Лекция эл маг
.pdf
Электр жəне магнетизм курсы бойынша лекциялар конспектілері
1 – ші лекция: Электромагниттік əсер, оны сипаттайтын түсініктер мен мағлұматтар. Кулон заңы, оның өрістік интерпретациясы, Гаусс теоремасы, Кулон заңының дифференциалдық түрі.
Электромагниттiк ¸сер — таби¹атта ¸зiрге белгiлi т¼рт т¾рлi ¸серлердiң бiрi (к¾штi, ¸лсiз, электромагниттiк ж¸не гравитациалыº ¸серлер). °рбiр ¸сер белгiлi бiр кеңiстiк масштабында бiлiнедi (байºалады, Электромагниттiк ¸сер атом ж¸не молекулалар ¼лшемдерiне с¸йкес араºашыºтыºтан (10-10 м) бастап, бiрнеше ж¾здеген километр, одан да ¾лкен араºашыºтыºтар арасында байºалады , Атомдар мен молекулалардың микроскопиялыº б¼лшектер — электрондар мен ядролардан º½рылуы электромагниттiк ¸сер негiзiнде т¾сiндiрiледi, электромагниттiк к½былыстар электромагниттiк ¼зара ¸серлесудiң к¼рiнiстерi болып табылады. Сондыºтан б½л ¸сердiң таби¹атта¹ы маңызы ¼те зор. Электромагниттiк ¼рiс электрлiк ж¸не магниттiк º½былыстардың материалдыº негiзi болып табылады. Б½л º½былыстарды т¾сiну ¾шiн заряд, к¾ш ж¸не ¼рiс деген ½¹ымдардың арасында¹ы ¼зара байланысты зерттеп табу керек.
Кулон заңы. Екі н¾ктелiк зарядтардың ,¼зара ¸серлесу к¾шi заряд шамаларының к¼бейтiндiсiне тура пропорционал да, араºашыºты¹ының
квадратына керi пропорционал , |
|
|
|
|
||
Fr |
= k |
q1q2 |
|
r12 |
. |
(1.1) |
r122 |
|
|||||
12 |
|
|
r12 |
|
||
Б½л формулада¹ы k — бiрлiктер системасына байланысты пропорционалдыº коэффициент. Кез келген зарядтал¹ан дене ¼зiн ºорша¹ан ортада электр ¼рiсiн тудырады, осы ¼рiс екiншi зарядтал¹ан денеге ¸сер етедi. Кернеулiгi E электр
¼ðiñiíäåãi q н¾ктелiк зарядºа ¸сер ететiн к¾ш F = qE. |
|
rv12 |
(1.2) |
|
(1.1), (1.2) формулалардан нүктелік заряд өріс кернеулігі Ev = k |
q1q2 |
|
(1.3) |
|
r 2 |
|
r |
||
|
|
|
||
12 |
12 |
|
||
Гаусс теоремасы. Б½л теорема бойынша, электр ¼рiсi кернеулiгiнiң т½йыº бет бойымен алын¹ан а¹ыны сол беттiң iшiнде орналасºан зарядтардың алгебралыº ºосындысының вакуум электрлiк ¼тiмдiлiгi ºатынасына тең.
r |
r |
|
∑qi |
= ε1 ∫ρdV. |
|
|
∫EdS |
= |
i |
(1.4) |
|||
ε |
||||||
S |
|
|
0 |
0 V |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.4) формулаға ГауссОстроградскийй теоремасын қолданып, Кулон заңының дифференциалдық түрін табамыз divE =ρ
ε0 .
2 – ші лекция: Электростатикалық өрістің (ЭСӨ) потенциалдығы жəне одан туындайтын нəтижелер. Скалярлық попотенциал. ЭСӨ кернеулігі мен потенциалының арасындағы байланыс.
