Задача №1. Расчет многопролетной ШКБ
.pdf2.8. Изображение характера изогнутой оси балки
Схема изогнутой оси балки строится по эпюре изгибающих моментов. Для рассматриваемой шарнирно-консольной балки схема изогнутой оси показана на рис. 9, в.
При схематическом изображении изогнутой оси балки следует руководствоваться следующими правилами:
а) изогнутая ось состоит из участков, границами которых являются нулевые точки эпюры изгибающих моментом М;
б) каждый участок обращён выпуклостью в сторону отложенных на эпюре М ординат (в сторону растянутых волокон);
в) точка, расположенная на границе двух смежных участков, является точкой перегиба кривой (за исключением мест расположения шарниров, где изогнутая ось имеет изломы, а не точки перегиба);
г) изогнутая ось не должна отрываться от опор, т.е. должна быть связана с ними (на рис. 9, в линейные перемещения по направлению шарнирно-подвижных опор В, E, G, а также линейные перемещения в шарнирно-неподвижной опоре А равны нулю).
Рис. 9. Построение изображения изогнутой оси балки |
31
3.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Перечислить внутренние усилия, действующие в поперечных сечениях плоских стержневых систем.
2.Охарактеризуйте основные типы опор, применяемых для крепления многопролётных шарнирно-консольных балок и возникающие в них реакции.
3.Перечислите уравнения, которые могут быть составлены для определения опорных реакций многопролётных шарнирно-консольных балок. Сформулируйте критерий статической определимости многопролётных шарнирно-консольных балок.
4.Поясните принципы построения геометрически неизменяемых статически определимых многопролётных шарнирно-консольных балок.
5.Поясните принцип построения «поэтажной» схемы многопролётной статически определимой шарнирно-консольной балки.
6.Как передаются усилия в «поэтажных» схемах статически определимых многопролётных балок?
7.Как можно определить опорные реакции и построить эпюры внутренних усилий в статически определимой шарнирно-консольной балке без построения "поэтажной" схемы?
8.Дайте определение линии влияния.
9.Приведите порядок построения линий влияния опорных реакций в многопролётных статически определимых шарнирно-консольных балках.
10.Приведите порядок построения линий влияния внутренних усилий в сечениях многопролётных статически определимых шарнирно-консольных балок.
11.Поясните физический смысл ординат линий влияния поперечной силы и изгибающего момента (на примере линий влияния, построенных в данном РГЗ).
12.Поясните физический смысл ординаты линии влияния опорной реакции (на примере линии влияния, построенной в данном РГЗ).
13.Как определяются внутренние усилия в данном сечении (или опоре) от неподвижной нагрузки по линиям влияния?
14.Приведите формулу, по которой определяются перемещения в балках при действии нагрузки.
15.Какие способы используются для вычисления интеграла Мора при определении перемещений в балках и рамах?
16.Приведите порядок определения перемещений с использованием интеграла Мора.
32
17.Какое единичное состояние необходимо для определения линейного перемещения заданного сечения балки в заданном направлении?
18.Какое единичное состояние необходимо для определения углового перемещения заданного сечения балки?
19.Какое единичное состояние необходимо для определения угла взаимного поворота примыкающих к шарниру сечений?
20.Поясните принцип построения изогнутой оси балки по эпюре изгибающих моментов (на примере данного РГЗ).
33
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение А
Правила определения внутренних усилий в балке
В общем случае в элементах плоской стержневой системы возникают три усилия: продольная сила N, поперечная сила Q, изгибающий момент M. На рис. А.1 показаны положительные значения внутренних силовых факторов в любом поперечном сечении стержня.
При нагрузках, направленных по нормали к оси балки, имеем плоский прямой изгиб, когда в поперечном в сечении балки возникают два внутренних усилия
– изгибающий момент и поперечная сила (соответствует условию рассматриваемой задачи).
При нагрузках, направленных не по нормали к оси балки (а под другим углом), в ее поперечных сечениях возникают, кроме поперечных сил и изгибающих моментов, также и продольные силы N.
Рис. А.1
Из уравнений равновесия для отсеченных частей по методу сечений следуют правила определения внутренних усилий.
Продольная сила N – это сумма проекций на ось X всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, с учетом правила знаков:
N FХ X .
отс.ч. отс.ч.
Продольная сила положительна, если растягивает элемент, и отрицательна, если сжимает его.
При построении эпюр: положительные значения N, как правило, откладывают выше (слева) базисной линии, отрицательные – ниже (справа). На эпюре N обязательно указывается знак.
Поперечная (перерезывающая) сила Q – это сумма проекций на поперечную ось Y сечения всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, с учетом правила знаков:
34
Q FY Y .
