finantial

Це те ж саме рiвняння, що i (3.3.10), але воно вiдрiзняється знаком похiдної по t. Справа в тому, що рiвняння (3.3.10) складено для цiни на момент 0, i в ньому t – це час до виконання опцiону, а рiвняння (3.3.13) задає цiну опцiону V як функцiю часу t, в який його придбано, i цiни S акцiї, на яку його укладено. Якщо, як i ранiше, позначити T дату виконання опцiону, то сума вищезгаданих “часiв” дорiвнює T , тобто коли один зростає,

другий спадає, що i зумовлює протилежнi знаки похiдних. Рiвняння (3.3.13) (так само, як i (3.3.10)) – це параболiчне рiвняння другого порядку в частинних похiдних. Щоб знайти його єдиний розв’язок, як правило, додатково записують двi умови на S, враховуючи наявнiсть другої похiдної по S, та одну умову на

t. Наприклад, V (t, a) = Va(t), V (t, b) = Vb(t), де Va i Vb – заданi функцiї вiд t, V (S, T ) = VT (S), VT – задана функцiя.

Для опцiону купiвлi граничнi умови матимуть вигляд

V (t, 0) = 0, C(t, S) → 1, S → ∞, V (T , S) = (S − K)+.

S

Щодо явного вигляду розв’язку рiвняння Блека-Шоулса в загальному випадку див. [74] i [3].

3.3.5Теорiя арбiтражу для ринкiв з неперервним часом

Модель Блека-Шоулса

Нехай час t змiнюється неперервно на [0, ∞), фiнансовий ринок складається з двох активiв: безризикового Bt , t ≥ 0, який

можна трактувати як облiгацiю зi сталою вiдсотковою ставкою r > 0, i який змiнюється за формулою dBt = rBt dt, або Bt = B0ert, i ризикового St , t ≥ 0, який можна трактувати як акцiю. Поки

що не будемо зупинятися на однiй фiксованiй моделi цiни акцiї, але зазначимо, що найчастiше розглядають, в деякому сенсi, найпростiшу, модель геометричного броунiвського руху, а саме dSt = µStdt + σSt dWt , або

St = S0 exp{(µ − σ2/2)t + σWt }.

293

В сукупностi цю модель називають (B, S) – моделлю (B – bond, S – stock), або моделлю Блека-Шоулса. Чому саме геометричний

броунiвський рух обрали “базовою” моделлю змiни цiни ризикового активу? Одним аргументом є те, що ця модель з’являється як гранична для бiномiальної моделi (i навiть для набагато ширшого класу дискретних моделей, див. п. 3.3.1, зокрема теорему 3.3.3.) Iнший аргумент той, що вiдноснi прирости (St − Ss)/Ss в цiй моделi стацiонарнi, а також процес {ln St , t ≥ 0} має стацiонарнi прирости. Ще один аргумент – безарбiтражнiсть (B, S)-

ринку, яку ми доведемо далi.

Поняття самофiнансованої стратегiї

Нехай, як i ранiше, ринок складається з двох активiв – ризикового i безризикового.

Задамо ймовiрнiсний простiр (Ω, F, {Ft }t≥0, P) з фiльтрацiєю, i будемо вважати, що випадковий процес {St , t ≥ 0} узгоджений з фiльтрацiєю {Ft , t ≥ 0}.

Означення 3.3.11. Стратегiєю називають пару узгоджених процесiв (ϕ, ψ) = {ϕt , ψt , t ≥ 0}, що описують, вiдповiдно, кiлькiсть

одиниць ризикового i безризикового активу, якi має iнвестор в момент t.

Цi процеси можуть бути як додатними, так i вiд’ємними (дозволений короткий продаж будь-якої кiлькостi кожного з активiв). Очевидно, капiтал Vt iнвестора в момент t дорiвнює Vt = = ϕtSt + ψt Bt . Тепер додатково припустимо, що процес St допускає стохастичний диференцiал виду dSt = αt dWt + βtdt (див.

