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Вариант № 17 |
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В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференцированием. |
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1. |
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∫ |
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1− 2x |
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dx = ∫ |
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dx |
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− ∫ |
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2xdx |
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= |
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= |
1 |
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∫ |
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d 2x) |
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+ |
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подведение под |
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1− 4x2 |
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1− 4x2 |
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1− 4x2 |
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знак дифференциала |
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2 |
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1− 2x)2 |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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|||||||||||||||||||
+ |
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∫ 1− 4x2 )− |
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d 1− 4x2 ) = |
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arcsin 2x + |
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1− 4x2 ) |
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+ C = |
(arcsin 2x + |
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1− 4x2 ) + C . |
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2 |
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2 |
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2 |
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4 |
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2 |
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2 |
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1 |
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′ |
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1 |
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2 |
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− 8x |
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1− 2x |
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2 |
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Проверка: |
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(arcsin 2x + |
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1− |
4x |
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) |
+ C |
= |
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( |
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+ |
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) |
= |
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. |
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2 |
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2 |
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1− 4x2 |
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2 1− 4x2 |
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1− 4x2 |
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Ответ: ∫ |
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1− 2x |
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1 |
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dx = |
(arcsin 2x + |
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1− 4x2 ) + C . |
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1− 4x2 |
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2 |
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2. ∫x ln(x −1)dx . Интегрируем по частям: ∫u dv = uv − ∫v du . |
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ln(x −1) = u, |
du = |
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dx |
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∫x ln(x −1)dx = |
x −1 |
= |
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x2 |
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ln(x − |
1) − |
1 |
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∫ |
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x |
2 |
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dx |
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= |
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x |
2 |
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ln (x −1) − |
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x |
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2 |
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2 |
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x − |
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2 |
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xdx = dv, |
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v = |
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− |
1 |
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∫ |
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(x2 −1+1)dx |
= |
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x2 |
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ln(x −1) − |
1 |
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∫ (x +1)dx − |
1 |
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∫ |
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dx |
= |
(x2 −1) |
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ln(x −1) − |
x2 |
− |
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x |
+ C . |
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2 |
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x −1 |
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2 |
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2 |
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|
′ |
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2 |
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x −1 |
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2 |
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4 |
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2 |
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(x2 − |
1) |
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x |
2 |
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x |
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2x |
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(x2 |
−1) |
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x |
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1 |
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Проверка: |
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ln(x |
−1) − |
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− |
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+ C |
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= |
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ln(x −1) + |
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− |
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− |
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= xln(x −1) . |
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2(x −1) 2 2 |
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Ответ: ∫xln(x −1)dx = |
(x2 −1) |
ln(x −1) − |
x2 |
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− |
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x |
+ C . |
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2 |
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3. ∫ |
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x |
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dx . Интегрируем после преобразований. |
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2 + 3x − 2x2 |
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∫ |
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x |
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dx = − |
1 |
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∫ |
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3 − 4x − 3 |
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dx = − |
1 |
|
∫ |
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d |
2 + 3x − 2x2 |
) |
dx + |
3 |
|
∫ |
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dx |
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= |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 + 3x − 2x2 |
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4 |
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2 + 3x − 2x2 |
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4 |
