4.2 Распределение Стьюдента
Пусть
Z
– нормальная случайная величина, причём
а V – независимая от Z величина, которая распределена по закону хи-квадрат с k степенями свободы. Тогда величина:
(4.4)
имеет распределение, которое называют t-распределением или распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В. Госсета),
с k = n - 1 степенями свободы (n- объём статистической выборки при решении задач статистки).
Итак, отношение нормированной нормальной величины к квадратному корню из независимой случайной величины, распределенной по закону «хи квадрат» с k степенями свободы, деленной на k, распределено по закону Стьюдента с k степенями свободы.
Плотность распределения Стьюдента:
(4.5)
где
(4.6)
Из представленных выражений 4.5 и 4.6 видно, что распределение Стьюдента определяется только объёмом выборки и не зависит от математического ожидания и СКО, что является большим достоинсвом данного закона распределения и активно используется при обработке результатов статистических наблюдений.
С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному и оно широко используется в математическом аппарате статистики.
Распределение Вейбула и Релея
5.1 Распределение Вейбула
В некоторых случаях распределение Эрланга (см. уч.вопрос №2 данной лекции) не может быть применено для вероятностного описания случайных величин из-за слишком медленного убывания плотности вероятности при увеличении значений х. В этих случаях более адекватной моделью закона распределения случайной величины может служить распределение Вейбула, для которого плотность вероятности определяется формулой:
(5.1)
Интегральная функция распределения Вейбула достаточно просто определяется по плотности вероятности:
(5.2)
Е
сли
в данном интеграле сделать замену
переменной интегрирования
то получим:
(5.3)
Из
формул (5.1) и (5.3) следует, что
распределение
Вейбула является двухпараметрическим
законом распределения,
так
как плотность вероятности и функция
распределения полностью определяются
двумя параметрами
и
.
При введенном обозначении параметр
не следует
путать
со среднеквадратичным отклонением
случайной величины
.
В зависимости от значений параметров
и
формула (5.1) позволяет получить
широкое разнообразние графиков плотности
вероятности случайных величин.Графики
плотности вероятности и функции
распределения случайной величины,
имеющей закон распределения Вейбула
при
=
1 и
= 1,2,4,
приведены
на рис. 5.1 а) и б) соответственно
f(x)
Рис.5.1. Плотность вероятности а) и функция распределения б) Вейбула.
Из
формулы (5.1) следует, что при
= 1 распределение Вейбула
совпадает
с экспоненциальным распределением при
λ = 1/
.
При
= 2 получим другой частный случай
распределения Вейбула,
называемый
распределением
Релея.