означення A.2.4), причому

бачуваним вiдносно фiльтрацiї {Ft , t ≥ 0}. Передбачуванiсть

294

складової ϕ стратегiї вiдповiдає тому, що ϕt залежить вiд iнформацiї, що надiйшла до моменту t, але не в момент t. То-

чне означення передбачуваного процесу мiститься, наприклад, в [27]. Крiм того, припускаємо, що

Тодi, згiдно з п. A.2, iснують стохастичний iнтеграл r0t ϕsdMs , що

є квадратично iнтегровним мартингалом та iнтеграл Лебега-

Стiлтьєса r t ϕsdAs , що є процесом iнтегровної варiацiї, а отже, i

r0t ϕsdSs . 0

лом, а процес r0t ϕsβsds буде процесом м.н. обмеженої варiацiї.

Означення 3.3.13. Стратегiю (ϕt, ψt ) називають самофiнансо-

ваним, якщо Vt = V0 + r0t ϕsdSs + r0t ψs dBs , або, в диференцiальнiй формi, dVt = ϕt dSt + ψt dBt .

Змiст властивостi самофiнансованостi полягає в тому, що змiна величини капiталу вiдбувається лише за рахунок змiни цiни ризикового i безризикового активу, без надходжень капiталу ззовнi i його вiдтоку назовнi. (Порiвняйте з означенням 3.2.39 самофiнансованої стратегiї для ринку з дискретним часом.)

Вправа 3.3.14. Нехай St = Wt , Bt = 1.

1. Покажiть, що стратегiї (ϕt = 1, ψt = 1) та (ϕt = 2Wt , ψt =

=−t −Wt2) є самофiнансованими.

2.Опишiть клас самофiнансованих стратегiй.

Арбiтраж та мартингальнi мiри

Поняття арбiтражу для ринку з неперервним часом можна сформулювати так само, як i для ринку з дискретним часом. Щоправда, iснує багато рiзновидiв цього поняття; детальне обговорення цього питання мiститься в [27], [41].

295

Означення 3.3.15. (B, S) – ринок називається безарбiтражним, якщо не iснує такої самофiнансованої стратегiї (ϕ, ψ), для якої

початковий капiтал V0 = ϕ0S0 +ψ0 B0 ≤ 0, a VT = ϕT ST +ψT BT ≥ 0 з ймовiрнiстю 1, i VT > 0 з додатною ймовiрнiстю.

Теорема 3.3.16. (B, S) – ринок безарбiтражний тодi й тiльки тодi, коли iснує така мiра P P, для якої дисконтований цiновий процес Xt = St/Bt буде мартингалом.

Вправа 3.3.17. Довести, що (B, S) – модель: dBt = rBt dt, dSt = µSt dt + σSt dWt є безарбiтражною. Використайте для цього теорему Гiрсанова (теорема A.2.10); виберiть P так, що

Породжувальнi стратегiї

Розглянемо Європейське платiжне зобов’язання C ≥ 0 з датою виконання T > 0, i припустимо, що ринок функцiонує в неперервному часi t [0, T ].

Означення 3.3.18. Стратегiя (ϕ, ψ) називається породжувальною для Європейського зобов’язання C, якщо вона є самофiнан-

сованою i її капiтал VT = ϕT ST + ψT BT = C.

Щодо породжувальних стратегiй кажуть, що вони реплiкують (вiдтворюють, породжують, хеджують C).

Лема 3.3.19. Якщо (ϕt , ψt ) – породжувальна стратегiя, а ринок безарбiтражний, то справедлива цiна зобов’язання C в момент t дорiвнює Vt := ϕtSt + ψt Bt .