Электростатикалыº ¼рiстiң потенциалды¹ы. Электростатикалыº ¼рiсте н¾ктелiк зарядты (зарядтал¹ан дененi) бiр н¾ктеден екiншi н¾ктеге к¼шiрген кезде iстелетiн ж½мыс к¼шiру траекториясының т¾рiне байланысты емес, тек
бастапºы ж¸не соң¹ы н¾ктелердiң координаталарына ¹ана байланысты (гравитациялыº ¼рiспен салыстыру керек),яғни тұйық контур бойымен көшірген кезде істелетін жұмыс нөлге тең
Шынында, |
åãåð |
|
|
+ q í¾êòåëiê |
|
|
заряд |
|
|
тудыратын |
электр |
¼ðiñiíäå |
|
åêiíøi áið |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
í¾êòåëiê |
заряд + q′ |
áið |
н¾ктеден |
åêiíøi |
н¾ктеге |
ауысса, |
осы кезде iстелетiн |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
æ½ìûñ: |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
rr |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 dr |
|
|
|
|||||
|
|
|
r |
|
r |
|
|
qq′ |
|
r |
|
|
|
qq′ |
1 |
|
|
|
|
|
|
qq′ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
A12 = ∫Fdl |
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dl |
= |
|
|
|
∫ |
|
dl cosα = |
|
|
|
|
∫ |
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
4πε |
0 |
r 2 |
r |
4πε |
0 |
r 2 |
4πε |
0 |
r 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
qq′ |
|
|
1 |
|
|
r2 |
|
|
|
qq′ |
|
|
1 |
|
|
|
A12 |
|
|
|
q |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
W1 −W2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
− |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
, |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
− |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. |
(2.1) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
, |
4πε0 r |
|
r1 |
|
|
4πε0 r1 |
|
|
r2 |
|
|
|
q′ |
|
|
|
|
4πε0 |
r1 |
|
r2 |
|
|
|
|
q′ |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dlr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ì½íäà¹û |
α |
- F |
|
ìåí |
векторлардың арасында¹ы |
á½ðûø. (2.1) |
өрнектен q |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зарядтың ту¹ызатын электростатикалыº ¼рiсiн сипаттайтын та¹ы бiр к¼мекшi
шама ϕ скалярлыº потенциалды енгiзуге болады. ϕ = |
W |
= |
q |
+ const. |
r → ∞ |
|||||||
q |
′ |
4πε0r |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|||
ұмтылғанда |
|
ϕ → 0 |
керек, |
сондықтан |
|
|
|
|
ϕ = |
|
||
|
|
|
|
|
|
4πε0 r |
||||||
(2.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 r |
r |
|
|
2 r r |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ендеше A12 = q′∫Edl |
= q′(ϕ1 −ϕ2) ϕ1 −ϕ2 = ∫Edl . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тұйық контур үшін |
|
q′∫Edl = 0 |
|
∫Edl = 0. |
|
|
|
|
(2.3) |
|
|
|
|
|
L |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.3) формуланы электростатикалыº ¼рiстiң потенциалдыº шартының
интегралдыº т¾рi деп атайды. |
Åíäi (2.3) |
¼рнегiне Стокс теоремасын |
ºîëдансақ, ∫rotEdS = 0. rotE = 0 |
|
(2.4) |
SL |
|
|
( SL -L контурға тірелген кезкелген бет).(2.4) өрнек |
электростатикалыº ¼рiстiң |
|
потенциалды¹ының дифференциалдыº т¾рі. |
|
|
(1.3), (2.2) өрнектерден |
E = −gradϕ екенін байқау қиын емес. E мен ϕ дің арасындағы |
бұл байланысты (2.4) |
теңдеу E = −gradϕ деп алса қанағаттандығынан да анықтауға |
болады. |
|
3 – ші лекция: Өткізгізтердегі ЭСӨ. Электрсиымдылық, конденсаторлар жəне олардың электрсиымдылықтары.
´ткiзгiштердегi электростатикалыº ¼рiс. ´ткiзгiштер деп º½рамында еркiн зарядтар бар ортаны айтады. Мысалы, металдар - ¼ткiзгiштердiң негiзгi ¼кiлдерi болып табылады. ´ткiзгiштi сыртºы электр ¼рiсiне орналастырса, электр ¼рiсi тарапынан ¸сер ететiн к¾штiң ¸серiнен ¼ткiзгiштiң еркiн зарядтары ºоз¹алысºа келiп, ¼ткiзгiштiң беткi ºабатында таралады, ал еркiн зарядтар кеткен бет жа¹ы еркiн зарядтың таңбасына ºарама-ºарсы зарядталады. ´те аз уаºыт аралы¹ында ы¹ысºан зарядтардың тудыратын электр ¼рiсiнiң (сыртºы ¼рiске ºарсы) шамасы сыртºы ¼рiске тең бол¹ан кезде, зарядтардың ы¹ысуы тоºталады ж¸не ¼ткiзгiштiң iшiндегi ¼рiс н¼лге тең болады. Ал ¼ткiзгiш маңында¹ы ¼рiс сыртºы ¼рiспен ы¹ысºан зарядтар тудыратын ¼рiстiң ºосындысымен аныºталады. Егер ¼ткiзгiш зарядтал¹ан болса, толыº өріс сыртºы ¼рiс пен ¼ткiзгiшке берiлген зарядтар ¼рiсiнiң ºосындысынан т½рады.