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2 + 3x − 2x2 |
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|
4 |
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2 + 3x − 2x2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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+ |
3 |
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∫ |
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dx |
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= − |
1 |
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+ |
3 |
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∫ |
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dx |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= − |
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2 + 3x − 2x2 |
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2 + 3x − 2x2 |
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= |
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2 |
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4 |
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25 |
− 2(x2 − 2 |
3 |
x + |
9 |
) |
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2 |
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4 2 |
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25 |
− (x − |
3 |
)2 |
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8 |
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4 |
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16 |
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16 |
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4 |
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1 |
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3 |
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arcsin |
x − 3/ 4 |
+ C = C − |
1 |
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|
|
|
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|
|
3 |
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|
|
|
|
arcsin |
4x − 3 |
. |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= − |
|
|
|
2 + 3x − 2x2 |
+ |
|
|
|
|
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2 + 3x − 2x2 |
+ |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2 |
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4 |
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2 |
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5/ 4 |
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2 |
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4 |
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2 |
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5 |
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1 |
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3 |
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4x |
− |
3 ′ |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
Проверка: C − |
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2 + 3x |
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− 2x2 + |
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arcsin |
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= |
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4 |
2 |
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5 |
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|||||||||||||||||||||||
= − |
1 |
|
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|
|
|
|
− 4x + 3 |
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|
|
|
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|
|
+ |
3 |
|
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|
|
|
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1 |
|
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|
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|
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|
|
4 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 2 + 3x − |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x − |
|
|
|
|
|
|
|
4 2 + 3x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 24x − 9 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
3) |
2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16x |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x − 3 |
|
|
|
|
+ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 2 + 3x − 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 2 2 + 3x − 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 3x − 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
arcsin |
4x − 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = C − |
|
|
|
2 + 3x − 2x2 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2x2 − 5x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
4. |
∫ |
2x |
|
|
|
9x |
|
+ |
|
4x − 6x |
|
dx . Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
+ 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
+ 9x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
− 6x |
− 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
часть на простые дроби. ∫ |
2x |
|
|
|
+ 4x |
dx = ∫[2x +1− 2 |
|
|
|
]dx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
+ 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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(x + 4) |
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x + 3 |
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= |
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A |
+ |
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B |
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+ |
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C |
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= |
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Ax(x + 4) + B(x + 4) + Cx2 |
|
|
Ax(x + 4) + B(x + 4) + Cx2 = 3x + 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 (x + 4) |
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x + 4 |
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x2 (x + 4) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x x2 |
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. Полагаем |
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x = 0, получим B = 1. Из равенства |
x = −4 |
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следует C = −1/ 2 . Приравнивая |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
коэффициенты |
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при |
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x2 , |
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получим |
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A + C = 0. |
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Или |
A = 1/ 2. |
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|
Таким |
образом, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
2x |
4 |
+ |
9x |
3 |
|
+ 4x |
2 |
|
− 6x − 8 |
dx = ∫[2x +1− |
1 |
|
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2 |
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1 |
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2 |
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− |
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|
+ |
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]dx = x2 + x + |
− ln |
x |
+ ln |
x + 4 |
+ C = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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3 |
|
+ 4x |
2 |
|
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2 |
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+ 4 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
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x |
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|
x |
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|
x |
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|
x |
|
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|
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||||||||||||||||||||||
= x2 |
|
+ x + |
2 |
− ln |
|
|
|
|
|
x |
|
|
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|
+ C |
|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
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|
x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
x |
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||
Проверка: |
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|
′ |
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|||||||||||||
|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2x + |
1− |
|
|
2 |
|
|
− |
|
x + 4 |
|
x + |
4 − x |
|
|
|
|
|
2x +1)x2 (x + 4) − 2(x + |
4) − 4x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 + x |
+ |
|
|
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|
− ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C |
|
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|
= |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 4 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