Доведення. Якщо цiна зобов’язань в момент t менша за Vt i дорiвнює Vt0, то, можна в цей момент купити зобов’язання C за Vt0 продати ϕt одиниць активу S i ψt одиниць активу B, i далi дотримуватися стратегiї (ϕ, ψ). Тодi в момент T ϕT ST + ψT BT = C,

тобто зобов’язання, яке буде на руках у iнвестора, буде тої ж цiни, що i проданий портфель, тобто вони “взаємно знищаться”, i нiякi додатковi кошти мiж моментами t i T непотрiбнi. Отже iнвестор має додатний прибуток Vt −Vt0 = ϕtSt + ψt Bt −Vt0, i не має

296

ризику. Аналогiчно, якщо цiна зобов’язання C в момент t вища за Vt i дорiвнює Vt00, то треба продати C i купити портфель Vt; прибуток в момент T буде Vt00 −Vt ; ризику не буде.

Повнi ринки

Як i в дискретному випадку, ринок з неперервним часом називається повним, якщо на ньому кожне платiжне зобов’язання є досяжним. Критерiєм повноти безарбiтражного ринку є єдинiсть мартингальної мiри.

Вправа 3.3.20. Використовуючи вправу 3.3.17, довести, що (B, S) – ринок, де dBt = rBt dt, а dSt = µStdt + σSt dWt , є повним.

3.3.6Американськi платiжнi зобов’язання у неперервнiй моделi

Нагадаємо, що Американське платiжне зобов’язання, на вiдмiну вiд Європейського, можна виконати у будь-який момент протягом термiну дiї, а не лише у останнiй. Цей додатковий ступiнь свободи значно ускладнює розв’язання задачi оцiнювання Американського опцiону.

Ми вже розглянули Американськi платiжнi зобов’язання у дискретнiй моделi ринку (див. роздiл 3.2.9). У неперервнiй моделi, як i у дискретнiй, вартiсть Американського платiжного зобов’язання є огинаючою Снелла – найменшим супермартингалом, який мажорує виплати за платiжним зобов’язанням. Але очевидно, що на вiдмiну вiд дискретної моделi, у неперервнiй огинаючу Снелла не можна визначити рекурентно, починаючи вiд останнього моменту: у нiй немає моменту, що безпосередньо передує даному. Тим не менш, можна деякi iдеї, що використовувалися у дискретнiй моделi, використати i для неперервного випадку.

Вiд загальних мiркувань перейдемо тепер до детального розгляду. Нехай ми маємо модель Блека–Шоулса фiнансового ринку. Задля спрощення, ми одразу перейдемо до еквiвалентної мартингальної мiри. Вiдносно неї цiновi процеси для безризи-

297

кового та ризикового активу виглядають так:

(

Bt = B0ert,

St = S0e(r−σ2 /2)t+σWt .

Розглянемо тепер Американський опцiон з невiд’ємною функцiєю виплат g, тобто таке платiжне зобов’язання, за яким виплачується g(St ), якщо воно подається до виконання у момент t.

Покупець Американського опцiону, природно, намагається пре- д’явити його до сплати (або виконати його) так, щоб максимiзувати виплату. Зважаючи на часову вартiсть грошей, маємо наступну задачу оптимiзацiї:

E[e−rτg(Sτ)] → max .

Стратегiя виконання τ залежить вiд поведiнки цiни базового

активу, тому, звичайно, може бути випадковою. Проте гiпотеза ефективностi ринку стверджує, що iнвестор не володiє iнформацiєю про майбутнiй розвиток цiн (або володiє, але не має права нею користуватися згiдно закону про заборону iнсайдерської торгiвлi). Це означає, що допустима стратегiя виконання τ не

може залежати вiд майбутнього, тобто вона має бути маркiвським моментом. Таким чином, найбiльша можлива очiкувана майбутня виплату за умови, що у момент t цiна дорiвнює s – так

звана функцiя винагород – визначається формулою

де Tt – множина моментiв зупинки з промiжку [t, T ].

Наведенi мiркування доволi евристичнi, але неважко показати, що функцiя V (t, s) є єдиною безарбiтражною цiною Американського платiжного зобов’язання у момент t за умови, що St = s. Для доведення цього використаємо декiлька допомiжних

фактiв i тверджень.

