Числовые характеристики показательного распределения

Пусть непрерывная случайная величина Χ рас­пределена по показательному закону

Найдем математическое ожидание, используя формулу её вычисления для непрерывной случайной величины:

Интегрируя по частям, получим

(3.4)

Таким образом, математическое ожидание показатель­ного распределения равно обратной величине параметра λ.

Найдем дисперсию, используя формулу её вычисления для непрерывной случайной величины:

Интегрируя по частям, получим

Следовательно:

(3.5)

Найдем среднее квадратическое отклонение, для чего извлечем квадратный корень из дисперсии:

(3.6)

Сравнивая (3.4), (3.5) и (3.6), видно, что

(3.7)

т. е. математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Показательное распределение широко применяется в различных приложениях финансовых и технических задач, например, в теории надежности.

4. Распределение «хи-квадрат» и распределение Стьюдента.

4.1 Распределение «хи-квадрат» (- распределение)

Пусть Χ_i (ί = 1, 2, ..., n)—нормальные незави­симые случайные величины, причем математическое ожи­дание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение — единице.

Тогда сумма квадратов этих величин

распределена по закону с степенями свободы, если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы

Распределение хи-квадрат нашло широкое применение в математической статистике.

Плотность этого распределения

(4.1)

где - гамма-функция, в частности.

Отсюда видно, что распределение хи-квадрат опре­деляется одним параметром — числом степеней свободы k.

С увеличением числа степеней свободы распределение хи-квадрат медленно приближается к нормальному.

Хи-квадрат распределение получается, если в законе распределения Эрланга принять λ= ½ и k = n/2 – 1.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей хи-квадрат распределение, определяются простыми формулами, которые приведем без вывода:

(4.2)

Из формулы следует, что при хи-квадрат распределение совпадает с экспоненциальным распределением при λ= ½ .

Интегральная функция распределения при хи-квадрат распределении определяется через специальные неполные табулированные гамма-функции

(4.3)

Применение системы уравнений (4.3), использующей табулированные (табличные) неполные гамма-функции, позволяет определить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал, имеющей хи-квадрат распределение.

Н

f(x)

а рис.4.1. приведеныграфики плотности вероятности и функции распределения случайной величины, имеющей хи-квадрат распределение при n = 4, 6, 10.

Рис.4.1. а)Графики плотности вероятности при хи-квадрат распределении

Рис.4.1. б)Графики функции распределения при хи-квадрат распределении