(x + 4) |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
(x + 4) |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
x |
|
|
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|
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|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
x |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
2x +1)x2 |
|
(x + 4) − 2(x + 4) + 4x |
|
|
= |
2x4 + 9x3 + 4x2 − 6x − 8 |
. |
|
|
|
|
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
x2 (x + 4) |
|
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|
x3 + 4x2 |
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: ∫ |
2x |
4 |
|
+ 9x |
3 |
|
+ |
4x |
2 |
− 6x − 8 |
dx = x2 |
+ x + |
2 |
− ln |
|
|
|
x |
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
+ 4x |
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
x |
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|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5. |
∫ |
|
|
2 − x3 + 2x2 + 3x |
dx . Разлагаем дробь на простые дроби и интегрируем. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
2 |
|
+ x)(x |
2 |
+1) |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||
|
∫ |
2 − x3+ 2x2+ 3x |
|
|
|
|
|
= |
|
∫ |
|
|
2 − x3+ |
|
2x2+ 3x |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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dx |
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dx: |
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|
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|
|
|||||||||||||||||||||
|
(x |
2 |
+ x)(x |
2 |
+1) |
|
|
|
|
|
x(x +1)(x |
2 |
+1) |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 − x3 + 2x2 |
|
|
+ 3x |
|
= |
|
A |
+ |
|
|
|
B |
|
|
+ |
|
Cx |
+ D |
= |
|
|
A(x +1)(x2 |
+1) + Bx(x |
2 +1) + (Cx |
+ D)x(x +1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x(x +1)(x2 |
|
|
+1) |
|
|
|
|
x |
|
|
x |
+1 |
|
x2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x +1)(x2 +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A(x +1)(x2 |
|
+1) + Bx(x2 |
|
+1) + (Cx + D)x(x +1) = 2 − x3 + 2x2 |
+ 3x. Полагая x = 0, получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A = 2, полагая x = −1, получим B = −1. Приравняем коэффициенты при x3 : |
|
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A + B + C = −1 C = −2 . Приравняем коэффициенты при x2 : A + C + D = 2 D = 2 . |
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Таким образом, ∫ |
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2 − x3 + 2x2 + 3x |
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= ∫ |
2 |
− |
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1 |
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− |
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2x − 2 |
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= 2ln |
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− ln |
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x +1 |
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− ln(x2 +1) + |
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dx |
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[ |
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]dx |
x |
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2 |
+ x)(x |
2 |
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+1) |
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+ |
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2 |
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+1 |
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(x |
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x x |
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1 |
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x |
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x2
+2arctg x + C = ln x +1(x2 +1) + 2arctg x + C .
Проверка:
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x |
2 |
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′ |
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2x |
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||||
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2 |
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1 |
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2 |
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||||||
ln |
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+ 2arctg x + C |
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||||||
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= |
− |
− |
+ |
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= |
|||||||
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x +1(x2 +1) |
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x x +1 x2 +1 x2 |
+1 |
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2
= |
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2(x +1)(x2 +1) − x(x2 |
+ |
1) − 2x − 2)x(x +1) |
= |
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2x3 + |
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2x2 |
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+ 2x + |
2 − x3 − x − 2x3 + 2x |
= |
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x(x +1)(x2 +1) |
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x(x +1)(x2 |
+1) |
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2 − x3 + 2x2 + 3x |
. Ответ: ∫ |
2 − x3 + 2x2 + 3x |
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x2 |
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= |
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dx = ln |
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+ 2arctg x + C . |
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x(x +1)(x |
2 |
+1) |
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(x |
2 |
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+ x)(x |
2 |
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+ |
1) |
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x |
+1(x |
2 |
+1) |
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6. ∫ |
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dx |
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. Интегрируем с помощью замены переменной. |
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− |
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6 |
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x5 |
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x |
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∫ |
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dx |
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= |
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x = t6 , dx = 6t5dt |
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= |
∫ |
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6t5dt |
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= 6∫ |
|
t2dt |
|
|
= 6∫ |
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(t2 |
|
−1+1)dt |
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= 6∫dt |
+6∫ |
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dt |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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5 |
− t |
3 |
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2 |
|
−1 |
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2 |
−1 |
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2 |
−1 |
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6 x5 |
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− x |
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x = t3 |
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t |
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|
t |
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|
t |
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|
t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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t −1 |
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6 |
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−1 |
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x |
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= 6t + 3ln |
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+ C = 6 6 |
x + 3ln |
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+ C . |
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t |
+1 |
6 |
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+1 |
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x |
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Проверка: |
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′ |
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|||||||||
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6 |
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x − |
1 |
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3 |
