4. Түзу мен нүктенің проекциялық жазықтықта бір біріне қатысты оналасуы.

Егерь нүкте түзу бойында жатса, оның проекциясы түзу проекциясының бойында жату керек. Төмендегі суретте барлық нүктелердің ішінде тек С нүктесі ғана түзу бойында жатыр

Егер нүкте түзуді қандай да бір қатынаспен бқліп тұрса, онда нүктенің проекциясы да түзудің проекциясын сол қатынаста болу керек.

А₂К₂ /К₂В₂ А₁К₁/К₁В₁  КАВ. Фалес теоремасы бойынша: Егер бір жақтан бірдей екі кесінді сызып, олар арқылы қарама қарсы бағытқа түзу жүргізсе, екінші бағытта да кесінділер бірдей болады. А₁К₁/К₁В₁=2/3 , солай К₂ табамыз. Яғни К нүктесі АВ түзуін осындай қатынаста бөледі.

5. Түзудің ұзындығын және жазықтыққа еңкею бұрышын анықтау.

АВ кесіндісінің ұзындығын АВ1 тікбұрышты ұшбұрышынан анықтауға болады,   АВ үшбұрыштың гипотенузасы, катет А1= A⁰B⁰, ал екінші катет В1= BB⁰-AA⁰ екеуінің айырмасына тең.

6. Екі түзудің бір біріне қатысты орналасуы. Паралель сызықтар. Крестелген сызықтар.

1. Параллель түзу сызықтар Паралель түзудің проекциясы кез келген жазықтыққа паралель болады. Бұл паралель проекциялаудың қасиеті ортогональді проекцияға келеді, онда

ABCD то A₁B₁C₁D₁; A₂B₂C₂D₂; A₃B₃C₃D₃

2. Қиылысатын түзулер. Бір жазықтықта жатып, бір нүктеде қиылысатын жазықтықтарды қиылысатын түзулер деп атайды. Егер түзулер қиылысса, бір проекцияның қиылысу нүктелері де бір байланыс сызықта жатады.

3. Крестелген түзулер – бір жазықтықта жатпайтын түзулер. Егер түзулер бір бірімен қиылыспайды және паралель емес, онда олардың проекцияларының қиылысу нүктесі бір байланыс сызығында жатпайды.

7. Жазық бұрыштардың проекциясы

Жазық бұрыштарының ортогональді проекциясының қасиеттері

1. Егер тік бұрыштың бір жағы проекция жазықтығына паралель және екіншісі оған перпендикуляр емес болса, онда осы жазықтыққа бұрыш өзгеріссіз проецияланады. (Тік бұрыш проекциялау теоремасы).

2. Егер бұрыштың проекциясы 90⁰ болса, бұл бұрыштың бір жағы жазықтыққа паралель болса ғана тік болады.

3. Егер бұрыштың екі жағы да жазықтыққа паралель болса, онда оның проекциясы шамасы жағынана проекцияланатын бұрышқа тең болады.  

4. Егер бұрыштың жақтары паралель болмаса, онда бұрыштың проекциясы осы жазықтыққа қисық түседі.

8. Сызба геометриясының есептері. Ортогональді проекциялау әдістері.

Геометриялық фигураны ортақ жағдайдан жеке жағдайға ауыстыру үшін фигураның орналасуын және проекциялық жазықтықтарды ауыстыру арқылы жүзеге асуға болады. Ортогональ проекцияда бұл тек екі жолмен іске асады: Проекцияланатын кеңістіктегі фигураны проекция жазықтықтарына қатысты жеке жағдайда орналасатындай қылып орын ауыстыру - паралель орын ауыстыру әдісі. Проекция жазықтықтарының фигураға (кеңістікте орны ауспайды) қатысты орнын ауыстыру – проекция жазықтықтарын ауыстыру әдісі. Паралель орын ауыстыру әдісі арқылы фигураның орнын ауыстыру үшін оның нүктелерінің қозғалыс траекториясы паралель жазықтықта жататындай етіп ауыстыру керек. Нүктелердің траекториясы жататын жазықтық проекция жазықтығының біреуіне паралель болады. Геометриялық объекті проекция жазықтығына қатысты орын ауыстыру кезінде фигураның проекциясы орын ауыстырғанымен жалпы өзгермейді.

Жазықтық ауыстыру әдісі

Кеңістіктегі фигура мен проекция жазықтықтарының орналасуын ауыстыру жазықтық ауыстыру әдісі П1 и П2 жазықтықтарын П4 жаңа жазықтықтарымен ауыстыру арқылы да жүзеге асады. Жаңа жазықтықтар бұрынғы жазықтықтарға перпендикуляр етіп алынады. Бір проекция жазықтықтары жүйесінен екіншіге өту келесі ережелер арқылы жүзеге асады: нүктенің жаңа проекциясынан жаңа оске дейінгі арақашытық нүктенің ауысатын проекциясынан ауысатын оске дейінгі арақашықтықа тең болу керек.

Перпендикуляр проекция жазықтығы осі арқылы айналдыру әдісі Нүктелер қозғалысының траекториясы жататын жазықтықтар проекция жазықтығының біреуіне паралель болады. Траектория – перпендикуляр жазықтықтың осінде центрі жататын шеңбердің доғасы. АВ кесінідісінің нағыз өлшемін табу үшін В1 арқылы өтетін горизонталь проекция жазықтығына перпендикуляр айналу осін таңдайық. Кесіндіні фронталь проекция жазықтына паралель болатындай етіп айналдырайық, (кесіндінің горизонталь проекциясы х осіне паралель). А1 нүктесі А*1 нүктесіне ауысады, ал В нүктесі өз орнын өзгертпейді. А*2 А нүктесінің орын ауыстыру траекториясының фронталь проекциясы мен А*1 өтетін байланыс сызықтарының қиылысында жатады.Алынған В2 А*2 проекциясы кесіндінің нағыз өлшемін береді.

Паралель проекция жазықтығы осі арқылы айналдыру әдісі К нүктесінде қиылысатын а және в түзулердің қиылысуының проекциясын қарастырайық. Екі түзу арасындағы бұрыштардың нағыз өлшемін анықтау үшін, түзулер проекция жазықтықтарына паралель болатындай етіп ортогональ проекция жүргізу керек. Горизонталь түзуі арқылы айналдыру әдісін пайдаланайық. h2 горизонталінің фронталь проекциясын Ох осіне паралель етіп жүргізейік, которая пересекает прямые в точках А2 и В2 . А1 и В1 проекцияларын анықтап, h1 горизонталінің горизонталдық проекциясын тұрғызайық. Горизонталь арқылы айналу кезінде нүктелердің қозғалыс траекторясы - түзу ретінде П1 жазықтығына проекцияланатын шеңбер болып табылады. К1 нүктесінің қозғалыс траекториясы К1О1 түзуі арқылы анықталады, О нүктесі К нүктесі траектория шеңбердің центрі, Осы шеңбердің радиусын табу үшін, үшбұрыш әдісі арқылы КО кесіндісінің нағыз өлшемін табайық. К1О1 түзуін |КО|=|О1К*1| тең болатындай етіп жалғастырайық. а және в түзулері П1 жазықтығына және айналу осіне паралель жатса, К*1 нүктесі К нүктесіне сәйкес келеді,. К*1 , А1 және В1 нүктелері арқылы П1 жазықтығына паралель жататын түзулер жүргізейік. Сәйкесінше φ - екі түзу арасындағы бұрыштың нағыз өлшемі болады.