´òêiçãiø áåòiíiң ìàңûíäà¹û ¼ðiñ. ´ткiзгiш маңында электр ¼рiсi оның бетiне перпендикуляр ба¹ыттал¹ан, себебi ¼рiстiң тангенциал º½раушысы н¼лден ¼зге болса, зарядтар ¼ткiзгiш бетiмен ºоз¹алысºа келер едi. Электростатикалыº ¼рiсте б½л м¾мкiн емес. ´ткiзгiш ма”ында¹ы электр ¼рiсi зарядтың беттiк ты¹ызды¹ымен аныºталады. Электр ¼рiсiнiң кернеулiгi мен беттiк ты¹ыздыº арасында¹ы байланысты табу ¾шiн, ¼ткiзгiш бетiнiң жазыº деп есептеуге болатындай кiшi б¼лiгi S0 —дi ºарастырамыз (3.1-сурет) S0 бетте орналасºан
зарядтардың электр ¼рiсiнiң кернеулiгi Е1 S0 áåòòiң åêi æà¹ûíäà áið-áiðiíå
ºарама-ºарсы ба¹ыттал¹ан болады, ал одан тыс |
S - S0 |
беттегi зарядтардың |
S0 |
||||||||||||||||||
беттiң iшкi жа¹ында¹ы электр ¼рiсi кернеулiгiнiң |
Е2 |
Е1 |
¼рiспен ºосындысы |
||||||||||||||||||
н¼лге тең болуы керек, я¹ни |
Еr1 + Er |
2 |
= 0, |
|
Er1 |
|
= |
|
Er |
2 |
|
. |
Àë S - S0 |
беттегi |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
зарядтардың S0 áåòòiң ñûðò æà¹ûíäà¹û |
электр |
|
¼ðiñi |
кернеулiгi |
Е2 |
Е1 |
|||||||||||||||
кернеулiкпен ба¹ыттас болады. |
Ендеше |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е = 2Е1, |
Е = 2Е2. |
||
(3.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ε1 |
|
|
|
Ε2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
E2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.1 — ñóðåт
Белгiлi бiр беттiк ты¹ыздыºпен зарядтал¹ан жазыº S0 áåò ìàңûíäà¹û ¼ðiñ
кернеулiгi: |
Er1 = |
σ |
|
|
nr, |
(3.2) |
||
2ε |
0 |
|||||||
ì½íäà¹û nr |
− |
|
|
|
|
|
ж¾ргiзiлген сыртºы нормаль. (3.2) өрнекті (3.1) |
|
¼òêiçãiø áåòiíå |
||||||||
|
|
r |
|
σ v |
|
|||
өрнекке қойсақ, |
E |
= |
|
|
n . |
|
||
ε0 |
|
|
||||||
´ткiзгiш потенциалы. ´òêiçãiø iøiíäåãi ¼ðiñ í¼ëãå òåң áîë¹àíäûºòàí, îíûң
потенциалы т½раºты, ал бетi эквипотенциал бет болады: |
|
|
Е = −gradϕ = 0, ϕ = const. |
(3.3) |
|
´ңашалан¹ан ¼ткiзгiштiң сиымдылы¹ы. ´ңашалан¹ан |
|
¼ткiзгiшке заряд |
берсе, оны” потенциалы да артады. Т¸жiрибелер ¼ткiзгiшке берiлген зарядтардың шамасы мен оның потенциалы бiр-бiрiмен сызыºты байланысты екенiн к¼рсетедi, я¹ни q = cϕ. Пропорционалдыº коэффициент c - оңашалан¹ан ¼ткiзгiштiң электр сыйымдылы¹ы деп аталады. Б½л шама сан жа¹ынан ¼ткiзгiштiң потенциалын бiрлiк шама¹а арттыру ¾шiн, о¹ан берiлетiн зарядтың шамасына тең
Конденсаторлар ж¸не оларды” сиымдылы¹ы. Конденсатор деп арасында¹ы кеңiстiкке сыртºы ¼рiстiң ¸серi болмайтын етiп орналастырыл¹ан екi ¼ткiзгiштен т½ратын системаны айтады. ´ткiзгiштер конденсатордың астарлары деп аталады ж¸не олар шамалары тең таңбалары ºарама-ºарсы зарядталады. Астарларының т¾рiне ºарай конденсаторларды жазыº, цилиндрлiк ж¸не
сфералыº деп б¼ледi. Конденсатордың сиымдылы¹ы оның астарларына берiлген зарядтың астарларының арасында¹ы потенциалдар айырымының
ºатынасымен аныºталады: |
|
q |
|
|
|
|
|
C = |
|
|
|
. |
(3.4) |
||
ϕ |
− |
ϕ |
2 |
||||
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
(3.4) өрнекті пайдаланып жазық, цилиндрлік, сфералық конденсаторлардың электрсиымдылықтарының
C = |
|
q |
= |
|
ε0S |
. , C = |
q |
= |
2πε0l |
. , |
C = 4πε |
|
R1R2 |
||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ϕ1 |
−ϕ2 |
|
|
d |
|
ϕ1 −ϕ2 |
|
ln |
R2 |
|
|
|
0 R2 −R1 |
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
тең екендігін табуға болады.
.
4 – ші лекция: Диэлектриктердегі ЭСӨ. Диполдің өрісі. Диэлектриктердің поляризациялануы, поляризацияланғыштық.
Диэлектриктердегi электростатикалық өрiс. Диэлектриктерде зарядталған еркiн
бөлшектер жоқ. Дегенмен электр өрiсiнiң əсерiнен диэлектрик молекулаларының құрамына кiретiн оң бөлшектер өрiс бағытымен, ал терiс бөлшектер өрiске қарсы жылжиды, сөйтiп əрбiр молекула поляризацияланады (полюстер алады). Осының салдарынан диэлектриктiң өрiспен бағыттас жағы оң, қарама-қарсы жағы терiс зарядталады. Бұл құбылысты диэлектриктiң поляризациялануы деп атайды. Поляризацияланған диэлектрик сыртқы поляризациялаушы өрiске қарсы қосымша электр өрiсiн тудырады. Сондықтан диэлектриктердегi өрiс сыртқы өрiстен кем болады.
Сонымен диэлектриктердің поляризациялануы негізінен оның молекулаларының диполға айналуына байланысты. Сондықтан алдымен диполдің электр өрісін қарастырамыз.
