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3 |
+ x |
2 |
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+ 2x + |
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x2 + 2 |
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x |
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2 3 |
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3 2 |
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2 |
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6. ∫ x + 4xx3 dx . Интегрируем с помощью замены переменной.
∫ |
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x |
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dx |
= |
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x = t4 , dx = 4t3dt |
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= ∫ |
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t2 |
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4t3dt |
|
= 4∫ |
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t2dt |
= 4∫ |
[t −1+ |
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1 |
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]dt |
= |
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4 |
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3 |
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x |
+ 4 x3 |
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t |
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+ t |
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1 |
+ t |
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1 |
+ t |
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t2 |
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= 4( |
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− t + ln |
t +1) + C = 2t2 − 4t + 4ln |
t +1 |
|
+ C = 2 x − 4 4 x + 4ln |
4 x +1 |
+ C . |
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2 |
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Проверка: |
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||||||||||||||||||
(2 |
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+ C)′ = |
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− 4 4 |
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+ 4ln |
|
4 |
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+1 |
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1 |
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− 4 |
1 |
x−3/ 4 + 4 |
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1 |
|
|
|
|
|
1 |
x−3/ 4 = |
(1+ 4 x)x3 |
/ 4 |
− x |
|
(1+ 4 x) + x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x |
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4 |
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1 |
+ 4 x 4 |
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x(1+ 4 x)x3/ 4 |
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|||||||||||||||||
= |
x3/ 4 + x − x − x3/ 4 + x |
= |
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x |
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= |
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x |
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. |
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x(1+ 4 x)x3/ 4 |
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x(1+ 4 x)x3/ 4 |
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4 x3 + x |
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Ответ: ∫ |
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x |
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dx = 2 x − 4 4 |
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x + 4ln |
4 x +1 |
+ C . |
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x + 4 |
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x3 |
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7. ∫ |
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dx |
. Интегрируем с помощью замены переменной. |
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x2 |
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4 − x2 |
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∫ |
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dx |
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1 |
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dx |
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= −∫ |
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dt |
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= −∫ |
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tdt |
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1 |
∫ |
d(4t2 −1) |
= |
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= |
t = |
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, dt = − |
, |
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= − |
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2 |
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x2 4 − x2 |
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x |
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x |
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4 −1/t2 |
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4t2 −1 |
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8 |
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4t2 −1 |
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1 |
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1 |
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4 − x2 |
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||||||||||||
= − |
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4t2 |
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− |
1 + C = − |
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4/ x2 − |
1 + C = − |
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+ C . |
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4 |
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4 |
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4x |
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′ |
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− |
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2x x |
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− 4 − x2 |
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2 |
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2 |
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4 − x |
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1 |
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2 |
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4 − x |
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1 |
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Проверка: |
− |
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+ C |
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= − |
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= |
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4x |
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4 |
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x |
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x |
2 |
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4 − x |
2 |
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Ответ: ∫ |
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dx |
= − |
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4 − x2 |
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+ C . |
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4 − x2 |
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4x |
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8. ∫cos4xcos7xdx . Интегрируем после предварительных преобразований. |
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∫cos4xcos7xdx = |
1 |
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∫[cos3x + cos11x]dx = |
1 |
sin 3x + |
1 |
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sin11x + C |
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− ∫sin2 x dx = tg x − x − |
1 |
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∫(1− cos2x) dx =tg x − |
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x + |
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sin 2x + C . |
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Проверка: |
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− 3 |
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11 |
+ 3 |
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sin 3x + |
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sin11x |
+ C |
= |
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cos3x + |
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cos11x = |
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x = cos4xcos7x |
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2 |
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Ответ: ∫cos4xcos7xdx = |
1 |
sin 3x + |
1 |
sin11x + C . |
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dx
9. ∫ 4sin x + 3cos x +1. Интегрируем с помощью замены переменной.
