5. Симплекс әдіс көмегімен экстремумды іздеу

Координаттары болатын бастапқы нүктені үшбұрыштың ауырлық ортасы ретінде аламыз. Бастапқы нүкте айналасында симплекс-үшбұрыш тұрғызамыз. Бұл симплекстің тқбелерінің координаталары келесі формулалармен есептеледі:

мұндағы дербес түрде таңдалатын, симплекс қабырғасының ұзындығы.болсын, онда симплекс төбесінің координаттары және оған сәйкес келетін мақсатты функцияның мәні келесідей болады:

Функцияның үш мәнінің ішінен ең нашары таңдап алынады: минимумды іздеу кезінде бұл нүкте функцияның максимал мән қабылдайтын нүктесі. Біздің жағдайда бұл нүкте :

Қарсы жатқан шектің ортасы арқылы симплекстің жаңа төбесі тұрғызылады, ол ең нашар төбеге симметриялы.

Жаңа төбенің координаттарын келесі формула арқылы өлшейміз:

Нәтижесінде келесі төбелері бар жаңа симплекс алынды:

Енді ең нашар нүкте болып симплекстің координаттары болатын төбесі алынады. Ары қарайғы есептеулер кестеде көрсетілген:

Соңғы симплекс координаттары кестеде көрсетілген:

Осылайша, кескінделгентөбесі қайтадан ең нашар нүкте болып қалды. Бұл жағдай «шырғалану» процесі деп аталады. Берілген делдікпенсимплекс қабырғасының ұзындығын салыстыра отырып, алгоритмнің аяқталу шартын тексереміз. Іздеуді жалғастыру үшін соңғы симплекстің редукциясын жүргізу керек.

Функция минимал мән қабылдайтын төбе таңдалып алынады. Қалған екі төбе оған іргелес шектердің ортасында орналасады.

Осылайша, қабырғасының ұзындығы 1-ге тең жаңа симплекс алынды, оның төбелерінің координаттары:

Ары қарайғы есептеулер кестеде көрсетілген:

Соңғы нүктеде шырғалану болғандықтан және симплекс қабырғасының ұзындығы болғандықтан алгоритмді тоқтату шарты орындалады.

Осылайша, минимум нүкте ретінде шырғаланудан кейінгі мақсатты функцияның минимумына сәйкес келетін симплекстің төбесін аламызң яғни:

Іздеу траекториясы 6-суретте көрсетілген:

6-сурет.

6. Нильдер-Мид әдісімен экстремумды іздеу

Бастапқы симплекс ретінде алдыңғы мысалда көрсетілген симплексті алайық.

Ең нашар төбе , ал ең жақсы төбеболып табылады. Кескіндеуден кейін жаңа төбелері бар жаңа симплекс аламыз:

Кескінделген нүктесі ең жақсы болғандықтан, симплекстің созылуын жүргіземіз. Жаңа төбенің координаттарын келесі формуламен есептейміз:

Енді ең нашар нүкте болып симплекстің координаттары болатын нүктесі алынады. Ары қарайғы есептеулер кестеде көрсетілген:

Соңғы симплекс координаттары кестеде көрсетілген:

Осылайша, төбесі ең нашар болып шықты. Іздеуді жалғастыру үшін соңғы симплекстің редукциясын жүргізу қажет.

Функция минимал мән қабылдайтын төбе таңдалынады. Қалған екі төбе оған іргелес шектердің ортасында орналасады.

Ары қарайғы есептеулер кестеде көрсетілген:

Соңғы нүкте кескінделгенмен салыстырғанда ең жақсы нүкте болып табылады, бірақ сонда да қалғандарының арасында ең нашары болып табылады. Сондықтан, сығу операциясын орындаймыз. Жаңа төбенің координаттарын келесі формуламен анықтаймыз:

Ары қарайғы есептеулер кестеде көрсетілген:

Соңғы нүктеде алгоритмнің аяқталу шарты орындалады, яғни, симплекс төбелеріндегі функция мәндерінің айырымының орта квадраттық шамасы мен оның орта мәні құрайды.

Осылайша, минимум нүкте ретінде мақсатты функцияның минимумына сәйкес келетін симплекс төбесін алады: .

Іздеу траекториясы 7-суретте көрсетілген:

7-сурет.