Диполдің электр өрісі. Диполь деп жақын орналасқан шамалары тең, таңбалары карама
– қарсы екі нүктелік зарядтардан тұратын системаны айтады.r |
Шамасы екі зарядтың |
||||||||||
арақашықтығына теріс зарядтан оң зарядқа қарай бағытталған l |
вектор диполдің иіні, |
||||||||||
pr = ql вектор оның электрлік моменті деп аталады |
|
||||||||||
Диполдің электр өрісінің потенциалы |
pr |
|
|
|
|
|
|
||||
|
ϕ |
= |
|
|
. |
|
|
|
(4.1) |
||
|
4πε0 r 3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Өріс потенциалы мен кернеулігінің арасындағы байланысты пайдаланып, |
|||||||||||
v |
1 |
|
|
vv v |
|
|
r |
|
|
||
3( pr )r |
|
|
p |
|
|||||||
E = |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
(4.2) |
|
4πε0 |
|
r |
5 |
r |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
екенін табамыз.
Поляризацияланғыштық. Поляризацияланған диэлектриктiң тудыратын электр өрiсiн сан жағынан сипаттау үшiн поляризацияланғыштық деген шама ендiрiледi. Бұл шама поляризацияланған диэлектриктiң бiрлiк көлемiнiң электрлiк моментiмен аныєталады, яғни бiрлiк көлемдегi молекулалардың электрлiк моменттерiнiң геометриялық қосындысына тең:
Pr |
n |
|
= ∑pri |
(4.3) |
i=1
мұндағы pri -молекуланың электрлiк моментi, n -бiрлiк көлемдегi молекулалар саны. Кейде поляризацияланғышты поляризацияланған диэлектриктiң V көлемiнiң P
электрлiк моментiнiң осы көлемге қатынасының анықтайды:
Pr = lim |
P |
= |
dP |
|
V |
dV |
|||
V →0 |
|
V → 0 |
шегi |
ретiнде |
де |
(4.4)
5 – ші лекция:Байланыстағы зарядтар мен поляризацияланғыштықтың арасындағы байланыс. Ығысу векторы, диэлектриктердегі ЭСӨ үшін Гаусс теоремасы.
Поляризацияның электр өрiсiне əсерi. Байланыстағы зарядтар.
Диэлектриктi электр өрiсiне қойған кезде ол поляризацияланады, яғни оның көлемiнiң
кез-келген бөлiгiнде электрлiк момент пайда болады. Мысалы, P поляризацияланғыштыєпен поляризацияланған диэлектрик көлемiнiң dV элементiнiң электрлiк моментi
dpr = PdV = ε0αEdV |
(5.1) |
Осы электрлiк моменттiң тудыратын электр өрiсiнiң кернеулiгi сыртқы өрiске керi бағытталған болады, сондыєтан поляризация кезiнде диэлектриктегi электр өрiсi кернеулiгi əлсiрейдi. Поляризациялану кезінде молекулалар құрамына кiретiн оң жəне терiс зарядтардың бiрiнен-бiрiне қарағанда ығысуының нəтижесiнде диэлектриктiң көлемiнде жəне оның бетiнде байланыстағы зарядтар пайда болады. Сонымен
поляризациялану процесiн бiр жағынан поляризацияланғыштық P -мен, екiншi жағынан пайда болған байланыстағы зарядтардың көлемдiк ρб жəне беттiк σб тығыздыєтарымен
сипаттауға болатындықтан осы шамалардың арасында байланыстар болуға тиiстi.
Осы байланыстарды табу үшiн поляризацияланған диэлектрик iшiнде орналасєан белгiлi бiр көлемдi V қарастырамыз (5.1-сурет).
|
P |
|
б |
l |
|
l |
d s |
|
|
V |
|
5.1-сурет |
|
Осы көлемде пайда болатын байланыстағы зарядтың шамасы поляризация кезiнде алынған көлемнiң бетi арєылы өтетiн зарядтардың шамасына тең, ал таңбасы оған қарамаєарсы болады. Бұл жерде ескеретiн жағдай
поляризацияланғыштық бағытымен оң зарядтар, ал оған қарсы терiс зарядтар ығысады, олардың ығысу иiндерi ( l= ,l+ ) əртүрлі, бiрақ бiр бағытта терiс зарядтың ығысуы қарсы бағытта шамасы сондай оң зарядтың ығысуына пара-пар екенiн ескеру керек. Сондыєтан
поляризация кезiнде s беттiң |
кез-келген |
ds элементi |
арқылы |
P -дағы ығысу иiнi |
||||
l = l− + l+ |
оң зарядтар тесiп өтедi деп есептеуге болады. Бұл кезде V көлемдегi зарядтың |
|||||||
шамасы dq -ге өзгередi. ds бет |
арєылы |
P |
бағытта ығысатын |
заряд |
шамасы |
көлемi |
||
ldscosα цилиндрiнде орналасқан зарядтар болғандықтан |
|
|
|
|
||||
|
dq = enl ds cosα |
|
|
(5.2) |
|
|
||
Бұл формуланы жазған кезде диэлектриктiң бiрлiк көлемiнде сандары n бiрдей оң |
||||||||
заряд + e |
жəне соншалықты |
терiс заряд |
− e бар |
деп есептедiк. |
Ендi |
P = enl |
||
поляризацияланғыштықтың модулiне тең екенiн ескерсек
dq = Pdscosα = Pdsr |
(5.3) |
|
Соңғы өрнектi еске ала отырып |
V көлемдегi |
зарядтың сақталу заңын былай жазуға |
болады |
|
|
∫ρ‡ dV = −∫Pdsr |
(5.4) |
|
V |
sV |
|
Минус белгiсi көлемдегi пайда болатын зарядтың таңбасы оның бетi арқылы сыртқа єарай ығысатын зарядтың таңбасына қарама-қарсы болатынын көрсетедi. (5.4) өрнегiнiң сол жағына Гаусс-Остроградский теоремасын қолдансақ
∫(ρб + diυΡ)dV = 0 |
(5.5) |
V |
|
(5.5) өрнегi поляризацияланған диэлектрикте алынған кез-келген көлем үшiн дұрыс болғандықтан
ρб + diυP = 0, diυP = −ρб |
(5.6) |
Сонымен қарастырылып отырған нүкте маңында алынған бiрлiк көлемде байланыстағы зарядтың шамасы өзгеруi үшiн поляризацияланғыштық бiртектi болмауы керек.
