Математические модели прогноза населения

Численность населения на определенную дату определяется количеством лиц в возрастном интервале. Поскольку в финансовой системе временной единицей измерения чаще всего является год, то прогнозы численности населения будем делать на 1 января каждого года. Однако следует учесть, что пенсионный возраст для мужчин и женщин различен (60 лет — мужчины и 55 лет — женщины). Следовательно, разбиения структуры населения на годовые интервалы недостаточно, и приходится рассматривать динамику изменения численности мужского и женского населения раздельно. Также будем считать, что на численность населения не влияют такие внешние факторы, как политические причины и глобальные катастрофы.

Для того чтобы определить состав населения в будущем, необходимо иметь такие характеристики, как доля умерших в определенном возрасте для каждого возраста; показатели фертильности (способности к воспроизводству), которые в свою очередь зависят от состава женского населения в возрасте от 15 до 49 лет. Но так как реальная жизнь полна неожиданностей и случайностей, то реальная численность населения будет складываться из систематической компоненты и случайной.

Каждая из компонент вычисляется по-своему. Рассмотрим группу населения возраста i в некотором году х. Тогда систематическая компонента численности этой группы населения в следующем году (х + 1) будет определяться, как произведение численности этой группы населения на вероятность выживания; а случайная компонента в следующем году (х + 1) будет вычисляться как сумма произведения случайной компоненты этой группы в текущем году х на некоторую константу и случайного неконтролируемого изменения текущего года х.

Описание модели. Пусть Р_i(х) — численность населения возраста i в текущем году х. Для краткости символ пола в обозначениях будем опускать, однако заметим, что формулы для каждого пола будут идентичными за некоторыми исключениями, о которых будет сказано ниже. Диапазон возрастов определим от 0 до 99, поскольку статистические данные о численности населения и таблицы жизни есть только для этого диапазона возрастов.

Естественное изменение этой группы населения за один год вычисляется по формуле:

Р_i(х + 1)=p_i •Р_i_-1(х), (9.4)

где p_i — вероятность того, что человек возраста i доживет до возраста(i+1).

Она определяется как отношение среднего числа живущих возраста (i + 1) к числу живущих возраста i. Для вычисления этой вероятности используются таблицы жизни (табл. 9.2).

Для пояснения приведем фрагмент таблицы жизни для мужского населения Беларуси в возрасте от 41 до 50 лет по статистическим данным 1995 г.

p_i₌l_i₊₁/l_i (9.5)

где l._i — среднее число живущих возраста i из группы выживания таблицы жизни.

Таблица 9.2

Таблица жизни

Год возраста	Доля умерших	Число живущих в начале	Число умерших	Среднее число живущих	Живущие проживут, лет	Каждый проживет, лет
x	q_х	l_x	d_x	L_x	Т_х	e_x
41	0,00894	88 470	791	88 075	2 363 464	26,71
42	0,00887	87 679	778	87 290	2 275 389	25,95
43	0,01006	86 901	874	86 464	2 188 099	25,18
44	0,01032	86 027	888	85 583	2 101 635	24,43
45	0,01163	85 139	990	84 644	2 016 052	23,68
46	0,01320	84 149	1 111	83 594	1 931 408	22,95
47	0,01356	83 038	1 126	82 475	1 847 815	22,25
48	0,01549	81 912	1 269	81 278	1 765 340	21,55
49	0,01426	80 643	1 150	80 068	1 684 062	20,88
50	0,01882	79 493	1 496	78 745	1 603 994	20,18

Примечание. Таблицы жизни составляются как обобщенные, так и для мужского и женского населения и включают следующие показатели:

х — год возраста (обычно от 0 до 100);

q_x — доля умерших в этом возрасте;

1_x — число живущих в начале года;

d_x — число умерших в этом возрасте;

L_x - среднее число живущих;

Т_х — живущие проживут, лет;

е_х — каждый проживет, лет.

Численность всего населения текущего года складывается из двух частей — систематической и случайной:

P_i(x)=P_i^(e)(x)+P_i^(v)(x) (9.6)

где P_i⁽^v⁾(x) -случайная составляющая, включающая вклад миграции населения и случайные колебания естественного изменения численности населения и удовлетворяющая уравнению авторегрессии:

P_i^(v)(x) =C•P_i-1^(v)(x-1)+d•_I(x), (9.7)

где параметры С и d подлежат определению методом наименьших квадратов.

По имеющимся данным за период с 1980 по 1997 гг. определяем массив случайных отклонений численности населения по формуле:

P_i^(v)(x+1) =P_i(x+1)-p_i•P_i-1(x), (9.8)

Затем используем полученный массив для определения коэффициентов С иd методом наименьших квадратов. Для этого сначала определяем коэффициентыС как решение задач:

(9.9)