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t = tg |
x |
, |
dx = |
2dt |
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, |
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||||||
∫ |
dx |
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= |
2 |
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1+ t2 |
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= ∫ |
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2dt |
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= |
||||||
4sin x + 3cos x +1 |
sin x = |
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2t |
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= |
1− t |
2 |
|
8t |
|
|
3(1− t |
2 |
) |
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||||||||||
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, cos x |
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+ |
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+1 (1 |
+ t2 ) |
|||||||
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2 |
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|
2 |
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|||||||||||||
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2 |
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2 |
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||||||||||||||
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1+ t |
|
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1+ t |
|
|
+ t |
|
1+ t |
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||||||||||
|
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1 |
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|||||||||
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= |
2∫ |
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dt |
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=2∫ |
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dt |
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=∫ |
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dt |
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=∫ |
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dt |
|
=∫ |
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dt |
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|
= |
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8t |
+ 3− 3t |
2 |
+1+ t |
2 |
8t |
+ |
4 − 2t |
2 |
4t |
+ 2 |
− t |
2 |
|
6 − (t |
2 |
− |
|
6 − (t − |
2) |
2 |
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4t + 4) |
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tg(x / 2) − 2 + |
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||||||||||||||||||||||||||
= |
1 |
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ln |
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t − 2 + |
6 |
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+ C = |
1 |
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ln |
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6 |
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+ C . |
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t − 2 − 6 |
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tg(x / 2) − 2 − 6 |
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2 6 |
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2 6 |
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Проверка: |
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′ |
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tg(x / 2) − 2 + 6 |
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ln |
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+ C |
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= |
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[ |
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− |
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] |
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= |
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tg(x / 2) − 2 − 6 |
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6 tg(x / 2) − 2 + |
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6 tg(x / 2) − 2 − |
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6 2cos |
2 |
(x / 2) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 6 |
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2 |
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|
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|||||||||||||||
= |
1 |
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tg(x/ 2) − 2 − 6 − tg(x / 2) + 2 − 6 |
|
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1 |
|
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= |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2 6 |
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|
(tg(x / 2) − 2)2 |
− 6 |
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2cos2 (x / 2) |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
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1 |
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1 |
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|
= |
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1 |
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= |
|||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 − (tg2 (x / 2) − 4tg(x / 2) + 4)2 |
2cos2 (x / 2) |
4cos2 (x / 2) − 2sin2 (x/ 2) + 8sin(x / 2)cos(x / 2) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
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1 |
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= |
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1 |
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|
. |
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||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2cos x + (1+ cos x) + 4sin x |
4sin x + 3cos x +1 |
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dx |
|
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|
tg(x / 2) − 2 + |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: ∫ |
|
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|
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|
|
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|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
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|
|
ln |
6 |
|
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4sin x |
+ 3cos x + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
tg(x / 2) − 2 − |
|
|
|
|
|
|
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|
2 |
6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
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|
|
Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.
|
∞ |
|
x |
3 |
|
|
a |
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
a |
|
dx |
4 |
|
|
1 |
|
a |
|||
10. |
∫ |
|
|
dx |
= lim |
∫ |
|
|
|
|
dx = |
lim |
|
|
|
= |
lim arctg x4 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
8 |
+1 |
a→∞ |
x |
8 |
+1 |
|
|
4 |
a→−∞ ∫ |
(x |
4 |
) |
2 |
+1 |
4 |
a→−∞ |
1 |
|||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
x3 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Интеграл сходится. |
Ответ: ∫ |
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
. Интеграл сходится. |
|
|||||||||||||||||||
x |
8 |
+1 |
16 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
=1 (π − π ) = π .
4 2 4 16
|
1 |
|
dx |
|
|
|
|
1 |
dx |
|
1 |
x−1/ 3dx = |
3 |
limx2 / 3 |
|
1 |
= |
3 |
|
|||||
11. |
|
|
|
= lim |
|
= lim |
|
|
. Интеграл сходится. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∫3 |
x |
|
|
α →0 |
∫ 3 |
x |
α →0 |
∫ |
2 |
α →0 |
|
α |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
α |
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
dx |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: ∫ |
|
= |
. Интеграл сходится. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.