Егер сыртқы электр өрiсi əсер етiп отырған орта бiртектi диэлектриктердiң жиынынан тұрса, онда екi түрлi диэлектриктердiң шекарасында байланыстағы зарядтардың беттiк тығыздығы пайда болатынын байқау қиын емес. Екi түрлi диэлектрик шекарасында поляризация кезiнде пайда болатын байланыстағы зарядтардың беттiк тығыздығы поляризацияланғыштықтың нормаль құраушыларының секiруiне (үзiлiс айырымына) тең болады
P2n − P1n = σв |
(5.7) |
Егер бір орта вакуум болса, P2n = 0, |
ендеше Pn = σб . |
Диэлектриктердегi электростатикалықөјрiс үшiн Гаусс теоремасы. Электрлiк ығысу векторы жəне диэлектрлiкөтiмдiлiк.Алдыңғы параграфтарда диэлектриктерде электр өрiсiн еркiн зарядтармен қатар поляризация кезде пайда болатын байланыстағы зарядтар да тудыратынына көз жеткiздiк. Сондыєтан диэлектриктердегi электростатикалық өрiс
кернеулiгiнiң тұйық бет бойымен алынған ағыны сол беттiң iшiнде орналасқан еркiн жəне байланыстағы зарядтардың алгебралық қосындыларының вакуумның диэлектрлiк өтiмдiлiгiне қатынасына тең болу керек.
∫ |
ErdSr = − |
1 |
( |
q |
l |
+ |
∑ |
q |
б |
) |
(5.8) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
||||
s |
|
|
ε0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qe жəне qб шамаларын сəйкес зарядтардың көлемдiк тығыздыєтары арқылы |
||||||||||||
өрнектесек, (5.8) қатынасты былай жазуға болады |
|
|||||||||||
|
r r |
= ∫ρdV + ∫ρбdV |
|
|
(5.9) |
|||||||
∫ε0Eds |
|
|
||||||||||
|
|
Vs |
|
Vs |
|
|
|
|
|
|||
мұнда№ы Vs s тұйық бетпен шектелген өјлем. (5.9) өрнектi пайдалансақ |
||||||||||||
∫ε0 Edsr = ∫ρ dV − ∫diυPdV |
|
(5.10) |
||||||||||
s |
|
Vs |
Vs |
|
|
|
|
|
|
|
||
(5.10) өрнегiнiң сол жағына Гаусс-Остроградский теоремасын қолдансақ, |
||||||||||||
∫diυ(ε0 E + P)dV = ∫ρdV |
|
|
|
(5.11) |
||||||||
s |
|
|
|
|
Vs |
|
|
|
|
|
|
|
(5.11) теңдiк диэлектриктi қамтитын кез-келген көлем үшiн орындалатын болғандыєтан |
||
r |
diυ(ε0 Er + Pr)= ρ ↔ diυD = ρ |
(5.12) |
r r |
|
|
D = ε |
0 E + P -ығысу векторы деп аталады. |
|
Сонымен диэлектриктердегi электростатикалық өрiстi сипаттау үшiн еркiн зарядтармен ғана анықталатын электрлiк ығысу векторы деген шама ендiру қолайлы екен. Кейде (5.12)
теңдеуге электрлiк ығысу векторының көздерi еркiн зарядтар болып табылады, оның күш
сызықтары еркiн зарядтарда басталып, еркiн зарядтарда аяқталады деп те мағына бередi. |
|||||
Pr |
= ε0αEr |
өрнегін пайдалансақ, |
|
||
|
|
r |
r |
r |
|
|
|
D = ε0 E +ε0αE = ε0 (1 +α)E = ε0εc E |
(5.13) |
||
|
εc |
= 1 +α -диэлектриктiң салыстырмалы өтiмдiлiгi, ал ε = ε0εc -диэлектриктiк |
|||
өтiмдiлiк деп аталады. Салыстырмалы диэлектриктiк өтiмдiлiк бiртектi
диэлектриктегi өрiстiң кернеулiгi вакуумдегi өрiс кернеулiгiмен салыстырғанда неше есе азаятындығын көрсетедi
6 – ші лекция: Диэлектриктердің поляризациялану механизмдері
Барлық диэлектриктердiң молекулаларының құрамына кiретiн оң жёне терiс зарядтардың центрлерi дəл келе бермейдi. Сондыєтан сыртқы электр өрiсi жоқ кезде де кейбiр диэлектриктердiң молекулаларының электрлiк моментi болады. Мүндай диэлектрикті электр өрісіне орналастырған кезде оның молекулаларының электрлiк моменттерi өрiс бойымен бағытталуға тырысады. Осының нəтижесiнде диэлектрик поляризацияланады. Диэлектриктiң осындай механизм негiзiнде поляризациялануын бағытталғыш поляризация, диэлектриктiң өзiн полярлы диэлектрик деп атайды.
