finantial

Доведення. 1) 2): Умова сильної ортогональностi набуває вигляду

E((Mt − Mt−1)(Nt − Nt−1) | Ft−1) = 0,

але

E((Mt − Mt−1)(Nt − Nt−1) | Ft−1) = E(Mt Nt − Mt−1Nt−1 | Ft−1),

звiдки i випливає, що MN є мартингалом. 2) 1): Тепер маємо рiвнiсть E(Mt Nt − Mt−1Nt−1 | Ft−1) = 0, але тодi i

E((Mt − Mt−1)(Nt − Nt−1) | Ft−1) = 0,

звiдки, а також з того, що наприклад, M є мартингалом, отримуємо сильну ортогональнiсть M i N .

Позначимо H2(P) простiр всiх квадратично iнтегровних P- мартингалiв. Тодi, по-перше, кожний мартингал M H2(P) можна записати у виглядi Mt = E(MT /Ft ), тобто можна встановити бiєкцiю H2(P) 3 M ↔ MT L2(P). По-друге, якщо ототожнити випадковi величини, рiвнi P-м.н., то H2(P) перетвориться на гiльбертiв простiр, iзоморфний до L2(P), в якому скалярний до-

буток задається формулою

(M, N )H2 (P) = EMT NT .

Означення 3.2.125. Пiдпростiр H0 простору H2(P) називається стiйким, якщо Mτ H0 для будь-якого M H0 i будь-якого моменту зупинки τ.

Лема 3.2.126. Якщо H0 – стiйкий пiдпростiр в H2(P), N H2(P), N0 = 0, то наступнi умови еквiвалентнi:

1)мартингал N є ортогональним до H0, тобто (N , M)H2 (P) = = 0 для всiх M H0;

2)мартингал N є сильно ортогональним до H0, тобто для будь-якого M H0 має мiсце рiвнiсть

E((Mt − Mt−1)(Nt − Nt−1) | Ft−1) = 0.

263

Доведення. 1) 2): В силу леми 3.2.124 достатньо довести, що MN є мартингалом для всiх M H0. Нехай EMT NT = 0. Тодi, одночасно з M, до H0 належить Mτ для будь-якого моменту зупинки τ, а для нього MTτ = Mτ, тобто EMτNT = 0, а оскiльки

EMτ(NT − Nτ) = EMτ E(NT − Nτ | Fτ) = 0,

то i EMτNτ = 0, а тодi в силу леми 3.2.124 MN є мартингалом.

Теорема 3.2.127. (Кунiта-Ватанабе) Нехай X = {Xt , Ft , T T} – квадратично iнтегровний P-мартингал. Тодi будь-який мартингал M H2(P) допускає розклад виду

Xt

Mt = M0 + ξk · (Xk − Xk−1) + Lt,

k=1

де ξ – такий d-вимiрний передбачуваний процес, що

ξk · (Xk − Xk−1) L2(P), 1 ≤ k ≤ T ,

L – квадратично iнтегровний P-мартингал, L0 = 0, L є сильно ортогональним до X. Бiльше того, мартингал L можна вибра-

ти єдиним чином.

Доведення. Позначимо G сукупнiсть всiх d-вимiрних передбачуваних процесiв ξ, для яких ξk · (Xk − Xk−1) L2(P) для всiх 1 ≤ k ≤ T . Ця сукупнiсть непорожня; наприклад, вона мiстить

будь-яку невипадкову послiдовнiсть. Позначимо

Очевидно, G є P- мартингалом, тому сукупнiсть всiх таких G

k=1

264

Оскiльки X є мартингалом вiдносно мiри P, то можна довести (див, наприклад, лему 1.68 [21]), що ξnt · (Xt − Xt−1) збiгається в L2(P) до випадкової величини вигляду ξt · (Xt − Xt−1), де ξt L0(Ω, Ft−1, P, Rd ). Отже, H0 є замкненою пiдмножиною в H2(P), тобто H0 – справдi пiдпростiр в H2(P). Стiйкiсть H0 перевiряється

безпосередньо. Якщо мартингал

Xt

Gt = ξk · (Xk − Xk−1) k=1

належить до H0 , то для будь-якого моменту зупинки τ зупине-

ний мартингал має вигляд

k=1

а рiзниця L := M − M0 ортогональна до H0; за лемою 3.2.126 ця рiзниця L є сильно ортогональною до H0, а значить, i до N . Отже, M = M0 + N + L – шуканий розклад. Його єдинiсть доводиться

так само, як вiдповiдне твердження теореми 3.2.123.

265

3.2.11Означення та деякi властивостi мiнiмальних мартингальних мiр

Якщо дисконтований цiновий процес X є мартингалом вiдносно мiри P, то з теорем 3.2.123 i 3.2.127 вiдразу випливає iснуван-

ня та спосiб побудови стратегiї, що мiнiмiзує локальний ризик.

Теорема 3.2.128. Якщо P – мартингальна мiра, то стратегiя,

що мiнiмiзує локальний ризик, iснує. Процес коштiв будь-якої такої стратегiї визначається формулою

а процес витрат задається формулою

де L – сильно ортогональний до X P-мартингал з розкладу Кунiта–Ватанабе процесу V .

