20. N ретті тұрақты коэффициентті біртекті теңдеулерді Эйлер әдісімен шешу.

Белгісіз функция мен оның туындысы сызықты түрде, яғни бірінші дәрежеде байланысқан теңдеуді сызықты дифференциалдық теңдеу деп атайды. Сызықты теңдеудің келтірілген түрін қарастырайық:

(1)

Мұнда p(x), q(x) функциялары кейбір <a,b> аралығында анықталған және үздіксіз деп есептелінеді. Егер q(x)0 болса, онда (1) теңдеуді біртексіз сызықты теңдеу деп, ал q(x)=0 болса, онда біртекті сызықты теңдеу деп атайды:

(2)

Көбінесе (2) теңдеуді (1) теңдеудің сәйкес біртектісі деп атайды.

Интегралдаушы көбейткіш әдісі (Эйлер әдісі).

Берілген біртексіз (1) теңдеудің екі жағын функциясына көбейтіп, ықшамдап жазатын болсақ, онда мынандай қатынас аламыз:

.

Осы қатынасты интегрлдасақ:

,

ал бұдан

.

Тағы да жалпы шешім – түрге келдік.

Жалпы, белгілі бір теңдеудің шешімін іздегенде жоғарыда келтірілген әдістердің есептеу жолын қайталамай-ақ, дайын өрнекті пайдалану керек.

23. N ретті деференциалдық теңдеулердің шешімдерінің қасиеттері

Сызықты теңдеулердің ортақ екі қасиетін келтірейік.

Тәуелсіз айнымалыны кейбір аралығында анықталғанрет үздіксіз дифференциалданатын, бірінші туындысы нөлге тең емес функция арқылы жаңа тәуелсіз айнымалымен алмастырғаннан теңдеудің сызықтығы өзгермейді.

Шынында да, алмастыруын жасайық. Сонда

Осылай кез келген -ның сызықты түрдеарқылы өрнектелетінін көреміз. Осы қатынастарды (1) және (2) теңдеулерге апарып қойсақ, қайтадан сызықты теңдеулер аламыз.

2⁰. Белгісіз функцияны басқа бір функциямен сызықты түрде алмастырғаннан теңдеудің сызықтығы өзгермейді.

Шынында да, айталық, түрінде алмастыру жасалсын. Мұндағы,жәнефункцияларыаралығында анықталғанрет үздіксіз дифференциалданатын функциялар болсын.

Сонда

Осы туындыларды (1) теңдеуге апарып қойсақ, қайтадан біртексіз сызықты теңдеу аламыз.

Ал (2) теңдеуге апарып қойсақ, онда біртекті теңдеуіміз біртексіз сызықты теңдеуге айналады. Біртектілікті сақтау үшін түріндегі біртекті алмастыру алу керек.

Сызықты теңдеулердің бір ерекшелігі – олардың бастапқы шартты қанағаттандыратын шешімі бар болу үшін бір-ақ шарттың орындалуы жеткілікті.

Дәлірек айтсақ, мынандай тұжырым орын алады.

Теорема-1. Егер сызықты теңдеудің коэффициенттері мен бос мүшесі кейбір аралығында анықталған үздіксіз функциялар болса, онда оның бастапқы шартты қанағаттандыратын жалғыз ғана шешімі болады және ол шешімаралығының өн бойында анықталады.

Бұл тұжырымды дәлелдеу қиындық туғызбайды.

29. Жай дифф теңдеулер үшін шеттік есеп. Гринн функциясы

a₀(x)y''+a₁(x)y'+a₂(x)y=f(x), x₀<x<x₁ (1)

άy'(x₀)+ϐy(x₀)=0, vy'(x₁)+ ϐy(x₁)=0 (2)

(1), (2)- шеттік есеп

Егер ά=v=0 I -ші шеттік есеп немесе Дирихле есебі

Егер ϐ=δ=0 II-ші шеттік есеп немесе Нейман есебі

G(x,S), y(x)=

(1), (2) шеттікесеп үшін Гринн функциясы деп келесі шарттарды қанағаттандыратын b(x,S) функциясын айтамыз.

G(x,S), x₀<x,S<x₁

Әрбір тұрақтандырылған S үшін S € [x₀,x₁]

1. x тең емес S үшін a₀(x)y''+a₁(x)y'+a₂(x)y=0 (3) теңд шешімі

2. x=x₀, x=x₁ болғанда, (2) шеттік шартты қанағаттандырады.

3. x=S болғанда, x айнымалысы бойынша үздіксіз, ал x бойынша 1-ші ретті туындылары 1/a(S) секірмеге ие болады.

Яғни , (4) G(S+0,S)=G(S-0,S), G'_x(S+0,S)-G'_x(S-0,S)=1/a(S) (4) (1)-(2) шеттік есеп үшін Гринн функциясын құру үшін сәйкес 1-ші және 2-ші шеттік шарттарды қанағаттандыратын (3) теңдеудің y₁ және y₂ дербес шешімдерін табу керек.

Егер мұндай шешімдері бар болса, онда Гринн функциясын

G(x,S)=a(S)y₁(x), x₀<x<S

b(S)y₂(x), S<x<x₁ (5)

мынандай түрде құрамыз.

Мұндағы a,b функциясын G(x,S) Грин функциясы (4) шартты қанағаттандыратындай етіп таңдап алынады. Яғни , b(S)y₂(S)=a(S)y₁(S)

b(S)y₂'(S)=a(S)y₁'(S)+1/a(S)

2-блок

1.Берілген нуктеде x=f(t,x) , x(t)=x Коши есебинин жалгыздык шарты

Дифференциалдық теңдеу

және бастапқы мәндер t₀ ,x₀берілсін.

шартын қанағғаттандыратын жалғыз шешімі бар делік.

Айталық f(t,x) Q={(t,x)R² :a,} жолағында анықталған және үзіліссіз болсын. Әрі х бойынша Липшиц шартын қанағаттандырсын. Онда жолақтан алынған кез келген бастапқы берілгендер t₀,x₀ үшін (1), (2) Коши есебінің жалғыз ғана шешімі бар болады.Ол шешім кесіндісінің өн бойында анықталады және онда шенелген болады. Мұндағы Липшиц шартының орнына онан күштірек Q-да f_x’(t,x) шенелген деп алуға болады.

2. Берілген нуктеде x=f(t,x) , x(t)=x Коши есебинин жалгыздык шарты

Тәуелсіз айнымалы t біреу ғана болсын да, ізделінетін функциялар x_j бірнешеу (j=1,2,…,n) болсын. Туынды бойынша шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеулерден тұратын жүйе қарастыралық:

Мұндай жүйені дифференциалдық теңдеулердің қалыпты жүйесі деп атайды. Егер (t₀,x₁⁰,…,x_n⁰) нүктесі арқылы бірнеше интегралдық қисық өтетін болса, онда ол нүктеде Коши есебі шешімінің жалғыздық шарты бұзылып тұр дейді. Бұл жағдайда (t₀,x₁⁰,…,x_n⁰) нүктесі арқылы өтетін интегралдық қисықтардың бәрі осы нүктеде ₀ векторын жанайды. Кез келген нүктесінде Коши есебінің шешімінің жалғыздық шарты орындалатын (яғни тек қана жалғыздық нүктелерден тұратын) шешім дара шешім деп, ал әрбір (барлық) нүктесінде жалғыздық шарты бұзылатын шешім ерекше шешім деп аталады.