y |
= −x2 + x + 3 = f |
1 |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
. |
Найдём точки пересечения |
|
|
||||||||||
= −x = f2 (x) |
|
|
|
||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
линий: |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
− x2 + x + 3 = −x x2 − 2x − 3 = 0 x = −1, x |
2 |
= 3. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
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|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = ∫[ f1 (x) − f2 (x)]dx = ∫[−x2 + x + 3 + x]dx = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x1 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
x |
3 |
|
3 |
|
|
`1 |
|
`32 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= ∫[3+ 2x −x2 ]dx = [3x + x2 − |
|
] |
= 9 + 9 − 9 + 3−1− |
= |
= 10 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
−1 |
|
|
|
3 |
|
−1 |
|
3 3 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Ответ: S = 10 2 . 3
|
16 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
13. ρ = 6sin3ϕ . Это трёхлепестковая роза и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ρ = 3, ρ ≥ 3 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
|
|
6 |
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
||||||||||||
окружность. Найдём точки пересечения линий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
150 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6sin3ϕ = |
|
3 sin 3ϕ |
= |
1 |
|
3ϕ |
= kπ + (−1) |
k π |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 sin(3α) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ϕ = |
kπ |
+ (−1)k |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
. Вычислим площадь для одного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
210 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
330 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
||||||
лепестка и утроим её (ϕ0 = |
π |
, ϕ1 |
= |
5π |
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
240 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
300 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
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α |
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ϕ1 |
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5π /18 |
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S = 3 |
∫ |
[ρ 2 (ϕ) − ρ 2 (ϕ)]dϕ = |
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∫ |
[36sin2 3ϕ − 9]dϕ = |
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2 |
2 |
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ϕ |
0 |
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π /18 |
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5π /18 |
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27 |
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5π /18 |
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27 |
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1 |
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5π /18 |
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2π |
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27 |
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3 |
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= |
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∫[4sin2 3ϕ −1]dϕ = |
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∫[2(1− cos6ϕ) −1]dϕ = |
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[ϕ − |
sin 6ϕ] |
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= |
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[ |
+ |
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] = |
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2 |
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π /18 |
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2 |
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π /18 |
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2 |
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3 |
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π /18 |
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2 9 |
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3 |
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= 3π + |
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. Ответ: S = 3π + |
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y = ln(x2 −1) |
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14. Вычислите длину дуги кривой (L): |
≤ x ≤ |
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x2 |
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3 |
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x4 − 2x2 +1+ 4x2 |
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x2 +1 |
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L = ∫ |
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1+ y′2 dx = ∫ |
1+ [2x /(x2 |
−1)]2 dx = ∫ |
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dx = ∫ |
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dx = |
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(x |
2 |
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−1) |
2 |
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x |
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−1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
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2 |
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2 |
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2 |
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1 |
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3 x2 −1+ 2 |
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x − |
1 |
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3 |
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2 |
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1 |
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1 |
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3 |
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3 |
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= ∫ |
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dx =(x + ln |
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) |
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= |
1+ ln |
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− ln |
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= 1+ ln( |
|
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) = 1 |
+ ln |
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. |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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x |
2 |
− |
1 |
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x + |
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4 |
3 |
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1 |
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2 |
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2 1 |
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2 |
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Ответ: L = 1+ ln |
3 |
. |
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2 |
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y = 2x , |
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вокруг оси OX. |
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15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S) |
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y = x +1 |
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Найдём точки пересечения линий: |
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2x = x +1 |
x = 0, x |
2 |
= 1. |
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1 |
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2 |
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x2 |
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1 |
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|
V = π ∫(y22 −y12 )dx = π ∫[(x +1)2 − 22x ]dx = |
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x1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
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|
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|
|
(x +1)3 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5 |
|
|
||
22x ] |
= π ( |
8 |
− |
1 |
− |
2 |
+ |
1 |
|
|
|||||||
= π[ |
|
− |
ln 2 |
|
|
|
) = |
|
|
||||||||
|
3 |
2 |
|
|
0 |
|
3 3 ln 2 2ln 2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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7 |
− |
3 |
|
|
|
|
7 |
− |
|
3 |
). |
|
1 |
0.5 |
1 |
||
= π ( |
). |
Ответ: V = π ( |
|
|
|
|
0 |
||||||||||
3 |
2ln 2 |
|
|
|
|
3 |
|
2ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
y = 3(1 |
− cost) |
≤ t ≤ 2π |
||
16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L) |
, 0 |
|||||||||||||
|
|
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|
x = 3(t |
− sint) |
|
||
(циклоида) вокруг оси OX. |
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|
||||
x2 |
|
|
|
2π |
|
|
|
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|
|
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|
|
P = 2π ∫ y(t) x′2 |
+ y′2 dt = 2π ∫3(1− cost) |
9(1− cost)2 + 9sin2 t dt = |
|
|
|
|
||||||||
x1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2π |
|
|
2π |
|
t |
|
|
|
2π |
|
t |
|
|
|
= 18π ∫(1− cost) |
|
|
dt = 18π ∫2sin2 |
|
|
4sin2 (t / 2) |
dt = 72π ∫sin3 |
dt = |
|
|||||
2(1− cost) |
|
|||||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||
0 |
|
0 |
0 |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2π |
t |
|
t |
|
t |
|
1 |
|
t |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= −144π ∫(1− cos2 |
)d cos |
dt = −144π[cos |
− |
cos3 |
] |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
2 |
2 |
2 |
3 |
|
2 |
|
|
0 |
||||
|
|
= −144π[−1−1+ 1 + 1] = 192π . . 3 3
Ответ: P = 192π .