Ал егер сыртєы поляризациялаушы өрiс жоқ кезiнде диэлектрик молекулаларының электрлiк моментi нөлге тең болса, ондай диэлектриктердi полярлы емес диэлектриктер деп атайды. Мұндай диэлектриктердiң поляризациялануы молекулаларының құрамына кiретiн оң жəне терiс зарядтарының ығысуы нəтижесiнде диполдерге айналуынан болады.
Полярлы емес диэлектрик бiртектi болса, оның молекулаларының сыртєы өрiс əсерiнен алған электрлiк моменттерi P0 бiрдей болады. Сондықтан
r |
n |
r |
r |
r |
r |
|
P = ∑(P0 |
+ P0 |
+... + P0 ) = nP0 |
(6.1) |
|||
i=1
Егер сыртқы өрiс өте үлкен болмаса, молекуланың индукцияланған электрлiк моментi өрiс кернеулiгiне пропорционал деп есептеуге болады:
ғы α -диэлектриктiң поляризацияланқыштық коэффициентi, немесе диэлектрлiк
коэффициентi деп аталады. Полярлы емес диэлектриктер үшiн α молекулалардың поляризацияланғыштық коэффициенттерiнiңβ қосындысына тең:
α = nβ
Полярлы диэлектриктерге келетiн болсақ, олардың молекулаларының электрлiк моменттерiнiң бағыттары поляризациялаушы өрiс бағытына қарағанда кез-келген
ықтималдықпен тарала алатындықтан, P мен E векторының арасындағы бұрыш θ -ға тең болатын молекулалардың саны Больцман таралуына бағынатынын еске аламыз
|
|
|
|
|
n = Ae |
PrEr |
= Aea cosθ ,a = PE |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.2) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
(6.2) өрнегiн нормаласақ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n0 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n = |
|
|
|
|
e−a cosθ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.3) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
ea |
− e−a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Поляризацияланған диэлектриктiң бiрлiк көлемiнiң электрлiк моментi |
|||||||||||||||||||||||||||||||
π |
|
|
n a |
|
|
|
|
|
pn a 1 |
|
|
ea + e−a |
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||
P = ∫ pcosθ |
|
|
0 |
|
ea cos θ sinθdθ = |
|
|
|
0 |
|
|
∫teatdt = pn0 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
= pn0 L(a) (6.4) |
|||||||||
e |
a |
− e |
−a |
|
e |
a |
|
− e |
−a |
|
a |
− e |
−a |
a |
|||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− p |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(6.4) формулаға кiретiн функция L(a) = |
|
ea |
+ e−a |
− |
1 |
= ctha − |
1 |
Ланжевен функциясы деп |
|||||||||||||||||||||||
|
ea |
|
− e−a |
a |
|
a |
|||||||||||||||||||||||||
аталады. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pE |
|||
Поляризациялаушы өрiс кернеулiгi онша үлкен болмаса, яғни a = |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
<< 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
kT |
|||||||||||||||||||||||||||||||
болса
r |
2 |
n |
r |
r |
|
|
2 |
n |
|
P = |
p |
E |
= αε0E |
, |
α = |
p |
(6.5) |
||
|
|
3ε0kT |
|||||||
|
3kT |
|
|
|
|
||||
Соңғы формуладан полярлы диэлектриктердiң əлсiз электр өрiсiндегi поляризацияланғыштық коэффициентi молекулалардың электрлiк моментiнiң квадраты мен бiрлiк көлемдегi санының көбейтiндiсiне тура пропорционал да, температураға (кинетикалық энергияға) керi пропорционал екенiн көремiз.Жалпы жағдайда поляризацияланғыштық пен поляризациялаушы өрiс кернеулiгi арасындағы байланыс сызықты жəне изотропты болмайды.
Сегнетоэлектриктердiң басқа диэлектриктерден айрымашылығы олардың диэлектриктiк өтiмдiлiгi өте үлкен бiрнеше ондаған мыңға дейiн жетедi, электрлiк ығысу векторы мен өрiс кернеулiгi арасындағы байланыс сызықты емес, яғни диэлектриктiк өтiмдiлiк кернеулiкке тəуелдi жəне электрлiк ығысу векторының белгiлi бiр уақыттағы мəнi кернеулiктiң осы уақыт алдындағы мəндерiнiң қандай болғанынада байланысты. Сондықтан сегнетоэлектриктің магниттелу қисығы тұзақ (гистерезис) тəріздес болады (6.1 - сурет)
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
-ε0ED |
C |
|
|
||
|
|
O |
ε0E |
ε0E |
|
|
|
L E |
|
||
|
|
|
|
||
D |
|
|
|
|
|
6.1 - сурет
Сегнетоэлектриктердiң поляризациялану механизмi олардың молекулалық диполдерiнiң күштi əсерлесуiне байланысты. Сондыєтан да өте əлсiз практикалық тұрғыдан нөлге тең өрiсте де сегнетоэлектрик поляризацияланады, яғни оның поляризацияланғыштығы нөлден өзге болады. Басқаша айтқанда сегнетоэлектрик өздiгiнен поляризацияланған күйде болады. Поляризацияланған сегнетоэлектриктiң маңында өте үлкен электр өрiсi пайда болады, бiрақ сегнетоэлектриктiң энергиясы термодинамикалық тепе-теңдiк күйде мүмкiн болғанша аз болуы керек, сондықтан сегнетоэлектрик тұтас поляризацияланбай, электрлiк моменттерi нөлден өзге макроскопиялық көлемдерге-домендерге бөлiнiп кетеді.