отс.ч отс.ч
Поперечная сила положительна, если вращает элемент по часовой стрелке, и отрицательна, если вращает его против часовой стрелки.
При построении эпюр: положительные значения Q, как правило, откладывают выше (слева) базисной линии, отрицательные – ниже (справа). На эпюре Q обязательно указывается знак.
Изгибающий момент – это сумма моментов всех внешних усилий, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, взятых относительно центра массы сечения, с учетом правила знаков
M M .
отс.ч
Изгибающий момент считается положительным, если он приводит к растяжению нижних волокон (выпуклостью вниз). На рис. А.2, показаны направления положительных моментов (с левого торца балки – по часовой стрелке, с правого – против).
Рис. А.2
Эпюра М строится со стороны растянутых волокон, причем, в соответствии с введенным правилом знаков, изгибающий момент, имеющий положительное значение откладывается снизу эпюры (на нижних волокнах).
В инженерных расчетах знак на эпюре изгибающего момента обычно не ставят, эпюру М строят со стороны растянутого волокна, что считается достаточным для последующих расчетов. Это связано с тем, что бетон плохо сопротивляется растяжению, поэтому эпюра М указывает ту зону (те волокна), где имеет место растяжение, и где следует закладывать стальную арматуру, которая и будет воспринимать растягивающие напряжения.
35
Приложение Б.
Проверка правильности построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил
Эпюры внутренних усилий M и Q должны удовлетворять закономерностям, известным из курса сопротивления материалов. Поясним эти закономерности на примере эпюр M и Q для многопролётной балки, рассмотренной в примере расчёта (рис. 3, а-в).
1. Эпюра изгибающих моментов:
-в сечениях, где действуют внешние сосредоточенные моменты, наблюдаются скачки эпюры М на величину внешнего момента, направленные в сторону действия М, см. рис. 3, в (сечение k);
-точкам приложения сосредоточенных сил (как внешних, так и реактивных) соответствуют изломы эпюры М в направлении действия этих сил, см. рис 3, в (сечения В, С, n, E, k);
-между сосредоточенными силами (в случае отсутствия между ними распределенных нагрузок) эпюра М линейная, см. рис. 3, в (участки DE, Ek, kG);
-на участках с распределенной нагрузкой q эпюра М криволинейная (параболическая) с выпуклостью в ту сторону, в которую направлена эта нагрузка, см. рис 3, в (участки АВ, ВС, Сn, nD).
2. Эпюра поперечных сил:
-точкам приложения сосредоточенных сил (как внешних, так и реактивных) соответствуют скачки эпюры на их величину в направлении действия сил (при перемещении вдоль базовой линии эпюры слева направо), см. рис. 3, б (сечения В,
С, n, E, k);
-между сосредоточенными силами (в случае отсутствия между ними распределенных нагрузок) эпюра Q сохраняет постоянное значение и представляет собой прямую параллельную нулевой линии, см. рис. 3, б (участки DE, Ek, kG);
-на участках с равномерно распределенными нагрузками эпюра Q наклонная, при этом наклон возрастает с увеличением интенсивности нагрузки, см. рис
3, в (участки АВ, ВС, Сn, nD);
3. Между эпюрами М и Q существует взаимосвязь, определяемая теоремой Д.И. Журавского Q = dM /dх, поэтому:
36
- в сечениях, где поперечная сила равна нулю, изгибающие моменты имеют экстремальные значения, т.е. при Q = 0: М = М max, min. В частности, на рис. 3, б, в показаны экстремумы эпюры M на участке CD. Экстремумы на эпюре М наблюдаются также в точках B, E, где эпюра Q скачкообразно переходит через нулевую линию;
- при положительном значении Q эпюра М возрастает (нисходящие ординаты на эпюре М, при ее построении на растянутых волокнах и движении слева направо), при отрицательном – уменьшается (восходящие ординаты на эпюре М).
4. Кроме качественной проверки эпюр М и Q можно провести количественную проверку.
Так как Q = dM /dх = tgφМ поперечная сила в любом сечении численно равна тангенсу угла наклона, составляемого касательной к эпюре M с осью балки (угла φ). При построении эпюры изгибающего момента на растянутых волокнах поперечная сила положительна, если нулевую линию эпюры следует вращать до совмещения с касательной к эпюре М по часовой стрелке на угол не более 90°.