Доведення. Застосуємо теореми 3.2.123 та 3.2.127. Згiдно з теоремою 3.2.127, iснує розклад

Xt

H = V0 + ξk · (Xk − Xk−1) + LT ,

k=1

а тодi з теореми 3.2.123 стратегiя, що мiнiмiзує локальний ризик, iснує. При цьому її капiтал Vt задається формулою

Xt

Vt = V0 + ξk · (Xk − Xk−1) + Lt = E(H | Ft)

k=1

для будь-якої стратегiї ξ, що мiнiмiзує локальний ризик, а про-

цес витрат дорiвнює

Xt

Ct = Vt − Gt = Vt − ξk · (Xk − Xk−1) = V0 + Lt ,

k=1

тобто задається єдиним чином.

266

Рiвнiсть (3.2.32) є аналогiчною до (3.2.11) i в цьому розумiннi вона задає справедливу цiну платiжного зобов’язання H в момент t. Якщо дисконтований цiновий процес X не є мартингалом вiдносно мiри P, можна намагатися шукати капiтал V стратегiї, що мiнiмiзує локальний ризик, у виглядi Vt = EP (H | Ft ), де P P, P – мартингальна мiра. Покажемо, що це можна зробити, якщо P є мiнiмальною мартингальною мiрою.

Означення 3.2.129. Мiра P P називається мiнiмальною мартингальною мiрою, якщо E (dP /dP)2 < ∞ i при цьому будь-який мартингал M L2(P), сильно ортогональний до X, також є i P -мартингалом.

Теорема 3.2.130. Якщо на ймовiрнiсному просторi (Ω, F) iснує

мiнiмiльна мартингальна мiра для дисконтованого цiнового процесу X, то для капiталу V стратегiї, що мiнiмiзує локальний ризик, має мiсце зображення Vt = EP (H | Ft ), t T.

Доведення. В силу теореми 3.2.123 платiжне зобов’язання H до-

пускає розклад

k=1

267

єP -мартингалом, а L є квадратично-iнтегровним P-мартинга- лом, сильно ортогональним до X, отже, вiн є, за означенням мiнiмальної мартингальної мiри, P -мартингалом. Тому V також

єP -мартингалом зi значенням H в момент T , звiдки одержуємо

Vt = EP (H | Ft ).

Тепер з’ясуємо, якi умови на цiновий процес X забезпечують iснування мiнiмальної мартингальної мiри. Для цього нам потрiбно зв’язати перетворення мартингалу з переходом до еквiвалентної ймовiрносної мiри.

3.2.12Експонента Долеан та теорема Гiрсанова для дискретного часу

Почнемо з “мультиплiкативного” перетворення мартингала при перетвореннi ймовiрнiсної мiри.

Лема 3.2.131. Нехай P – ймовiрнiсна мiра, еквiвалентна до мi-

268

то

i обернене твердження теж, очевидно, є вiрним.

269

причому всi випадковi величини додатнi, отже, E (Zt /Zt−1) = 1 i Lt+1 L1(P), якщо Lt L1(P). За iндукцiєю отримуємо, що Lt+1 L1(P) для всiх t. Далi з (3.2.35) випливає, що

2. Треба лише довести, що EZT = 1. Але, оскiльки Z – мартингал, то EZT = Z0 = 1.

Зауваження 3.2.133. Додатний мартингал з неперервним часом ще називають стохастичною експонентою Долеан; вiн допускає iнтегральне зображення вiдносно мартингальної складової свого логарифму. За аналогiєю, (3.2.34) називають мультиплiкативним зображенням стохастичної експоненти Долеан з дискретним часом.

Теорема 3.2.134. (Дискретний варiант формули Гiрсанова – адитивного перетворення мартингала при замiнi мiри.)

Нехай P P, L – мартингал iз зображення (3.2.34). Нехай

k=1

є P-мартингалом.

Зауваження 3.2.135. Рiвнiсть (3.2.36) можна розглядати як роз-

клад Дуба процеса на e-мартингал i передбачуваний про-

M P

цес. Вона показує, як перетворюється мартингал при замiнi ймовiрнiсної мiри. Щодо неперервного часу, вiдповiднi твердження мiстяться в п. A.2.4.

Доведення. Оскiльки

Lk − Lk−1 = Zk − 1,

Zk−1

270

271

3.2.13Характеризацiя еквiвалентних мартингальних мiр

Теорема Гiрсанова дозволяє описати тi еквiвалентнi мiри, якi є мартингальними.

Розкладемо дисконтований цiновий процес X, який не є мартингалом вiдносно мiри P, за Дубом:

X = M + A,

де M – P-мартингал, A – передбачуваний процес, обидва зi значеннями у Rd.

Теорема 3.2.136. Нехай P P, EP |Xt | < ∞ для всiх t T. Процес X є P -мартингалом тодi i тiльки тодi, коли для всiх процесiв M i A з розкладу X = M + A виконується рiвнiсть

Xt

At = − E[(Lk − Lk−1)(Mk − Mk−1) | Fk−1] =

k=1

Xt

= − E[(Lk − Lk−1)(Xk − Xk−1) | Fk−1] P-м.н.

k=1

для всiх t = 1, 2, . . . , T .

Доведення. Друга рiвнiсть очевидна, тому доведемо лише першу. Необхiднiсть. Якщо X – P -мартингал,то за теоремою 3.2.134

Xt

Xt + E[(Lk − Lk−1)(Xk − Xk−1) | Fk−1] =

k=1

Xt

= Xt + E[(Lk − Lk−1)(Mk − Mk−1) | Fk−1]

k=1

є P-мартингалом, звiдки, в силу єдиностi розкладу Дуба,

Xt

272