7 – ші лекция: ЭСӨ энергиясы.
Дискреттi зарядтар системасының өзара əсерлесу энергиясы.Алдымен екi нүктелiк
зарядтардан тұратын системаны қарастыралық. Нүктелiк зарядтар бiр-бiрiнен шексiз қашықтықта орналасқан кезде олар əсерлеспейдi. Бұл кездегi олардың өзара əсерлесу энергиясын нөльге тең деп есептеймiз. Егер кеңiстiктiң белгiлi бiр нүктесiнде орналасқан q2 зарядтан r21 қашықтықтағы нүктеге q1 зарядты шексiздiктен көшiрген кезде iстелетiн
жұмыс формуласына сəйкес ( r1 = r12 r2 → ∞)
A = q |
|
q1 |
= q ϕ |
|
, |
A |
= A |
(7.1) |
2 4πε r |
|
|||||||
12 |
2 |
2 |
|
21 |
12 |
|
||
|
0 12 |
|
|
|
|
|
|
|
мұндағы ϕ2 − q2 заряд көшiрiлiп əкелетiн нүктедегi |
q1 зарядтың потенциалы. Бл жұмыс |
|||||||
системаның потенциалдық энергиясын өзгертедi. q1 |
жəне q2 əр аттас зарядтар болса, |
|||||||
системаның потенциалдық энергиясы кемидi, ал аттас болса артады. Зарядталған бөлшектер бiр-бiрiнен шексiздiкте орналасқан кездегi системаның потенциалдық
энергиясы нөльге тең болғандықтан |
A12 жəне A21 жұмыстар системаның потенциалдық |
||||||||||||||
энергиясына тең, яғни |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ω = q ϕ |
1 |
= q |
ϕ |
2 |
,ω = |
(q ϕ |
1 |
+ q |
ϕ |
2 |
) |
(7.2) |
|||
|
|||||||||||||||
1 |
2 |
|
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
нүктелiк заряд болғанша |
q4 ,q5 т.с.с. зарядтармен |
||||||
Егер системаның құрамында |
|||||||||||||||
толықтыра берсек, оның потенциалдық энергиясы:
|
1 |
n |
|
|
ω = |
∑qiϕi |
(7.3) |
||
|
||||
|
2 i=1 |
|
||
мұндағы ϕi − qi нүктелiк заряд орналасқан нүктедегi |
басқа зарядтардың тудыратын |
|||
потенциалы. |
|
|
|
|
Үзiлiссiз таралған зарядтың потенциалдық энергиясы. Көлем жəне бет арқылы үзіліссізтаралған заряд үшін (7.3) формуланы төмендегідей түрде жазуға болады
ω = |
1 |
∫ρϕdV + |
1 |
∫σϕds |
(7.4) |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|
|
Зарядтардың өзара əсерлесу энергиясын олар тудыратын электр өрiсiн сипаттайтын шамалар арқылы өрнектеу.
ω = |
1 |
∫ |
ρϕdV = |
|
ρ = ε0 diυEr |
|
= |
|
ε0 |
∫ |
ϕdiυErdV = |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
r r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
diυ |
(ϕE) = E ϕ +ϕdiυE |
= |
ε |
|
|
|
r |
− |
ε |
|
r |
r |
= |
(7.5) |
||||||||
|
|
|
r |
|
|
r r |
|
|
0 ∫diυ(ϕE)dV |
|
0 |
∫E ϕdV = |
− ϕ = E |
||||||||||
|
ϕdiυE = diυ |
(ϕE) − E ϕ |
|
|
|
|
2 |
ε0 E 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
= |
ε0 |
∫E 2 dV + |
ε0 ∫diυ(ϕEr)dV = ∫ |
dV + |
ε0 |
∫diυ(ϕEr)dVr |
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
(7.5) өрнектiң оң жағындағы екiншi мүшесiне Гаусс-Остроградский теоремасын қолдансақ
ω = ∫ |
ε0E2 dV + ε0 ∫ϕEnds , |
(7.6) |
|
V |
2 |
2 s |
|
мұндағы sV |
V |
|
|
өрiс бар көлем V -ны қамтитын тұйық бет |
|||
8 – ші лекция: ЭСӨтегі күштер. |
|
||
Нүктелiк зарядқа əсер ететiн күш. Кеңiстiкте белгiлi бiр заңдылықпен таралған өрiс |
|||
болса, |
оны |
кернеулiкпен E = E(x, y,z) |
сипаттауға болады. Осы өрiстегi q нүктелiк |
зарядқа əсер ететiн күш заряд орналасқан нүктедегi өрiстiң кернеулiгiнiң мəнi мен заряд шамасының көбейтiндiсiне тең:
F(x, y,z) = qE(x, y,z) |
(8.1) |
ер өрiс бiркелкi болса E(x, y,z) = E0 , онда нүктелiк зарядқа əсер ететiн күш тұрақты |
|
болады |
|
F = qE0 |
(8.2) |
Дипольге əсер ететiн күш. Дипольдiң анықтамасы бойынша оның құрамына кiретiн зарядтарға əсер ететiн күштердiң геометриялық қосындысы
Fr = −qEr(rr) + qEr(rr + l ) = q{E(rr + l ) − E(rr)}= |