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|
Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей |
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математике. |
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17. ∫ |
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|
cosaxdx |
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|
. По справочнику находим: |
∫ |
|
|
|
cosaxdx |
|
|
|
|
= − |
1 |
|
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|
|
1± sin ax |
|
. |
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|
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|
ln |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
sin ax(1± sin ax) |
|
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|
sin ax(1± sin ax) |
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|
a |
|
sin ax |
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Ответ: ∫ |
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|
cosaxdx |
|
|
|
= − |
1 |
|
|
|
1± sin ax |
|
. (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие |
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|
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|
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|
|
ln |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin ax(1± sin ax) |
|
|
sin ax |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
a |
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математические формулы.) |
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|
∞ |
|
cosax − cosbx |
|
|
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|
|
|
∞ |
|
|
|
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|
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||||||||||||
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|
18. ∫ |
dx . По справочнику находим: |
|
|
∫ |
cosax − cosbx |
dx = ln |
b |
, (a,b > 0).. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
0 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
0 |
|
|
|
|
x |
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|
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|
|
|
a |
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||||||||||
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|||||||
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|
∞ |
− cosbx |
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Ответ: ∫ |
cosax |
dx = ln |
b |
, (a,b > 0). |
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|
0 |
|
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|
x |
|
|
|
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|
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|
a |
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19. Найдите силу давления воды на вертикальную площадку, огораниченную |
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эллипсом с осями 2a и 2b, центр которого погружён в |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
воду на уровень h, причём большая ось 2a эллипса |
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|
b |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
параллельна уровню жидкости (h≥b). |
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x2 |
|
y2 |
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-a |
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|
h |
||||||||||||||
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|
Уравнение эллипса |
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|
+ |
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|
= 1, если начало |
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|
x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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a |
2 |
b |
2 |
|
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|
y a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||
координат находится в центре эллипса. Площадь |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
элементарной площадке на уровне y , будет равна |
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-b |
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2a |
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dS = 2xdy = |
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b2 − y2 dy . Давление на эту |
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b |
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||||
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2a |
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элементарную площадку будет равно dP = |
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b2 − y2 (h − y)dy . Следовательно, |
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|
b |
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b |
2a |
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y = bsint, dy = bcostdt, |
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2a |
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π / 2 |
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P = ∫ |
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b2 − y2 (h − y)dy = |
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= |
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b2 ∫cos2 t(h − bsint)dt = |
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b |
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b |
2 |
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− y |
2 |
= bcost |
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−b |
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b |
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−π / 2 |
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h |
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π / 2 |
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cos |
3 |
t |
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π / 2 |
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h |
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1 |
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π / 2 |
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= 2ab[ |
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∫(1+ cos2t)dt + b |
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= 2ab[ |
(t + |
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sin 2t) |
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+ 0 = abhπ . Ответ: P = abhπ . |
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2 |
−π / 2 |
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3 |
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−π / 2 |
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2 |
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2 |
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−π / 2 |
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20. В цилиндрическом сосуде объёмом V |
0 |
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= 0.1 м3 находится воздух под давлением |
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P = 1.033 кг/см2, который подвергается сжатию быстрым давлением поршня. Какую |
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0 |
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работу нужно совершить, чтобы сжать в сосуде воздух до объёма V = 0.03 м3? |
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По закону Бойля-Мариотта VP = V P = Const , т.е. P = |
V0 P0 |
. Пусть дно цилиндра |
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0 |
0 |
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V |
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||||
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||||
расположено в точке x=0, в точке x=x0 – начальное положение поршня, x – текущее |
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положение поршня, x1 – конечное положение поршня.. Тогда |
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V |
0 |
= πR2 x |
0 |
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, V = πR2 x,V = πR2 x |
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. Из этого следует, что dV = πR2dx . В положении |
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1 |
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1 |
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поршня x давление на поршень составит величину πR2 |
V0 P0 |
. Таким образом, на участке |
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V |
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(x, x+dx) необходимо совершить работу dA = πR2 |
V0 P0 |
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dx = πR2 |
V0 P0 |
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dV |
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= V |
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P |
dV |
. |
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πR2 |
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V |
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V |
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|
0 0 |
|
|
V |
Следовательно,
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V0 |
|
|
dV |
|
|
V0 |
dV |
|
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V |
0.1 |
10 |
|
||
A = |
∫ |
|
|
|
= V P |
∫ |
|
= V P lnV |
V1 |
= 0.1 1.033104 ln |
|
= 1033 ln |
|
= 1244 |
||
|
V P |
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||
|
|
0 |
0 |
V |
0 |
0 |
|
V |
0 |
0 |
|
0.03 |
3 |
|
||
|
V |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
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Ответ: A = 1244 кГм.