Тема 6: Системы счисления.

Информация в ЭВМ кодируется, как правило, в двоичной или в двоично-десятичной системе счисления.

Система счисления– это способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения.

В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на позиционныеинепозиционные.

В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе. В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе. (римская система счисления).

6.1 Позиционные системы счисления.

Для изображения чисел в настоящее время используются в основном позиционные системы счисления. Привычной для всех является десятеричная система счисления. В этой системе для записи всех числе используются только десять различных знаков (цифр): 0,1,2,..,9.

Десятеричная система счисления основана на том, что десять единиц каждого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда. Таким образом, каждый разряд имеет вес, равный степени 10. например, в записи числа 343.32 цифра 3 повторена 3 раза, при этом самая левая цифра 3 означает количество сотен (ее вес равен 10²); цифра 3, стоящая перед точкой означает количество единиц (ее вес равен 10⁰) и самая правая цифра 3 – количество десятых долей единицы (ее вес равен 10^-1) , так что последовательность цифр 343, 32 представляет собой сокращенную запись выражения:

3*10²+4*10¹+3*10⁰+3*10^-1+2*10^-2

Десятичная запись любого числа Xв виде последовательности цифр:

a_na_n-1…a₁a₀a_-1…a_-m…

основана на представлении этого числа в виде полинома:

X=a_n*10ⁿ+a_n-1*10^n-1+…+a₁*10¹*a₀*10⁰+a_-1*10^-1+…+a_-m*10^-m (1)

Где каждый коэффициент a_n может быть одним из чисел, для обозначения которых введены специальные знаки.

Число Kединиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называетсяоснованием системы счисления, а сама система называетсяK-ичнойю Например, основанием десятичной системы счисления является число 10; двоичной – число 2; восьмеричной – число 8.

Запись произвольного числа Xв K-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде полинома:

X=a_n*Kⁿ+a_n-1*K^n-1+…+a₁*K¹*a₀*K⁰+a_-1*K^-1+…+a_-m*K^-m

Все известные позиционные системы счисления являются аддитивно-мультипликативными.

Арифметические действия над числами в позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими полигонами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые имеют место при данном основании Kсистемы счисления.

Двоичная система счисления.

В современной вычислительной технике, в устройствах автоматики и связи широко используется двоичная система счисления. Эта система с наименьшим возможным основанием. В ней для изображения числа используются только две цифры: 0 и 1.

Произвольное число в двоичной системе счисления представляется в виде полинома:

X=a_n*2ⁿ+a_n-1*2^n-1+…+a₁*2¹*a₀*2⁰+a_-1*2^-1+…+a_-m*2^-m

Где каждый коэффициент a_n может быть либо 0 или 1.

Примеры изображения чисел в двоичной системе счисления:

1=12	7=1112
2=102	8=10002
3=112	9=10012
4=1002	10=10102
5=1012	0.5=0.12
6=1102	0.25=0.012

Таблица сложений чисел в двоичной системе имеет вид

0+0=0	1+0=1
0+1=1	1+1=10

Таблица умножений в двоичной системе счисления имеет вид

00=0	10=0
01=0	11=1