Спершу зауважимо, що процес

Yt = V (t, St )e−rt

298

є супермартингалом. Дiйсно, якщо t < u, то для моменту зупинки τ Tu, завдяки маркiвськiй властивостi, виконуються спiв-

вiдношення

E[E[e−rτg(Sτ)/Su]/Ft ] = E[E[e−rτg(Sτ)/Fu]/Ft] = E[e−rτg(Sτ)/Ft ] = E[e−rτg(Sτ)/St] ≤ Yt.

Остання нерiвнiсть очевидна, оскiльки τ Tt . Взявши тепер таку послiдовнiсть моментiв зупинки τn Tu, що E[e−rτn g(Sτn )/Su] → Yu, одержимо за лемою Фату бажане твердження. Бiльше того, Yt є огинаючою Снелла дисконтованої виплати

Ht = e−rtg(St),

тобто найменшим супермартингалом, що мажорує H . Дiйсно, якщо Y 0 ≥ H – супермартингал, то для моменту зупинки τ Tt

за теоремою Дуба про вiльний вибiр

Yt0 ≥ E[Yτ | Ft ] ≥ E[e−rτg(Sτ) | Ft ] = E[e−rτg(Sτ) | Ft ].

Перейшовши до супремуму за τ Tt , одержимо Yt0 ≥ e−rtV (t, St) = Yt , що й потрiбно було довести.

Визначимо тепер область зупинки, що складається з тих точок, де миттєва зупинка не гiрша за найкращу очiкувану виплату:

D = {(t, s) [0, T ] × (0, ∞) | g(s) ≥ V (t, s)}

та її доповнення – область продовження:

C = {(t, s) [0, T ] × (0, ∞) | g(s) > V (t, s)} .

Визначимо момент зупинки τ(t) = inf {u [t, T ] : (u, Su) D} –

це перший момент, коли процес цiн потрапляє у область зупинки. Природно очiкувати, що момент зупинки τt є оптимальним, i це пiдтверджується наступною теоремою.

Теорема 3.3.21. Справедлива рiвнiсть

E[er(t−τ(t) )g(Sτ(t) )/St] = V (t, St ).

Iншими словами, момент τ(t) є оптимальним моментом виконання платiжного зобов’язання, починаючи з моменту t.

Бiльше того, зупинений процес Zu = Yτ(t) u , u [t, T ], є мар-

тингалом.

299

Доведення цього факту значно складнiше, нiж у дискретному випадку, оскiльки ми не можемо скористатися iндукцiєю. Його можна знайти, зокрема, у [61].

Отже, покупець опцiону в момент t справдi в середньому може розраховувати на отримання суми V (t, St) за допомогою вда-

ло вибраної стратегiї виконання. Звiдси випливає, що опцiон у момент t не може коштувати менше V (t, St ). Бiльш строге мiр-

кування таке: виплата за Американським опцiоном (якщо покупець дiє оптимально) не гiрша за виплату g(Sτ) у момент τ (хоча б тому, що цей опцiон можна виконати у момент τ). Тому цiна

опцiону не менша за цiну цiєї виплати, яка, як ми знаємо, є математичним сподiванням вiдносно еквiвалентної мартингальної мiри дисконтованої виплати: E[e g(Sτ)/St = s] (нагадаємо,

що ми для зручностi припустили, що вихiдна ймовiрнiсна мiра є мартингальною). Взявши супремум, одержимо бажане.

Але чому справедлива цiна у момент t не може перевищувати V (t, St)? Це випливає з вiдсутностi арбiтражу. Дiйсно, можна записати розклад Дуба, починаючи з моменту t: Y = M + A, де M – мартингал, а A – незростаючий процес, що стартує в момент t з нуля (зокрема, вiн недодатний). Використовуючи теорему про

мартингальне зображення (теорема A.3.1), маємо

де Xt = e−rtSt – дисконтований процес цiн, який, очевидно, задовольняє рiвняння dXt = σXt dWt .