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|
3 |
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1 |
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1 |
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6 |
6 |
x + 3ln |
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+ C |
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= x−5/ 6 |
+ [ |
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− |
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] |
x−5/ 6 |
= x−5/ 6 |
+ |
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x−5/ 6 |
= |
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x + |
1 |
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6 |
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x |
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−1 |
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6 |
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x |
+1 |
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6 |
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3 |
x −1 |
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x−1/ 2 |
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|||||||||||||
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3 |
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x −1+1 |
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3 x |
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1 |
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= x−5/ 6 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x−5/ 6 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
= |
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|
. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
3 x −1 |
|
|
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|
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|
3 x −1 3 x − |
1 6 x5 − x |
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Ответ: ∫ |
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dx |
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|
6 |
|
|
x |
−1 |
|
+ C . |
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
= 6 6 |
|
|
x + 3ln |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
x5 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
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|
x |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
− a2 |
|
dx . Интегрируем с помощью замены переменной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||
|
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|
x2 |
|
− a2 |
|
= t2 , xdx = tdt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ a2 |
− a2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
x2 |
|
− a2 |
dx = ∫ |
|
|
|
|
|
|
x2 − a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
t |
|
|
|
tdt = ∫ |
t2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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xdx = |
|
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x |
|
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|
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|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
= t |
2 |
+ a |
2 |
|
|
|
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|
|
|
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|
|
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|
t |
2 |
+ a |
2 |
|
|
|
|
t |
2 |
+ a |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|||||||||||||
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|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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x2 |
|
− a2 |
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|
|||||||||||||||||
= t − a2 |
|
arctg |
|
|
+ C = |
|
|
x2 |
− a2 |
− a arctg |
|
|
|
|
|
|
|
+ C . |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
a |
|
|
|
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|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
a |
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|
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|
|
|
|
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|
|||||||||||
Проверка: |
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|
|
′ |
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|
|
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− a |
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− a2 |
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+ (x − a )/ a |
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2a x |
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= |
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2 |
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= |
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x |
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. |
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x x2 − a2 |
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Ответ: ∫ |
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− a2 |
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dx = |
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− a2 |
− a arctg |
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+ C . |
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x |
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8. ∫(tg2 x + tg4 x)dx . Интегрируем после предварительных преобразований. |
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∫(tg2 x + tg4 x)dx = ∫tg2 x |
1+ tg2 x)dx = ∫ |
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tg2 xdx |
− ∫tg |
2 xd(tg x) = |
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tg3 x |
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+ C . |
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cos |
2 |
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x |
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3 |
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′ |
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tg |
3 x |
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1 |
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Проверка: |
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+ C |
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= tg2 x |
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= tg2 x 1+ tg2 x) = tg2 x + tg4 x . |
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3 |
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cos |
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x |
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Ответ: ∫(tg2 x + tg4 x)dx = tg3 x + C .
3
3
=
dt =
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9. ∫ |
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sin x |
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dx . Интегрируем после предварительных преобразований. |
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1+ sin x |
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||||||||
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sin x |
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1− sin x)sin x |
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1 |
− sin x)sin x |
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d cos x |
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sin2 x |
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∫ |
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dx = ∫ |
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dx = ∫ |
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|
|
|
|
|
|
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dx = −∫ |
|
|
|
|
|
|
|
−∫ |
|
|
|
|
|
dx = |
|
|||||||||||||
1 |
+ sin x |
|
|
|
1− sin |
2 |
|
x |
|
|
cos |
2 |
x |
|
|
cos |
2 |
x |
cos |
2 |
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
∫ |
1− cos2 x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|||||||
= |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
− tg x + x + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
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|||||||||||||
Проверка: |
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|
′ |
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
−1 |
|
|
|
|
sin x −1 |
+ cos2 x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
− tg x + x + C = − |
|
|
|
|
|
|
(−sin x) − |
|
|
|
|
|
+ |
1 = |
|
|
|
|
|
|
+1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos2 |
|
|
cos2 |
|
|
cos2 |
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
sin x − sin2 |
x |
= |
|
|
sin x 1− sin x) |
= |
|
sin x |
|
. Ответ: |
∫ |
|
|
|
sin x |
|
|
dx = |
|
|
1 |
|
− tg x + x + C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos |
2 |
x |
|
|
|
1− sin |
2 |
x |
|
+ sin x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ sin x |
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.