Тогда эпюры поперечных сил можно построить по эпюрам моментов на основе зависимости Журавского в виде:
- для участков, где эпюра М имеет линейное очертание (отсутствует q) значе-
ние Q = const
Q tg М М К М Н , l
- для участков, где эпюра М имеет параболическое очертание (действует q), эпюра Q линейная со значениями ординат по краям
Q tg |
|
|
М К М Н |
|
ql |
, |
Q tg |
|
|
М К М Н |
|
ql |
, |
Н |
М |
|
l |
2 |
|
К |
М |
|
l |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
где МН и МК – изгибающие моменты соответственно в начале МН и в конце МК участка (положительны, если растягивают нижние (правые для вертикальных стержней волокна);
l – длина участка;
QН и QК – поперечные силы соответственно в начале и в конце участка (берутся со своим знаком);
q – действующая равномерно распределенная нагрузка (q > 0, если направлена вниз или слева направо для вертикальных стержней).
Для балки, указанной на рис. 3, а (эпюра изгибающих моментов – на рис. 3, в), имеем:
37
Q |
|
tg |
|
|
|
|
|
M В M А |
|
|
|
q lАВ |
40 0 |
5 3 |
|
5,83 кН; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
А |
АВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lАВ |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Qслева tg |
|
|
|
|
|
|
M В M А |
|
|
q lАВ |
40 0 |
5 3 |
20,83 кН; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lАВ |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Qсправа tg |
|
|
|
|
|
|
MС M В |
|
|
|
|
q lВС |
|
|
|
0 ( 40) |
|
5 2 |
25 кН; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ВС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lВС |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Qслева tg |
|
|
|
|
|
|
MС M В |
|
|
|
|
|
q lВС |
|
|
|
0 ( 40) |
|
5 2 |
15 кН; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ВС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lВС |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Qсправа tg |
|
|
|
|
|
|
Mn MC |
|
|
|
q lСn |
|
|
8 0 |
|
|
5 2 |
|
|
9 кН; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lСn |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Qслева tg |
|
|
|
|
|
|
Mn MC |
|
|
|
|
q lСn |
|
|
|
8 0 |
|
|
5 2 |
|
1 кН; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Сn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lСn |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Qсправа tg |
|
|
|
|
|
M D Mn |
|
|
q lnD |
|
|
0 8 |
|
5 4 |
8 кН; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
nD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnD |
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Qслева tg |
|
|
|
|
|
M D Mn |
|
q lnD |
|
|
|
0 8 |
|
5 4 |
12 кН; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
nD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnD |
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Q tg |
|
|
|
|
|
M E M D |
|
|
12 0 12 кН; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
DE |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
DE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lED |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Q |
|
tg |
|
|
|
|
Mk M E |
|
24 ( 12) |
12 кН; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ek |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ek |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lEk |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Q tg |
|
|
|
|
MG Mk |
|
0 16 |
8 кН; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
kG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ek |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lkG |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученные значения поперечных сил совпадают со значениями, указанными на эпюре Q (рис. 3, б) и вычисленными по правилам, принятым в сопротивлении материалов.
5. Изменение величины изгибающего момента на заданном участке элемента системы между двумя его сечениями равно площади эпюры поперечных сил, соответствующей этому участку (при условии, что в пределах его не приложены внешние моменты).
Условие является следствием дифференциальной зависимости между поперечной силой и изгибающим моментом. Действительно, т.к. Q = dM /dх, то dM = Q∙dx = dAQ. Здесь dAQ – площадь элементарной полоски шириной dx эпюры Q. Интегрируя полученное выражение в пределах участка IK, получаем, что для любого участка IK можно записать: МК – МI = AQIK, откуда:
38
МК = МI + AQIK.
Здесь индексы I и K указывают на те сечения, в которых действуют моменты (I – слева, K – справа), а AQIK – площадь эпюры поперечных сил на участке элемента между сечениями I и K (значения ординат Q берутся с эпюры со своим знаком).
Для рассматриваемого примера (рис. 3, б, в) получаем:
M A 0;
M |
B |
M |
A |
AAB 0 5,83 20,83 3 40 |
кН м; |
||||||||||
|
|
|
|
|
Q |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
M |
|
M |
|
ABC 40 |
25 15 |
2 40 40 0 кН м; |
|||||||||
C |
B |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Q |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
M |
|
M |
|
|
ACn 0 |
9 1 |
2 8 кН м; |
|
|||||||
n |
C |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Q |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M |
|
M |
|
AnD 8 |
8 12 |
4 8 8 0 кН м; |
|||||||||
D |
n |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Q |
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
M |
E |
M |
D |
ADE 0 ( 12 1) 12 кН м; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M |
слева M |
Е |
AEk |
12 (12 3) 24 кН м; |
|||||||||||
|
k |
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
G |
M |
справа AkG 16 ( 8 2) 0 кН м; |
|
|||||||||||
|
|
|
k |
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученные значения изгибающих моментов совпадают со значениями, указанными на эпюре M (рис. 3, в) и вычисленными по правилам, принятым в сопротивлении материалов.
39
Приложение В
Линии влияния в балках с жёсткой заделкой
Рис. В.1
40