5. Толык диф тендеудин жалп интегр кортып шыгару

Егер M(t,x)dt + N(t,x)dx = 0 (1)

Теңдеуі анықталатын бірбайланысты D облысында екі аргументтен тәуелді, дифференциалданатын U(t,x) функциясы табылып, теңдеудің сол жағы осы функцияның толық дифференциалына тепе-тең болса,

M(t,x)dt + N(t,x)dx = dU(t,x), (t,x)D,

Онда (1) теңдеуді толық дифференциалдық теңдеу деп атайды. Теңдеу анықталатын D облысына ерекше нүктелер кірмейді деп есептеледі, яғни (t,x)D: M²(t,x) + N²(t,x) > 0. Толық дифференциалдық теңдеуді әрқашан dU(t,x) = 0 түрінде жазуға болады. Сондықтан оның жалпы интегралы

U(t,x) = C (2)

Демек кез келген x=(t)C¹(немесе t= (x)C¹ ) функцисы (1)теңдеудің шешімі болуы үшін U(t,(t)) = C,t (немесе U((x))C,) тепе-теңдігінің орындалуы қажетті де жеткілікті. Мұндағы U(t,x) – теңдеудің интегралы.

Толық диф-қ теңдеудің ерекше шешімі болмайды.

7. Жогаргы ретти диф тендеудин жазлыуы

Диф-қ теңдеуге кіретін туындының ең жоғарғы реті екіден кем болмаса, теңдеу жоғарғы ретті деп аталады. Жоғары ретті диф-қ теңдеу былай жазылады:

F= 0, n2

t- тәуелсіз айнымалы, х – ізделінетін функция, :=1–туындылар, ал F- олардың арақатынасын өрнектейтін функция. D₀ F функциясының анықталу облысы болсын. Әдетте F функициясы D₀ облысында барлық аргументтері бойынша үзіліссіз және нақты деп есептелінеді.

Қандай да болмасын бір аралығында анықталған, n-ретке дейін диф-тын x=функциясы мына екі шартты:

1. D, t;

2. ,t

Қанағаттандыратын болса, онда оны теңдеудің аралығындағы шешімі деп атайды.

9. Туынды бойынша шешілмеген бірінші реттідифференциялдық теңдеудің айқындалған, айқындалмаған параметрлік түрдегі шешімдері.

Туынды бойынша шешілмеген теңдеулердің жалпы түрін мынадай өрнекпен жазуға болады:

F(x,y,) =0 (1)

Мұндағы, F -кейбір Gоблысында анықталған үздіксіз функция.

Анықтама-1. Аралығында анықталған y=функциясы (1) теңдеудің шешімі деп аталады, егер мынандай 3 шарт орындалса:

1. Функциясы аралығының барлық нүктесінде дифференциалданатын болса;

2. (x,

3. F(x,

Туынды бойынша шешілген теңдеу сияқты, бойынша шешілмеген теңдеу де ХОУ жазықтығында бағыттар өрісін айқындайды. Бірақ, бұл өріс жалғыз болмауы мүмкін. Себебі, (1) теңдеуді бойынша шешкенде оның бірнеше түбірлері болуы мүмкін:

Жалпы жағдайда, (1) теңдеудібойынша шешу мүмкін бола бермейді. Бірақ, басқа айнымалылары бойынша шешілуі мүмкін. Мұндай жағдайда параметр енгізу әдісін қолданады.

Айталық, (1) теңдек у бойынша шешілген делік: y=f(x, Бұл жағдайда параметрін енгізу арқылы

Y=f(x,p) (2)

Теңдеуін аламыз. Осы қатынастан толық дифференциал алып, алмастырудағы байланысын ескерсек, онда мынадай теңдеу аламыз:

Pdx= (3)

Немесе

M(x,p)dx + N(x,p)dp=0 (4)

Бұл теңдеу бұрын қарастырылған теңдеулердің қатарына жатады. Егер оның жалпы интегралы белгілі болса, онда

𝛷(x,p,C) =0

Y= f(x,p)

Түріндегі қатынастары (1) теңдеудің интегралдық қисығын анықтайды.

Егер соңғы теңдеудің шешімі белгілі болса, онда

Y=

X=f(y,p)

Қатынастары (1) теңдеудің жалпы шешімінің параметрлік түрін береді.