∞ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
xdx |
|
|
a |
|
(x +1−1)dx |
|
a |
|
dx |
|
|
|
|
|
a |
dx |
|
|
|||||||||||
10. ∫ |
|
|
|
|
|
dx = lim |
∫ |
|
|
|
|
|
= lim ∫ |
|
|
|
|
|
|
= lim |
∫ |
|
|
|
|
|
− lim |
∫ |
|
|
= |
||||||||||||
(x +1) |
2 |
|
(x +1) |
2 |
|
(x +1) |
2 |
|
|
x + |
1 |
(x +1) |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
a→∞ |
1 |
|
a→∞ |
|
|
|
|
|
a→∞ |
1 |
|
a→∞ |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= lim[ln(x +1) − |
|
] |
|
a |
= ∞ . Интеграл расходится. |
|
|
Ответ: |
∫ |
|
|
|
|
dx = ∞ . Интеграл |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
a→∞ |
|
|
|
x +1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
+1) |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
−α |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
−α |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11 ∫ |
dx |
= lim ∫ |
dx |
+ lim |
∫ |
dx |
= −lim |
1 |
|
|
|
|
− lim |
1 |
|
= (∞ + ∞). Интеграл расходится. |
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−1 |
x |
α →0 |
−1 |
x |
β →0 |
β |
x |
|
α →0 x |
|
−1 |
β →0 x |
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
α >0 |
|
|
|
β >0 |
|
|
|
|
α >0 |
|
β >0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
Ответ: ∫ dx . Интеграл расходится.
−1 x2
Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.
y |
= 2x2 − 7x + 5 = f |
1 |
(x) |
Найдём точки пересечения |
|||||
12. |
|
. |
|||||||
y |
= −13x + 5 = f2 (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
линий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 − 7x + 5 = −13x + 5 2x2 + 6x = 0 x = −3, x |
2 |
= 0 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
S = ∫[ f2 (x) − f1 (x)]dx = ∫[−13x + 5 − 2x2 − 7x + 5)]dx = |
|||||||||
x1 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
2x |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= ∫[−6x −2x2 ]dx = [−3x2 − |
|
] |
= 27 −18 = 9. Ответ: |
||||||
|
|
||||||||
−3 |
|
|
3 |
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
36 |
|
|
|
24 |
|
|
|
12 |
|
|
|
0 |
2 |
1 |
0 |
3 |
S = 9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 8cos3 t |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
y = 4sin3 t, |
|
. Это астроида. Найдём точки |
|
|
|
|
|
||
|
|
3, (x ≥ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 3 |
3) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
пересечения линий: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8cos3 t = 3 |
3 cost = |
3 t = ± π + 2kπ . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
6 |
4 |
4 |
0 |
4 |
8 |
|
ϕ 2 |
|
|
|
π / 6 |
8 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = ∫[x1 (t) − x2 (t)]dy(t) = |
∫[8cos3 t − 3 |
|
3]12sin2 t costdt = |
ϕ1 |
−π / 6 |
||
|
4 |
|
|
π / 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
3 |
t |
|
π / 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= 96 |
|
∫cos4 tsin2 tdt −36 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
= 12 |
∫ 1+ cos2t)sin2 2tdt − 3 |
3 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
−π / 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π / 6 |
−π / 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
π / 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
π / 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
= 12 |
|
∫sin2 2tdt +12 |
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
|
3 |
= 6 ∫ 1− cos4t)dt + |
− 3 |
3 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
−π / 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π / 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π / 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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3 |
3 |
= 2π − |
3 |
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3 |
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3 |
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3 |
= 2π − 3 |
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= 6[t − |
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− |
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− |
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sin 4t] |
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3 . Ответ: S = 2π − 3 3 . |
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4 |
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−π / 6 |
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ρ = |
1 |
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14. Вычислите длину дуги кривой (L): |
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ϕ |
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(гиперболическая спираль). |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3/ 4 ≤ ϕ ≤ 4/3 |
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u = |
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ϕdϕ |
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, |
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ϕ2 |
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ϕ 2 +1, du = |
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ϕ 2 +1 |
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4 / 3 |
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4 / 3 |
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ϕ 2 +1 |
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L = ∫ ρ 2 + ρ′ |
2 dϕ = ∫ 1/ϕ 2 +1/ϕ 4 dϕ = ∫ |
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dϕ = |
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= |
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ϕ |
2 |
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1 |
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ϕ1 |
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3/ 4 |
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3/ 4 |
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dϕ |
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= dv, v = − |
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ϕ 2 |
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ϕ |
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4 / 3 |
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ϕ |
2 |
+1 |
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4 / 3 |
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d2ϕ |
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= − 5 + 5 + ln(ϕ + |
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4 / 3 |
= 5 |
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+ ln 3 . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= − |
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+ ∫ |
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ϕ 2 +1) |
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ϕ |
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3/ 4 |
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4 3 |
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12 |
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2 |
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|||||||||||||||||||||||
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3/ 4 |
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ϕ +1 |
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3/ 4 |
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Ответ: L = |
5 |
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+ ln |
3 |
. |
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x = 4sin t |
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15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S) |
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вокруг оси OX. |
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y = 3cost |
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t2 |
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π / 2 |
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sin |
3 |
t |
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π / 2 |
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V = π ∫ y2 (t)dx(t) = π |
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∫9cos2 t 4costdt = 36π |
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∫ 1− sin2 t)d sintdt = 36π[sint − |
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] |
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= |
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t1 |
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−π / 2 |
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3 |
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−π / 2 |
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= 36π[2 − |
] = 48π . Ответ: V = 48π . |
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x |
2 + y2 |
= 16 |
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16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L) |
≤ x ≤ |
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вокруг оси |
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0 |
2 |
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OX. |
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x2 |
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x |
2 |
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P = 2π ∫ y y′2 +1dx = 2π ∫ |
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16 − x2 |
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+1dx = 2π ∫ x2 +16 − x2 dx = 8πx |
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02 = 16π . |
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(16 − x |
2 |
) |
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x1 |
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0 |
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0 |
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Ответ: P = 16π .
Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей математике.
17. ∫sin(ln x)dx . По справочнику находим: ∫sin(ln x)dx = x[sin(ln x) − cos(ln x)] + C . 2
Ответ: ∫sin(ln x)dx = x[sin(ln x) − cos(ln x)] + C . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие 2
математические формулы.)
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1 |
ln x |
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1 |
ln x |
π 2 |
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18. ∫ |
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dx . По справочнику находим: ∫ |
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dx = |
. |
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x −1 |
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0 |
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0 |
x −1 |
6 |
||||
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1 |
ln x |
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π 2 |
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Ответ: ∫ |
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dx = |
. |
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0 |
x −1 |
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6 |
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5 |
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19. Найдите работу, необходимую для растяжения пружины на 4 см, если для удлинения её на 1 см нужно затратить силу F=3 кГ.
Для растяжения пружины на длину x требуется сила F x = Fx . Тогда на участке (x,
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1 |
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x+dx) буде совершена работа dA = F x dx . Следовательно, |
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4 |
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x |
2 |
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4 |
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16 |
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A = ∫F x dxA = F |
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= F |
= 3 8 = 24 кГсм = 0.24 кГм . |
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0 |
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2 |
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0 |
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2 |
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|||||
Ответ: A = 0.24 кГм. |
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20. Вычислите работу, необходимую для |
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выкачивания воды из сосуда, имеющего форму |
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R |
||||||||||||||||||||||||||
прямого кругового конуса с вертикальной осью, |
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||||||||||||||||||||||||||
обращённой вершиной вниз, если R=3 м, H=8 м. |
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x |
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Уравнение образующей конуса y = Hx / R . |
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H |
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Объём элементарного слоя воды на уровне y будет |
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y |
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равен dV = πx2dy = π |
R2 y2 |
dy . Если плотность воды |
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H 2 |
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||||
равна 1000 кг/м3, то вес элементарного слоя воды |
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|||||||||||||||||||||||||
будет |
dP = 1000π |
R2 y2 |
dy . Работа, необходимая для поднятия этого слоя на высоту H-y, |
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H 2 |
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||||||
равна |
dA = 1000π |
R2 y2 |
(H − y)dy . Следовательно, |
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H 2 |
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|||||
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H |
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R2 y2 |
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1000πR2 H |
1000πR2 |
y3 |
y |
4 |
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H |
||||||||||||
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A = ∫1000π |
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(H − y)dy = |
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∫ y2 (H − y)dy = |
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[H |
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− |
|
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] |
= |
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||||||||||||||
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H |
2 |
|
|
H |
2 |
|
H |
2 |
|
3 |
4 |
||||||||||||||||||||||||
|
0 |
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0 |
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0 |
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|||||||||
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1000πR2 |
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H 4 |
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H 4 |
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1000πR2 H |
2 |
= 48000π . Ответ: A = 48000π кГм. |
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= |
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[ |
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− |
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] = |
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2 |
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H |
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3 |
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4 |
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12 |
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6