10. Дифференциалдық теңдеулердің симметриялық жүйесі.

Д.т.ж – 1ші дәрежелі д.т.ж. деп, мынадай жүйені айтамыз: =0

=0

=0

x- тәуелсіз шама;

=0

-z=0

Y=

Z=

z=2x

=0

2x-2x=0

11. Вольтерр түріндегі интегралдық теңдеулер. Олардың түрлері және дифференциалдық теңдеулермен байланысы.

Вольтер теңдеулері, немесе айнымалы жоғарғы шекті бірінші дәрежедегі интегралды

теңдеулер жатады. Интегралдық теңдеулердің тым жалпы, сапалық айырмашылығы бар

түрі болып Фредгольм теңдеулері қызмет атқарады. Осы интегралдық теңдеулер

теориясының мазмұны мен құрылымының терең қайта құрылуымен байланысты

теңдеулердің бір түрінен басқаға ауысуы математикалық танымдағы секіріс болды. Егер

үздікті функция

, f(x)=0 онда Фредгольм теңдеуі Вольтерр теңдеуіне ауысады, ал f(a)=0

болғанда, сонда бірінші теңдеудің шешімі, екіншінің шешіміне, теңдеуге

заңды түрде өтеді. Бұл жағдайда тағы да интегралдық теңдеудің тым жалпы түрінің өзіне

жалпылығы кемдеу теңдеу түрін өзінің шекті жағдайы ретінде құрамына қосатынына көз

жеткіземіз .

12. Фредгольм түріндегі интегралдық теңдеулер. Олардың түрлері және дифференциалдық теңдеулермен байланысы.

Вольтер теңдеулері, немесе айнымалы жоғарғы шекті бірінші дәрежедегі интегралды

теңдеулер жатады. Интегралдық теңдеулердің тым жалпы, сапалық айырмашылығы бар

түрі болып Фредгольм теңдеулері қызмет атқарады. Осы интегралдық теңдеулер

теориясының мазмұны мен құрылымының терең қайта құрылуымен байланысты

теңдеулердің бір түрінен басқаға ауысуы математикалық танымдағы секіріс болды. Егер

үздікті функция

, f(x)=0 онда Фредгольм теңдеуі Вольтерр теңдеуіне ауысады, ал f(a)=0

болғанда, сонда бірінші теңдеудің шешімі, екіншінің шешіміне, теңдеуге

заңды түрде өтеді. Бұл жағдайда тағы да интегралдық теңдеудің тым жалпы түрінің өзіне

жалпылығы кемдеу теңдеу түрін өзінің шекті жағдайы ретінде құрамына қосатынына көз

жеткіземіз .

13. Бірінші ретті біртекті емес сызықтық жүйелердің жалпы шешімін тұрақтыны варияциялау әдісімен шығару.

Біртексіз (1) теңдеудің жалпы шешімін біртекті (2) теңдеудің жалпы шешімі – (3) түрде іздейміз, бірақ мұндағы С санын х-қа байланысты функция деп есептейміз:

(1)

(2)

(3)

(5)

Осы функцияны (1) теңдеуге апарып қоялық:

+= q(x)

Бұдан

q(x)

Теңдеуін аламыз. Енді осы теңдеуді интегралдасақ, онда

C(x)= dx (6)

Өрнегін аламыз. Мұнда– кез келген тұрақты сан. Осы (5) қатынасқа апарып қойсақ, онда біртексіз (1) теңдеудің жалпы шешімін аламыз:

(7)

Соңғы шешімді Коши түрінде жазсақ, онда мынандай өрнек аламыз:

(8)

Мұнда –тұрақты сан, ал– кез келген сан деп аламыз.

14. Бірінші ретті біртекті сызықтық жүйелердің жалпы шешімінің құрылымы.

Біртекті сызықты теңдеудің шешімдерінің қасиеттерін келтірейік. Коэффициенттері кейбір a,b аралығында үздіксіз болып келетін мына n-ретті теңдеуді қарастырайық:

L(1)

Ең алдымен ескеретін жəй – біртекті сызықты теңдеудің барлық жағдайда нольдік шешімі бар. Ол шешім (2)

бастапқы шартты қанағаттандыратын Коши есебінің шешімі: y( x )=0 . Бұл шешім жалғыз

Теорема-1. Егер функциялары (1) теңдеудіңa,b аралығындағы Шешімдері болса, онда олардың сызықты комбинациясы

сол теңдеудің a,b аралығындағы шешімі болады.

Теорема-2. Егер (1) теңдеудің ( x )=u( x )+iv( x ) түріндегі комплекс шешімі бар болса,

онда оның нақты жəне жорамал бөліктері өз алдына сол теңдеудің шешімдерін береді.

Дəлелдеуі. Шарт бойынша

LL

оператордың қасиеті бойынша

LL

Осыдан L

Анықтама-2. Сызықты біртекті теңдеудің кез келген n сызықты тəуелсіз

шешімдер жүйесі осы теңдеудің базисы немесе фундаменталь шешімдер жүйесі деп

аталады.