Це означає, що процес Mu є дисконтованим капiталом самофiнасованої стратегiї. Для будь-якого моменту τ цей капiтал Mτ = Yτ − Aτ ≥ Yτ ≥ e−rτg(Sτ). Це означає, що, використовуючи стратегiю ξ/X, можна хеджувати будь-якi виплати за Американським опцiоном (бiльше того, як бачимо, момент τ не обов’язково

має бути маркiвським, тобто можна хеджувати виплати навiть у тому випадку, коли покупець використовує iнсайдерську iнформацiю). Тому з мiркувань безарбiтражностi опцiон має коштувати не бiльше вартостi цього хеджу, яка в момент t становить ert Mt = ertYt = V (t, St ).

300

Задача з вiльною межею

Згiдно з теоремою 3.3.21, вартiсть у момент t Американського платiжного зобов’язання на первинний актив з цiною s можна

визначити як

V (t, s) = ertU (t, s) = ertE[e−rτ(t) g(Sτ(t) )/St = s],

де τ(t) – момент виходу процесу Ct = (t, St ) з областi продовження C. З теорiї дифузiйних процесiв вiдомо, що тодi для t, s C

є генератором процесу C. Враховуючи, що LV = rV +ert LU , маємо

наступне рiвняння:

Також ми знаємо, що

V (t, s) = g(s) у D.

Якщо функцiя g неперервна i диференцiйовна, то можна довести (див., наприклад, [28]), що функцiя V (t, s) неперервно ди-

ференцiйована. Це, зокрема, означає, що значення i похiднi на межi ∂C областi продовження з обох бокiв мають спiвпадати,

тобто

Таким чином, маємо рiвняння у частинних похiдних (3.3.17) з граничними умовами (3.3.18). Саме рiвняння (3.3.17) є доволi стандартним рiвнянням параболiчного типу, яке логарифмiчною замiною можна звести до рiвняння теплопровiдностi. Але граничнi умови (3.3.18) є нестандартними, оскiльки апрiорi не зрозумiло, де вони заданi. Вiдомо єдине – що функцiя V має гладенько

301

(у сенсi рiвностi перших похiдних) склеюватися з функцiєю g,

але де проходить ця “склейка”, невiдомо. Тому такi задачi називають задачами з вiльною межею.

Часто множина зупинки має так звану “порогову структуру”, тобто складається з усiх точок площини, що лежать над (чи пiд) графiком функцiї s = γ(t). У такому випадку можна виписати розв’язок рiвняння (3.3.17) неявно, через невiдому функцiю γ. В

свою чергу, якщо пiдставити точки з межi областi продовження (тобто точки вигляду (t, γ(t))) в отриманий вираз, то одержимо рiвняння на функцiю γ. Частiше за все це рiвняння є надзвичай-

но складним i його не можна розв’язати точно, навiть не можна довести iснування хоча б одного розв’язку.

Проте iнодi не є оптимальним зупинятися ранiше, нiж в останнiй можливий момент. Це справедливо тодi, коли функцiя винагород спiвпадає з функцiєю виплат, або, що те саме, дисконтований процес виплат спiвпадає зi своєю огинаючою Снелла. Це можливо в одному випадку – коли дисконтований процес виплат є супермартингалом, тобто коли для t ≤ u ≤ T

E[e−rug(Su) | Ft ] ≤ e−rtg(St).

Достатньою умовою для цього є опуклiсть та зростання функцiї g. Наприклад, для Американського опцiону купiвлi функцiя виплат g(s) = (s − K)+ має такi властивостi, тому такий опцiон не

варто виконувати ранiше останнього моменту i його цiна дорiвнює цiнi аналогiчного Європейського опцiону.

3.3.7 Екзотичнi деривативи у неперервнiй моделi

Похiднi цiннi папери є зручним iнструментом для фiнансового менеджера. Найважливiшою їхньою функцiєю є те, що вони дозволяють керувати як iнвестицiйними, так i бiзнесовими ризиками, причому не тiльки зменшувати цi ризики, а й збiльшувати їх задля бiльшої прибутковостi.

Поки що ми детально розглянули Європейськi та Американськi платiжнi зобов’язання. Вони вже дають великий набiр знаряддя для керування ризиками. В основному, Європейськi платiжнi зобов’язання дають можливiсть зменшити ризики, пов’я-

302