|
|
|||||||||||||
r |
r |
r |
∂ |
r |
r |
r2 |
|
∂ |
|
r |
r |
r |
|
(8.3) |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
r |
|
|||||
= q E(r ) + (l |
r |
)E(r ) + |
|
|
r |
|
E(r ) +... − E(r ) |
|
|||||||
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
∂r |
|
|
|
|
∂r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дипольдiң иiнi өте кiшi шама болғандықтан ( l << r ) оның аумағында өрiс кернеулiгiнiң өзгеруi əлсiз деп есептеуге болады, сондықтан екiншi реттi аз шамаларды ескермесек (8.3) формуланы былай жазуға болады:
r |
r ∂ r |
r |
r r |
|
||
F |
= q l |
r |
E |
(r ) = (P )E |
(8.4) |
|
|
|
∂r |
|
|
|
|
Сонымен диполге əсер ететiн күш тек бiртектi |
емес электр өрiсiнде ғана нөльден |
|||||
өзге жəне оның диполь осiнiң бойымен өзгеру жылдамдығына тəуелдi. Егер өрiс бiртектi болса, F = 0, өйткенi диполь зарядтарына əсер ететiн күштер шама жағынан тең де,
бағыттары қарама-қарсы. Сыртқы электр өрiсiнде диполге оның центрiне қарағанда күш |
||||||||||
моментi əсер етедi |
r |
[ |
r v |
r |
] |
= |
[ |
r r |
r |
] |
M = e l E |
(r ) |
|
|
PE |
(r ) |
|
||||
(8.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бұл формуладан сыртқы өрiске қойылған дипольдiң электрлiк моментi P өрiс кернеулiгiнiң бағытына параллель болуға тырысады.
Үзiлiссiз таралған зарядқа əсер ететiн күш. ґрiсте орналасқан дене бойымен ρ(x, y,z)
көлемдiк тығыздықпен таралған зарядқа əсер ететiн күштi табу үшiн суперпозиция принципiн пайдаланамыз. Ол үшiн алдымен дененiң dV элементiне əсер ететiн күштi табамыз. Бұл элементтiң заряды dq = ρ(x, y,z)dV болғандықтан, оған əсер ететiн күш:
dF = dq E(x, y,z) = ρ(x, y,z)E(x, y,z)dV
Зарядталған дененiң бiрлiк көлемiне, əсер ететiн шама, яғни күштiң көлемдiк тығыздығы:
r |
|
dF |
r |
|
f |
= |
|
= ρE . |
|
dV |
|
|||
|
|
|
Fr = ∫ρ(x, y,z)Er(x, y,z)dV = −∫ρ(x, y,z) ϕdV |
(8.6) |
Диэлектрикке əсер ететiн көлемдiк күштер. Электр өрiсiнде орналасқан диэлектриктiң бiрлiк көлемiне əсер ететiн күштi табу үшiн де, суперпозиция принципiн пайдаланамыз.
Диэлектриктiң dV |
элементiнiң электрлiк моментi dpr = PdV |
P -поляризацияланғыштық. |
|||||||||||||||
Ендi осы элементтi диполь деп қарастырып, (8.4) формуланы қолдансақ: |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
= |
|
r |
|
|
(8.7) |
|
|
||||
|
|
|
|
dF |
|
(P )EdV |
|
|
|
||||||||
Соңғы өрнектен диэлектрикке əсер ететiн күштiң көлемдiк тығыздығы |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
dF |
r r |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
f |
= |
|
= |
( P )E |
|
|
(8.8) |
|
|
||||
|
|
|
|
dV |
|
|
|
|
|||||||||
Поляризацияланғыштық пен өрiс кернеулiгiнiң арасындағы |
P = ε0 (1 +α)E қатынасын |
||||||||||||||||
(8.8) |
формулаға |
|
|
қойсақ |
жəне |
векторлық |
анализ |
курсынан |
белгiлi |
||||||||
(Er )Er = |
1 |
gradE2 |
−[E rotEr] |
формуласын еске алсақ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
r |
|
ε |
|
(ε |
|
−1) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= |
0 |
r |
gradE2 |
|
|
(8.9) |
|
|
||||||
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
α = εr −1 |
|||
(8.8) формуланы алар кезде бiз диэлектриктiң поляризациялану коэффициентi |
|||||||||||||||||
координатаға тəуелдi емес деп есептедiк. Бұл жағдай диэлектрик созылған жəне сығылғанда жеке молекулалардың поляризациялану коэффициенттерi өзгермейтiн диэлектриктер үшiн орындалады. Мұндай шарттар көбiнесе газдар мен сұйықтарда орындалады.